数学-希望杯竞赛试题详解(560题)
题51 Let point M move along the ellipse 18
92
2=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .
(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)
（第十四届高二第二试第18题）
译文：点M 是椭圆18
92
2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .
解 在椭圆1892
2=+y x 中，所以
8,922==b a ，则1,12==c c ，
椭圆的右焦点F 的坐标 右准
为（1，0），离心率3
1==
a c e ，线9:2
==c
a x l ，显然点P （6，2）在
椭圆18
92
2=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设
M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有18
492
0=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，
此时点M 的坐标是（2
2
3±
，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转
化为有理运算，从而大大简化了解题过程.
拓展 将此题引伸拓广，可得
定理 M 是椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，
P （m,n ）为定点.
1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1
|MF|+|MP|的最小值是m c a -2；当F 是左焦 点时，e
1
|MF|+|MP|的最小值是m c a +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则
F 是右焦点，且0≤m ≤c a 2，|n|≤b 时，e 1
|MF|-|MP|的最大值是
m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e
1
|MF|的最小值是c a m 2-.
F 是左焦点，且c a 2-≤m ≤0，|n|≤b 时，e 1
|MF|-|MP|的最大值是
m c a +2. F 是左焦点，且m ≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e
1
|MF|的最小值是c a m 2--.
简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=
e
1
|MF|. ∴e
1
|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e
1
|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在m
图1
图2
P 、Q 之间时取等号.
2、 如图3，e
1
|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c a -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.
如图4，|MP|-e
1
|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c a m 2-，当且仅当P 位于直线MN 上，即点
P 与Q 重合时取等号.
如图
5，
e
1
|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤
|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c
a +2
，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号. 如图6，
|MP|-
e
1|MF|=|MP|-|MN|≥
|MQ|-|MN|=|NQ|=c
a m 2
--，当且仅当
P 位于直线
MN 上，即点P 与Q 重合时取等号. 题
52
已知双曲线k y x =-2
2
关于直线x-y=1
对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于
（ ）
图3
图4
图5
A 、32
B 、34
C 、4
5
D
5
4 （第十五届高二培训题第19题）
解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-2
2
上任意一点，
点P 关于直线x-y=1的对称点为 P ’（x,y ）,则
12
20
0=+-+y y x x ①，又
100-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得
0011
x y y x =+??
=-?③.∵P 点在双曲线k y x =-2
2上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,
代入⑤并整理，得01232
=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=
3
4
，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的
结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）. 5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）. 6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.
7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组
????
?-=-=++?++?
)
()(022*******
0x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m
图6
对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.
题53 21,F F 是双曲线332
2
=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________.
（第四届高二第二试第15题）
解 双曲线332
2
=-y x ,即13
22
=-y x ，如图，B A ,在
双曲线右支上，3221=-AF AF ,
时
，
3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值
11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义
可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当
21F F AB ⊥时，MN 取最小值21
232=-
，这时，22BF AF +取得最小值3
22=MN e ,从而1
1BF AF +取最小值33
14
3
234=
+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN 最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.
拓展 将本题中的双曲线一般化，便得
定理 1F 、2F 是双曲线122
22=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，
则B F A F 11+的最小值是a
b a 2
24+.
仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33
14
3
12342
=
?+
?
.
题54 方程
()()|3|222
2+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( )
A 、直线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
（第十二届高二培训题第23题）
解法1 由
()()|3|222
2+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得
012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则
()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，
即()()932222
2
-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.
解法2 已知方程就是
()()2
|
3|2222
2+-?
=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点
P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.
评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.
解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用.
拓展 将此题一般化，我们有下面的 定理 若()()||2
2C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且B A 、不全为零），
则
（1）当102
2
<+
（2）当12
2
>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.
（3）当12
2
=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直
线.
（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.
读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 55 已知1≥x ，则动点A ??
?
??-+
x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________. （第七届高二第一试第23题）
解法1 由已知得2
222
111101AB x x x x x x ???????
?=+-+--=+- ? ? ????????
???
214x x ????++-?? ???????
2
12x x ?
?=+-
???2
111723222x x x x ???
???+-=+-- ? ??????
???将此式看作以x x 1+为自变量的二
次函数，11
1,22x x x x x
≥∴+
≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+x x 时，1,1272122min 2
2min =∴=-??? ?
?
-=AB AB .
