2018年全国高考文科数学2卷-精美解析版(可编辑修改word版)

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）

文科数学2018.7.1

本试卷4 页，23 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．

一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．i(2 + 3i) =（）

A. 3 -2i

B. 3 +2i C．- 3 - 2i D．- 3 + 2i

1．【解析】i(2 + 3i) = 2i - 3 =-3 + 2i ，故选D．

2．已知集合A = {1,3,5,7} ，B ={2,3,4,5}，则A B =（）

A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}

2.【解析】A B = {3,5}，故选C．

e x -e-x

3.函数f (x) =

A

的图像大致为（）

x 2

B

C.D

3.【解析】 f (-x) = e-x -e x

x 2

=-f (x) ，即f (x) 为奇函数，排除A；由f (1) =e -

1

e

>0 排除D；由

f (4) = e4 +e-4

16

=

1

(e2

16

+

1

)(e +

e2

1

)(e -

e

1

) >e -

1

=

e e

f (1) 排除C，故选B．

3 2 3

2

30

29

2 2

1 1 1 1

1

4. 已知向量 a , b

= 1， a ? b = -1，则 a ? (2a - b ) = （

）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

4．【解析】 a ? (2a - b ) = 2a - a ? b = 2 + 1 = 3 ，故选 B ．

5. 从 2 名男同学和

3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（

）

A ． 0.6

B ． 0.5

C ． 0.4

D ． 0.3

5. 【解析】记 2 名男同学为 a , b 和 3 名女同学为 A , B , C ，从中任选 2 人： ab , aA , aB , aC , bA , bB , bC , AB ,

AC , BC ，共 10 种情况．选中的 2 人都是女同学为： AB , AC , BC ，共 3 种情况，则选中的 2 人都是女同学

的概率为0.3 ，故选 D ．

x 2 6.

双曲线 a

2 - y 2

b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为（

）

A. y = ± 2x

B. y = ±

c

c 2

3x

a 2 +

b 2

C. y = ±

x

2

b

D.

y = ± x

2

6. 【解析】离心率e =

= a

C

?

=

a 2

a 2

= 3 ，所以 = a

，渐近线方程为 y = ± 2x ，故选 A ．

7.

在?ABC 中， cos = 2 ， BC = 1， AC = 5 ，则 AB = （

）

5

A ． 4

B ．

C ．

D ． 2 7. 【解析】cos C = 2 cos 2

C

- 1 = - 3

， 2 5

由余弦定理得 AB = 故选 A ．

= 4

8. 为计算 S = 1 - + - + + - ，设计了右侧的

2 3 4

99 100

程序框图，则在空白框中应填入（

）

A. i = i + 1

B. i = i + 2

C. i = i + 3

D. i = i + 4

8. 【解析】依题意可知空白框中应填入 i = i + 2 ． 第 1 次循环： N = 1,T = 1

, i = 3 ； 第 2 次循环：

2

1 1 1 1 1 1 1 1

N = 1 + 3 ,T = 2 + 4 , i = 5 ； ；第 50 次循环： N = 1 + 3 + + 99 ,T = 2 + 4 + + 100

, i = 101，结

束循环得 S = 1 - 1 2 + 1 - 1 3 4 + + 1 99 - 1 100

，所以选 B ．

3 2 5 5

BC 2 + AC 2 - 2BC ? AC ? cos C

2 3

5

5 3 - 1 3 3 EB D

9. 在正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中， E 为棱 CC 1 的中点， 则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 （

）

A.

B ．

C ．

D ． 2

2

2

2

9. 【解析】如图所示，因为CD // AB ，

所以异面直线 AE 与CD 所成角即 AE 与 AB 所成角，其大小等于∠EAB ，

C 1 B 1

D 1

A E 1

令正方体的棱长为2 ，则 AB = 2 ， EB = ， C B

所以tan ∠EAB = =

AB

5 ，故选 C ．

A 2

10. 若 f (x ) = cos x - sin x 在[0, a ] 上是减函数，则 a 的最大值是（

）

3 A.

B ．

C ．

D ．

4

2

4

3 3

1

0. 【解析】因为 f (x ) = cos x - sin x

=

故选 C ．

2 cos(x + ) 在区间[- 4 , ] 上是减函数，

所以 a 的最大值是 ， 4 4 4

1.已知 F 1 , F 2 是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 PF 1 ⊥ PF 2 ，且∠PF 2 F 1 = 60 ，则C 的离心率为（

）

A.

