一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程

二．解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2

)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2

)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0

（3）公式法：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042

=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-

==；

当042

<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42

-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042

≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 三、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=ac b 42

-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）

①当?

??≥?≠时00a ?方程有实数根；

（当??

?>?≠时00a ?方程有两个不相等的实数根；当???=?≠时

00

a ?方程有两个相等的实数根；

） ②当?

??

a ?方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

四、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

五．实际应用

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）

(3)已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程

02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ?是直角三角形。

（4）已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，求证：方程0)(2

2

2

2

2

2

=+-++c x a c b x b 没有实数根。

（5）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442

=+-x mx 与054442

2

=--+-m m mx x 的根都是整数？（1=m ）

（6）已知关于x 的方程0221

2222

=-+-++m

x x m x x ，其中m 为实数，（1）当m 为何值时，方程没有实

数根？（2）当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）2-

（1）012552

=-x （5,521-==x x ） （2）289)3(1692

=-x （13

22,135621==

x x ）

（3）03612

=+y （原方程无实根） （4）0)31(2=-m （021==m m ）

2．配方法解方程：

（1）0522

=-+x x （61±-=x ） （2）0152=++y y （2

21

5±-=

x ）

3．公式法解下列方程：

（1）2632

-=x x （3

3

3±=

x ） （2）p p 3232=+ （321==p p ）

4．因式分解法解下列方程： （1）094

12

=-x （6±=x ） （2）04542=-+y y （5,921=-=y y ）

（3）031082

=-+x x （2

3

,4121-==

x x ） （4）02172=-x x （3,021==x x ）

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

（1）128)72(22

=-x （22

7

±=

x ） （2）222)2(212m m m m -=+-（262±=m ）

6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：

（1）022

22=-+-n m mx x (n m x n m x +=-=21,)

（2）12432

2+-=+a ax a x （1,1321+=-=a x a x ）

（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：

（1）4x x x 732

=+-（有两个不等的实数根） （2）x x 4)2(32

=+ （无实数根）

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962

=+-x kx （1）有两个不等的实数根 （01≠

3．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42

有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．

(21,221===x x m 或2

3,1021===x x m )

4．若方程054)1(22

2

=-++++a a x a x 有实数根，求：正整数a. （3,2,1===a a a ）

5．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(2

2

2

=++-+m mx x m 无实数根.

6．k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

7．设m 为整数，且404<

2

=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根。（当m =12时，方程的根为26,1621==x x ；当m =24时，方程的根为52,3821==x x ）

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （20元）

4．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距102千米？ (2分钟后)

7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)

8．如图，东西和南北向两条街道交于O 点，甲沿东西道由西向东走， 速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通 过O 点又继续前进50米时，甲刚好通过O 点，求这两人在相距85米 时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）

9．已知关于x 的方程01)1(2

=++-mx x n ①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y 的方程03222

2

2

2

=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。

东

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122

的值。（14）