解法 2 令2
4
,
tan π
θπ
θ<
≤=x ，则112
tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ
+
=+==≥ 112,x x x ??
≥?+≥ ?
??
112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=
-==-
AB ∴=
==
∴当
12csc =θ，即4
π
θ=
时，12741182
min
=-??
?
??-=AB .
解法 3 设11x t t
y t t ?
=+????=-
?? （t 1≥）,两式平方并相减，得
支在x 轴
),0,2(42
2
≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线42
2
=-y x 的右半
上方的部分（含点（2
，0）），由图知|AB|min =1.
评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域
[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =
2min ||AB ，
并将x
x 1
+
看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.
题56 抛物线2
x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．
（第九届高二培训题第27题）
解法1 设抛物线2
x y =上的点的坐标是(
)2
,x
x ，则它到直线02=++y x 的距离是
27
1()24x d ++=
=
，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()
11,24-. 解法2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2
x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方
程为k x y +-=，代入2
x y =，得02
=-+k x x .由o =?，即
041=+k ，得14k =-.解2
14y x y x ?=??
=--??得1214
x y ?=-???=?.故所求点的坐标是
()11,24
-. 线应与
解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切直线02=++y x 平行.而其切线方程为
02
y y x x +=，故120-=x ，012x =-.2
0014y x ∴==. 故所求点的坐标为()
11,24
-.
评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点(
)2
,x
x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的
二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.
解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2
x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.
解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()
0,0y x 的切线方程，由切线
与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.
解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.
解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论： 定理 过抛物线c bx ax y ++=2
上一点P ()00,y x 的切线方程是
00
022
y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2
的切线的方程为()00x x k y y -=-①.
b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/
20
，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，
()()000022222ax b x x y y y +-+=+，2
00000022
y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线
c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴020
0，c bx ax y =--02
00，代入②，得切线方程为00
022
y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的2
2
,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成
00,
22
x x y y
++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是
0000000222
x y xy x x y y
Ax x B
Cy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.
例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.
解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222
y x y
x x y +++?+?
+?-?-?-=，即0922213=-+y x . 题57 在抛物线x y 42
=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .
(第十五届高二培训题第71题)
解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为
m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则
k y y y 22
2
10-=+=
.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222
++=-m k k k .k k k k k k m 32223232
++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所
以016162
>+=?m k .再将m 的式子代入，经化简得
03
23<++k
k k ，即 ()()0312<+-+k
k k k ，因为032>+-k k ，所以
01<<-k .
解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212
212y y y y >??
?
??+，所以
k
k k k 12
88432
++>，解得01<<-k .
解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42
=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为
M ()00,y x .因为22
212
14,4x y x y ==，所以()122
12
24x x y y -=-，即
()4211
21
2=+?--y y x x y y ，所以
k y y k 2,42100-==?-
.又300+=kx y ,所以k
k x 320+-
=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42
=的内部，所以02
04x y <，即()???
?
?+-
<-k k k 32422
，解得01<<-k . 解法4 设B 、C 是抛物线x y 42
=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M ()00,y x ，B
()
y x ,，C
()
y y x x --002,2,则x y 42
=①，
()()
x x y y -=-020242②.①-②，得
02202
00=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，
003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC 的方程为()()0233202
00=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为???
?
??+=32,00
0kx x x ，同理得直
线3+=kx y 的方向向量()00,kx x =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=?，即
()0,32,00000=????
?
??+kx x kx x x ，化简得
()03
32002
0=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或02
0=x （舍去）.显然0≠k ，解得
k kx y k
k x 23,32000-=+=+-
=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以02
04x y <，即()
??? ?
?+-<-k k k 32422
，
3
223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k . 评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.
解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.
练习 若抛物线12
-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是 （ ）
A 、???
??+∞,41 B 、??? ??+∞,43 C 、??? ??41,0 D 、??
? ??-43,41 答案：B
题58 抛物线x y 42
=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2
csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点
是 ．
（第十三届高二培训题第73题）
解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，?
≠90α，代入抛物线方
程，消去x 得)4(2a y k y -=，即04
2=--ak y y k
． (弦长)2=)cot 1(2
α+()222
416161cot 16tan a a k αα??????+=++?? ? ?????????
()22
csc 16cot 16a αα=+ =α4
csc
16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．
当?