1 - 2

B.

2 - C.

D ． -1

2

11. 【解析】不妨令椭圆 C 的两个焦点在 x 轴上，如图所示．因为 PF 1 ⊥ PF 2 ，且∠PF 2 F 1 = 60 ，所以

F P = c ， F P = 3c ． 由 F P + F P = (1 + 3)c = 2a ，所以离心率e = c

= = - 1 ，故选 D ．

2 1 1 2

a

12.

已 知 f (x ) 是 定 义 域 为 (-∞,+∞) 的 奇 函 数 ， 满 足 f (1 - x ) = f (1 + x ) ． 若 f (1) = 2 ， 则

f (1) + f (2) + f (3) + + f (50) = （

） A ． - 50

B. 0

C. 2

D. 50

12．【解析】因为 f (-x ) = - f (x ) ，所以 f (1- x ) = - f (x -1) ，则 f (x +1) = - f (x -1) ， f (x ) 的最小正周 期 为 T = 4 ． 又

f (1) = 2 ， f (2) = - f (0) = 0 ， f (3) = - f (1) = -2 ， f (4) = f (0) = 0 ， 所 以

f (1) + f (2) + f (3) + + f (50) = 12[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)] + f (49) + f (50) = f (1) + f (2) = 2 ，

选 C ． y

P

F 1 O

F 2

x

7

3

3

2 1 + 3

3 ? ?

1

)

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 曲线 y = 2 l n x 在点(1,0) 处的切线方程为 ．

13. 【解析】 y ' =

2 ? y ' | x

x =1

= 2 ，则曲线 y = 2 ln x 在点(1,0) 处的切线方程为 y = 2x - 2 ．

?x + 2 y - 5 ≥ 0 14.

若 x , y 满足约束条件?

x - 2 y + 3 ≥ 0 ，则 z = x + y 的最大值为

．

?x - 5 ≤ 0 14. 【解析】可行域为?ABC 及其内部，当直线 y = -x + z 经过点 B (5,4) 时， z max = 9 ．

15．已知 tan(

- 5 = 4 1 ，则tan = ． 5

15.

【解析】因为 tan(-

5 ) = tan(- ) = 4 4

tan - 1 = 1 + tan 1 ，所以tan = 3

． 5 2

16 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA , SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为30 ，若?SAB 的面积为8 ，则该

圆锥的体积为 ．

16. 【解析】如图所示，因为 S

= 1 SA ? SB = 1

SA 2 = 8 ，所以 SA = 4 ． S

?SAB 2 2

又 SA 与圆锥底面所成角为30 ，即∠SAO = 30 ， 则底面圆的半径OA = 2 ， S O = 2 ，

A

圆锥的体积为V = ?12 ? 2 =

8． 3

B

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）

记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1 = -7 ， S 3 = -15 ．

（1） 求

{a n }的通项公式；

（2） 求 S n ，并求 S n 的最小值． 17. 【解析】（1）设等差数列

{a n }的公差为 d ，则

y

B

A

C

－3

O

5 x

O

n 由 a 1 = -7 ， S 3 = 3a 1 + 3d = -15 得 d = 2 ，

所以 a n = -7 + (n - 1) ? 2 = 2n - 9 ，即{a n }的通项公式为 a n = 2n - 9 ；

（2）由（1）知 S n =

n (-7 + 2n - 9) 2

= n 2

- 8n ， 因为 S = (n - 4)2

-16 ，

所以 n = 4 时， S n 的最小值为- 16 ．

18．（12 分）

下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．

年份

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性回归模型，根据 2000

年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2, ,17 ）建立模型①： y ? = -30.4 + 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2, ,7 ）建立模型②： y

? = 99 + 17.5t ． （1） 分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2） 你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