=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由???==x y a
x 42，得???==a
y a x 2或
??
?-==a
y a
x 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．
解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2
π
α=
，则弦长为42
csc
42
=π
，
此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42
=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2
π
α=
时，弦所在直线方程为1=x ．
再令4
π
α=，则弦长为84
csc
42
=π
，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代
入
x
y 42=并
整
理
，
得
4442=-+-b y y ，弦长
?+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--?=b ，解得0=b ，所以4
π
α=
时，弦所在直线方
程为1-=x y ．解??
?-==1
1
x y x ，得定点为（1，0）．
评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．
由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是
α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．
然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2
π
α=
与4
π
α=
，得到两个相应的弦所在直线的方程，
解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2
π
α=
与4
π
α=
，而不令713πα=
与325
π
α=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．
应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．
拓展 原题中弦长α2
csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线
x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.
定理 若抛物线)0(22
>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2csc 2p PQ =的充分必要条件是PQ
经过抛物线的焦点)0,2
(
p
F ． 证明 先证必要性:
由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(?
≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-2
2x k
0)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]
2122122
4)()1(x x x x k PQ -+?+=②．将①的两根
之和与积代入②，得()22
4
224
1csc 2k p p apk k
θ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（22
2tan p ap θ+），解得2
p a =
，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ?
=时，结论也成立．
再证充分性：
由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2
p
y k x k θθ?=-
=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ?
=时，结论也成立．
应用该定理，可解决下面的问题：
1．斜率为1的直线经过抛物线2
4y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 2．PQ 是经过抛物线2
4(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原
点）．（91年全国高中联赛题）
3．PQ 是经过抛物线2
4y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾
斜角α．（98年上海高考题）
答案：1. 8 2. 3.30?或150?
题59 长为)1( x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距 离等于 . （第13届高二第二试第20题） 解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--， ①, ②, ③. 于是有以下关系成立：22 222()()()2 y x y x l βαβααβ? +=+?? -=-???+=? ①+②，得2 2 α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4 )41)((2 2 2 l x x y =+-，即 2222 221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小 值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2 x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最 小值2 4 l . 评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？ 果然，可以消去βα、，得到22 2) 41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2 422164164x x x l y +++=，再令2 x u =，得到 22416416l u u y u ++=?+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的 最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412 >+x ， 故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x x l y ⑧，由于2 241x l +与2 41x +的积是定值，故当2 241x l +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1 14x +取不到l ，故由函数⑧为2 x 的单调增函数，可知当时， 0=x 4 2 min l y =. 注：形如)0()(2 >+=a x a x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若 (0)x a b b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x 单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论) 拓展 将此题推广，可得 定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22 >=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距 离为d ，则 （1） 当;8202min p l d p l =≤<时， （2） p l d p l d p l 8,222max min =-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(002 2 2211y x M p x x B p x x A 则22 12 12 22AB x x p p k x x -= - 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20 002()x py x y y x x p ?=? ?-=-?? ，消去y ，得2 2x -200 0220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即2002x y p >，所以2 00420py x ?=->（ ），又2120120 02,22x x x x x x py +==- ，所以12|l x x =- == 于是,2)(8202 022 0p x x p pl y d ++==对0x 求导数，得0 2' 222 0001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4() x p l p p x =-+ 22 00222 0[2()]4() x p x pl p p x = +++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0' 0x d =，得00x =，易知00x =，是d 的唯一极小值点， 所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min 8l d p =； （2）若2l p > ，令0 ' 0x d =，得00x =或0x =，易知当0 0x =时，2 max 8l d p =；当 0x =时，2 min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为2 4 l . 此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡. 此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下： 定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到 y 轴的距离为d ，则 （1）22max 22) 2(22b a l a a d a l a b --= ≤≤时，当； （2）当b l b a d a b l 2422 2max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(122 22>=-b a b y a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段 AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则 （1）22min 22) 2(2b a l a a d a b l ++= ≥时，当； （2）当b l b a d a b l 2422 2min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证 引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θ ρcos 1e ep -= ，其中e 表 示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ， 因为12,1cos 1cos()1cos ep ep ep e e e ρρθπθθ = ==--++，所以12||AB ρρ=+ 1cos ep e θ= -+θcos 1e ep +=θ2 2cos 12e ep -.当2 πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 下面运用引理证明定理2 . 证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线c a x 2=的距离分别是 ,22121t t t t t t += ，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a c e et =， |AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当a b l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2b a l a a c l a a e l c a d --= -=-=. （2）时，当a b l 2 2<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可 以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设 ∠ AMF= α ，由余弦定理知 222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+- 22211 ||cos 42 FM l l α=+-，在△BFM 中， 222211 ||||cos 42 BF FM l l α=++，所以 22221 ||||2||2 AF BF FM l +=+，所以 ||FM =22||a b FM t c c c +≥-= ，所以 c b l BF AF t 22 22||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又 2 22||||2l BF AF -+）（2 221222 )(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（, 4222l t e -=故 c b l t e t 22 2 241≥-+ ②.解此不等式，得b l b a c a t 242 22-- ≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 242 22min --=， b l b a b l b a c a c a d 24)24(2 22222max -=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述. 题60 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ） A 、圆 B 、圆，或椭圆 C 、圆，或椭圆，或双曲线 D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线 （第三届高二第二试第10题） 解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图 ⑴～⑸： O 在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆. 在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、 A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径. 可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支. 在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）. 综上，可知选D. 评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程. 应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了. 2019-2020年二年级数学竞赛试卷 1． 计算： ⑴5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=（ ） ⑵27+28+29+30+31+32+33=（ ）×7 2． 找规律： 11、13、17、23、31、（ ） 20、10、17、8、14、6、（ ）、（ ） 3．在□里填上符合条件的最大的数 55÷ 33 - 24 +36＜82 – 17 4．数一数下图中有（ ）个三角形、有（ ）个长方形。 5．把3、6、9、12、15、18、 21 、 24、27填在合适的方格里使每横行、竖 行、斜行的三个数相加的和都得45。 6．小林家养一些鸡，黄鸡比白鸡少16只，白鸡是黄鸡的3倍， 小林家一共养（ ）只鸡。 7．妈妈今年是38岁，女儿是20岁，当母女俩年龄之和是50岁时，是（ ） 年前的事。 8．小强买5支铅笔，小林买了9支铅笔，小林比小强多用了3角2分钱，一支铅笔（ ）钱，小林花了（ ）钱。 9．36加上4，减去8，再加上4，再减去8……这样连续地做下去，做（ ）次计算结果得0。 10．如果小明给小红一本书，那么两人的书一样多，如果小红给小明 一本书，那么小明的书就是小红的3倍。小明有（ ）本书、小红有（ ）。 11．今年是星期二，再过38天后是星期（ ）。 12．已知： □+□+○+○=18 □+□+○=15 □=（ ） ○=（ ） 13．一⑴班同学排队做操，第行人数同样多，小红的位置从左数是第5个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第2个，一⑴班一共有（ ）人。 14．二⑴班有学生40人，期中考试语文得100分的有28人，数学得100分的有32人，语文、数学都得100分的有（ ）人。 15．做一道减法题时，小明把减数的个位上的7看作9，十位上的5看作3，结果差是26，正确的答案应是（ ）。 16．一个笼子里装有鸡和兔子共10只，一共有34条腿，鸡有（ ）只，兔子有（ ）只。 17．一只蜗牛掉进一口9米深的井里，它每天白天爬上3米，夜里又滑下1米，这样要（ ）天，才爬出井口。 18．小丁有两个书架，第一个书架比第二个书架少30本书，如果把第一个书架拿走5本书，放到第二个书架，那么第一个书架现在比第二书架少（ ）本书。 19．1只小狗的重量是2只小兔的重量，1只小兔又是3只鸡的重量，1只狗6千克。1只鸡重（ ）千克。 20．把三根同样长的钢筋焊成长10米的钢筋，中间焊接处的重叠部分长都是1米，这三根钢筋各长（ ）米。 