18．【解析】（1）将t = 19 代入模型①： y

? = -30.4 +13.5?19 = 226.1（亿元）， 所以根据模型①得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1 亿元；

将t = 9 代入模型②： y

? = 99 +17.5? 9 = 256.5 （亿元）， 所以根据模型②得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5 亿元． （2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

答案一：从折现图可以看出，2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线

y ? = -30.4 + 13.5t 的上下，2009 年至 2010 年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①

不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而 2010 年至 2016 年的数据对应的点紧密的分布在回归直

线 y

? = 99 + 17.5t 的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预

3 OC 2+CM 2- 2OC ?CM ? cos∠OCM

4 +32

-

16

9 3

2 5

4 5

B

=

测值更可靠．

答案二：从计算结果来看，相对于2016 年的环境基础设施投资额为220 亿元，利用模型①得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5 亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．

19．（12 分）

如图，在三棱锥 P -ABC 中， AB =BC = 2 （1）证明：PO ⊥平面ABC ；，PA =PB =PC =AC = 4 ，O 为AC 的中点．

P

（2）若点M 在棱BC 上，且MC = 2MB ，求点C 到平面POM 的距离．19．【解析】（1）证明：连接OB ，

PA =PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，

AB =BC = 2 2, AC = 4 ，

∴AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC ，∴O B =1

AC = 2 ， A

O C 2

又PO = 2 3, PB = 4 ，则OB 2+PO 2=PB 2，即OP ⊥OB ，

M AC OB =O ，∴PO ⊥平面ABC ；

（2）点C 到平面POM 的距离为d ，

V =1

S ?PO =

1

?

1

S ?PO =

1

? 4 ? 2

8 3

，

P-OMC 3 ?OMC 3 3 ?ABC 9 9

由余弦定理得OM =，P 则OM ==，

3

由（1）知PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥OM ，

则 S

?POM

又V

P-OMC =

1

?PO ?OM =

2

=V

C -POM

，

2 15

，

3 A

O C

M

B

则8 3

=

1

S ?d ?d =

4 5

，9 3 ?POM 5

所以点C 到平面POM 的距离为．

5 20．（12 分）

设抛物线C : y 2= 4x 的交点为F ，过F 且斜率为k (k > 0) 的直线l 与C 交于A, B 两点，AB （1）求l 的方程；= 8 ．

2

2m 2 - 12m + 34 ? （2） 求过点 A , B 且与C 的准线相切的圆的方程．

20．【解析】（1）焦点 F 为(1,0) ，则直线l : y = k (x - 1) ，

? y = k (x - 1) 联立方程组? y 2 = 4x

，得 k 2 x

2 - (2k 2

+ 4)x + k 2 = 0 ，

令 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 2k 2 + 4

k

2

， x 1 x 2 = 1． 根据抛物线的定义得 AB = x 1 + x 2 + 2 = 8 ， 2k 2 + 4 即

= 6 ，解得 k = 1 （舍去 k = -1 ），

k

2

所以l 的方程为 y = x - 1 ；

（2）设弦 AB 的中点为 M ，由（1）知

x 1 + x 2

2

= 3 ，所以 M 的坐标为(3,2) ，

则弦 AB 的垂直平分线为 y = -x + 5 ，令所求圆的圆心为(m ,5 - m ) ，半径为 r ，

根据垂径定理得 r ==

由圆与准线相切得 m + 1 = ，解得 m = 3 或 m = 11．

则所求圆的方程为： (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x - 11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．

21．（12 分）

已知函数 f (x ) = 1

x 3 - a (x 2 + x + 1) ．

3

（1） 若 a = 3 ，求 f (x ) 的单调区间； （2） 证明： f (x ) 只有一个零点．

21．【解析】（1） a = 3 时， f (x ) = 1

x 3 - 3(x 2 + x + 1) ，则 f '(x ) = x 2 - 6x - 3 ，

3

由 f '(x ) = x 2 - 6x - 3 > 0 得 x ∈ (-∞,3 - 2 3) (3 + 2 3,+∞) ；

由 f '(x ) = x 2 - 6x - 3 < 0 得 x ∈ (3 - 2 3,3 + 2 3) ，

所以 a = 3 时， f (x ) 的单调增区间为(-∞,3 - 2 3),(3 + 2 3,+∞) ，减区间为(3 - 2

2

3,3 + 2 x 3

3) ．

（2）因为 x + x + 1 > 0 恒成立，所以要证明 f (x ) 只有一个零点等价于证明方程

x 3

3(x 2

+ x + 1)

= a ，

即证明直线 y = a 与曲线 g (x ) =

3(x 2

+ x + 1)

只有一个交点．

? ?

y = 2 + t sin

? >

g '(x ) = 9x 2 (x 2 + x + 1) - 3x 3 (2x + 1) = 9(x 2 + x + 1)2 x 2 (x 2 + 2x + 3) = 3(x 2 + x + 1)2 x 2 [(x + 1)2

+ 2

]

3(x 2 + x + 1)

2 0 所以 g (x ) 在 R 上为单调递增的函数，所以直线 y = a 与曲线 y = g (x ) 只有一个交点，得证．

（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）

?x = 2 cos

在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 ? y = 4 sin (为 参数 ) ， 直线 l 的参数方程为

?x = 1 + t cos (t 为参数)

? （1） 求C 和l 的直角坐标方程；

（2） 若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求l 的斜率．

22．【解析】（1）消去参数

，得C 的直角坐标方程为 x 4

+ y 2

16 = 1；

消去参数t ，得l 的直角坐标方程为sin

? x - cos

? y - sin + 2 cos = 0 ；

（ l 的直角坐标方程也可写成： y = tan (x - 1) + 2(≠

?x = 1 + t cos ) 或 x = 1 ．）

2

x 2 y 2

（2）方法 1：将l 的参数方程： ? y = 2 + t sin (t 为参数) 代入C : + 4 16 = 1得：

4(1 + t cos

)2 + (2 + t sin )2 = 16 ，即(1 + 3cos 2 )t 2 + 4(2 cos

+ sin )t - 8 = 0 ，

- 4(2 cos + sin )

由韦达定理得t 1 + t 2 =

，

1 + 3cos 2

依题意，曲线C 截直线l 所得线段的中点对应 t 1 + t 2

2

= 0 ，即2 cos + sin = 0 ，得tan = -2 ．

因此l 的斜率为- 2 ．

方法 2：令曲线C 与直线l 的交点为 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，

? x 2 y 2 ? 1 + 1 = 1 (x - x )(x + x ) (y - y )(y + y )

则由? 4 16 得 1

2

1 2

+

1 2

1

2

= 0 ，其中 x + x = 2, y + y = 4 ．

? x 2 y 2 4

16

1

2

1

2

? 2 + 2 = 1 ? 4 16

所 以 x 1 - x 2 + y 1 - y 2 = 0 ? y 1 - y 2

= -2 ，即l 的斜率为- 2 ．

2 4 x 1 - x 2

23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）

设函数 f (x ) = 5 - x + a - x - 2 ．

2

（1）当a = 1时，求不等式f (x) ≥ 0 的解集；

（2）若f (x) ≤ 1 ，求a 的取值范围．

23．【解析】（1）a = 1时，f (x) = 5 -x + 1 -x - 2 ，

x ≤-1时，f (x) = 5 +x + 1 +x - 2 = 2x + 4 ≥ 0 ，解得- 2 ≤x ≤-1 ；

- 1

x ≥ 2 时，f (x) = 5 -x - 1 -x + 2 =-2x + 6 ≥ 0 ，解得2 ≤x ≤ 3 ，

综上所述，当a = 1时，不等式f (x) ≥ 0 的解集为[-2,3]．

（2）f (x) = 5 -x +a -x - 2 ≤ 1，即x +a +x - 2 ≥ 4 ，

又x +a +x - 2 ≥x +a -x + 2 =a + 2 ，

所以a + 2 ≥ 4 ，等价于a + 2 ≥ 4 或a + 2 ≤-4 ，

解得a 的取值范围为{a | a ≥ 2 或a ≤-6}．