10米 历年初中希望杯数学竞赛试题大全 一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）1．下列运算正确的是【】 A．B．C．D． 2．2013年3月，在政府工作报告中对今年城镇保障性住房提出的具体目标是：基本建成470万套、新开工630万套，继续推进农村危房改造．630万用科学记数法表示这个数，结果正确的是【】 A．6.3×106B．6.3×105 C．6.3×102D．63×10 3．已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为【】厘米2． A．48 B．48πC．120πD．60π 4．下列所给的几何体中，主视图是三角形的是【】 5．如图，已知AB∥CD，CE交AB于F，若∠2=45°，则∠1=【】 A．135°B．45°C．35°D．40° 6．不等式组的解集是【】 A．x≥0 B．x＞-2 C．-2＜x≤3 D．x≤3 7．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A=40°， ∠B=30°，则∠AED的度数为【】 A．70 B．50 C．40 D．30 8．我县今年4月某地6天的最高气温如下（单位 C）：32，29，30，32，30，32． 则这个地区最高气温的众数和中位数分别是【】 A．30，32 B．32，30 C．32，31 D．32，32 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 9．-2的绝对值是． 10．函数中自变量x 的取值范围是． 11．已知等腰三角形的两边长分别是2和5，则该三角形的周长是． 12．分解因式4x2 -1= ． 13．如图，□ABCD中，对角形AC，BD相交于点O， 添加一个条件，能使□ABCD成为菱形．你添加的条件 是（不再添加辅助线和字母）． 14．如图，物体从点A出发，按照（第1步）（第2步） 的顺序循环运动， 则第2013步到达点处． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分） 15．（4分）计算： 16．（5分）解方程： 17．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64） 18．（6分）如图，点E、F在BC上，∠B=∠C，AB=DC，且BE=CF． （1）求证：AF=DE． （2）判断△OEF的形状，并说明理由． 19．（6分）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少 希望杯数学竞赛小学三年级试题 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： 题 号 一 二 三 合 计 （11） （12） （13） （14） （15） 得 分 ~ | 评卷员 @ A ． B ． C ． D ． 2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有2种填法,而整体填法 共有种填法，所以符合题意的概率为： . 3．定义两种运算：，，则函数为（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 ~（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数 3．A ．22 2222 2222()([2,2])(2)2 x x x f x x x ---===-∈---. 4．圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳 到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上． 5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z= . ~ 5.2-2i.由题意知b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得： 即z=2-2i. 6．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 . 6．(0,5).方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2可以变形为m =,即得, ∴5 | 32|)1(52 2+-++=y x y x m 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线x -2y +3=0之比为常数e =, 又由e >1,可得0 希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200 全国数学邀请赛初二第一试 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。 1．下列运动属于平移的是（） （A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行． （C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动． 2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（） （A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数． 3．如图1，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B '''，若BP=2，那么PP'的长为( ) （A ）（B （C）2 ．（D）3． 4．已知a是正整数，方程组 48 326 ax y x y += ? ? += ? 的解满足x>0，y<0，则a的值是（） （A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数． 5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2 k；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（） （A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④． (C) ①<③<②<④．(D) ③<②<①<④． 6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（） （A）40 ．（B ）（C）20．（D ）． 7．Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( ) （A）1：1．（B）2 （C）1 （D）1：2． (英汉词典：length长度；diagonal对角线；square正方形；rhombus菱形；respectively分别地；ratio比；area面积) 8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111． 9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15 ．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18． 10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致． （C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”． 二、A组填空题（每小题4分，共40分） 11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则 ABCD的周长是． 12．如果实数a ≠b，且101 101 a b a b a b ++ = ++ ，那么a b +的值等于． 小学二年级奥林匹克数学竞赛试卷 班级：_____________姓名：__________________得分：_____________ 一、填空题（共60分） 1、按规律填数。9% （1）1、3、5、7、9、（）。 （2）130、125、120、115、（）、105、（）。 （3）1、2、3、5、8、13、（）。 （4）75、3、74、3、73、3、（）、（）。 （5）1、4、9、16、（）、36。 （6）10、1、8、2、6、4、4、7、（）、（）。 2、给下面的算式加上括号，使算式成立。16% （1） 56 - 15 - 5 =46 （5） 3 + 5 × 6 =48 （2） 24 ÷ 3 × 2 =4 （6） 32 + 16 ÷ 8 =6 （3） 76 - 43 - 30 =63 （7） 85 – 25 + 16 =44 （4） 36 – 16 ÷ 4 =5 （8） 48 ÷ 6 + 2 =6 3、在下面每一行的数字间填上适当的运算符号或小括号，使等式成立。16% （1） 3 3 3 3 3=0 （5） 9 9 9 9 9=10 （2） 3 3 3 3 3=5 （6） 4 4 4 4 4=16 （3） 3 3 3 3 3=8 （7） 5 5 5 5 5 5=20 （4） 3 3 3 3 3=9 （8） 8 8 8 8 8 8 8 =100 4、把1、2、3、4、5、6、7、8、9填在（）里，（每个括号里只能填一个数字，每个数字只能填一次），使三个等式都成立。（6%） （）+（）=（） （）-（）=（） （）÷（）=（） 5、一根彩带长10米，每次剪1米，（）次剪完。（2%） 6、一根木料锯成功3段要6分钟，如果每次锯的时间相同，（）分钟可以锯成8段。（1%） 7、一列数字按“385161713851617138516171……”这样的规律排列，第20个数字是（），第50个数字是（）。（2%） 8、在34、2、19、6、20、3中选出三个数组成等式，使它们的得数分别等于25和37，如果需要也可以添上小括号。（4%） （1）__________________= 25 （2）__________________= 37 9、想一想，下面算式中的图形代表的数字是几？（4%） （1）▲ 1 ▲=（）（2）● 5 ●=（） - 5 ★★=（） + 4 ＆＆=（） 9 7 3 希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题 一、选择题:（每题1分，共10分） 1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( ) A ．45°. B ．75°. C ．55°. D ．65° 2．2的平方的平方根是 ( ) A ．2. B ． 2. C ．±2. D ．4 3．当x=1时，a 0x 10 -a 1x 9 +a 0x 8 -a 1x 7 -a 1x 6 +a 1x 5 -a 0x 4 +a 1x 3 -a 0x 2 +a 1x 的值是( ) A ．0 B ．a 0. C ．a 1 D ．a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π,BC=1+2,CA=7,则下列式子成立的是( ) A ．∠A ＞∠C ＞∠B; B ．∠ C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C; D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个 B ．5个. C ．6个. D ．7 6．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-?化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a - 8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组 B ．3组. C ．4组 D ．5组。 9.已知 1 1 12111222 222--÷-+++-?--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0. B ．1. C ．2. D ．4. 把f 1990化简后，等于 ( ) A ． 1-x x . B.1-x. C.x 1 . D.x. 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由． 二年级下册数学思维竞赛试卷 （时间：60分钟） 1、找规律填数。 2、在1、2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10中选出9个数填在（）里组成三道 算式，每个数只能用1次。 （）+（）＝（） （）+（）＝（） （）+（）＝（） 3、把5、6、7、8、9这5个数填入“□”，使横行、竖行、斜行上三个数的和 都得15。 4、在下面等式的左边填上适当的运算符号或括号，使等式成立。 5、下面竖式中的图形分别是多少。 6、下面的硬纸片没虚线折起来，就可以做成一个正方体盒子，那么A面所对的那个面是（）。 7、白兔、灰兔跑得一样快，它们同时出发，（）兔最先吃到萝卜。 8、下图中，能一笔画成，请用箭头画出走向。 9、将8个小立方块组成如下图所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后把小方块分，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有（）个。 （2）4面被涂成红色的小立方块有（）个。 10、一根带子，先对折，再对折，从中间剪上一刀，分成（）段。 11、用0、1、3、5能组成几个不同的三位数。请你在下面写出来。 12、从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？请你把每种拿法写在下面。 13、从76里面连续减8，减了（）次还剩4。 14、一根细绳对折两次后，长9米，这根细绳原来长（）米。 15、笼子里有3只公鸡，5只白兔，笼子里共有（）个头，（）只脚。 16、课间10分钟里，A、B、C、D、E这5个小朋友并排坐在一起做游戏，D的两边是B和C，B在A和D之间，E只有一侧有人，且与D只隔一人，则E的旁边是（）。 17、两个书架上共80本书，从第一个书架拿8本书放入第二个书架，两个书架的本数相等，原来第一个书架有（）本书。 18、1只小狗的重量等于2只小兔的重量，4只小猫的重量等于2只小兔的重量，1只小狗重4千克，1只小猫重（）千克。 19、一杯牛奶，小梅先喝了半杯，往杯里加满冷开水，再喝半杯，又加满冷开水，最后小梅将它全部喝完，问她一共喝了（）杯牛奶。 20、在一次数学考试中规定：做对一道题得5分，做错一道题扣3分.小伟做了10道题共得了34分，请问他做对了（）道题。 第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ） “希望杯”全国数学竞赛（第1-23届） 初一年级/七年级 第一/二试题 目录 1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-005 2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-012 3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-020 4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-026 5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-032 6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-040 7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-050 8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-058 9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-066 10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。-073 11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。-087 13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。-098 14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-105 15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。-113 16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-120 17.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。-129 18.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-138 19.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-147 20.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题.....................148-151 21.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-161 22.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题..... 错误!未定义书签。-169 23.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-174 24.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题..... 错误!未定义书签。-178 25.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-184 2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷 考生注意事项： 1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟. 2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答 案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ） （A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数 2．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）9 3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如 果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ） （A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y | 2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表 的曲线是 ( ) （A ）三角形 （B ）正方形 （C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形 6．已知x ，y 满足?????y －2≤0， x ＋3≥0，x －y －1≤0， 则46 --+x y x 的取值范围是 ( ) （A ）??????720,2 （B ）??????713,1 （C ）??????73,0 （D ）?? ????76,0 7．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234 = S S S S S λ+++， 则λ一定满足( ) （A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ <5.5 第4题 【希望杯竞赛题】61-70 题61 设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +3 2 y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交于 点P ，则点P 的轨迹方程是 ． （第十二届高二培训题第47 题） 解 设直线y =b kx +与椭圆72x +32y =1相切，则二次方程72x +()132 =+b kx ，即()021********=-+++b kbx x k 有两个相等实根，其判别式()()()2 22144377210kb k b ?=-+-=，解得22273,73k b k b +±=+= ．因此斜率为k 的椭圆的切线有两条：2 73k kx y +±=①，与其中每条垂直的切线也各有两条：273k k x y +±-=②；另有与x 轴垂直的切线两条：7±=x ，与其中每条垂直的切线又各有两条：3±=y ． 由①、②得()kx y -2=273k +③，2273k k x y +=??? ? ?+④，④式即()7322+=+k x ky ⑤．③+⑤得()()() ,1101122222+=+++k y k x k 即1022=+y x ⑥．又点()()()() 3,7,3,7,3,7,3,7----都适合方程⑥．故点P 的轨迹方程为1022=+y x ． 评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题．解题的关键有两个：如何设两条动切线方程与如何消去参数．当切线的斜率存在时，我们可设其方程为b kx y +=，此时出现两个参数k 与b ，由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解，故由二次方程有等根的条件得2 73k b +±=（这与事实一致：斜率为k 的椭圆的切线应当有两条），从而切线方程为273k kx y +±=，那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的k 换成k 1-所得方程，即273k k x y +±-=．此时突破了第一关．下面是否通过解方程组得交点轨迹的参数方程，然后再消参得所求轨迹方程呢？想象中就是非常繁琐的．上面题解中的方法充分体现了消参的灵活性，大大简化了解题过程．然而，事情到此并未结束，以上 刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。 专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 第十八届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第二试 2007年4月15日 上午8：30至10：30 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。）以下每题的四个选项中，仅有 一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形 2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么|||||| a b c x a b c = +- 的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种 3、ABC ?的边长分别是2 1a m =-，2 1b m =+，()20c m m =>，则ABC ?是（ ） （A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形 4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ） （A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号 5、实数 a 、b 、m 、n 满足a 目录 希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( ) A．a，b都是0．B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数． 2．下面的说法中正确的是( ) A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式． C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式． 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数． B ．没有最小的正有理数． C ．没有最大的负整数． D ．没有最大的非负数． 4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号． B ．a ，b 异号． C ．a ＞0． D ．b ＞0． 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个． B ．3个． C ．4个． D ．无数个． 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身． 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A ．0个． B ．1个． C ．2个． D ．3个． 7．a 代表有理数，那么，a 和－a 的大小关系是 ( ) A ．a 大于－a ． B ．a 小于－a ． C ．a 大于－a 或a 小于－a ． D ．a 不一定大于－a ． 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A ．增多． B ．减少． C ．不变． D ．增多、减少都有可能． 二、填空题（每题1分，共10分） 1. 2111516 0.01253(87.5)(2)4571615 ?- ?-÷?+--= ______． 2．2－2=______． 3.2481632 (21)(21)(21)(21)(21) 21 +++++-=________. 4. 关于x 的方程 12 148 x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______． 6.当x=- 24 125 时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式 272711 ()(0.16)()73724 a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．2019-2020年二年级数学竞赛试卷
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