新概念物理教程力学答案详解(四)

新概念物理教程力学答案详解(四)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

3

v

m 新力学习题答案（四）

4—1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。求

（1）质点对三个点的角动量；

（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。

0sin (sin ()2(0

0sin (sin (131213121=====?=?======?=mg d M mg d mg d M mg

d M g

m r F r M mv d J mv d mv d J mv

d J v

m r J A B A C B A 方向垂直纸面向里）

方向垂直纸面向里）

方向垂直纸面向里）

方向垂直纸面向里）

）解：（θθ 的力矩。

的角动量和作用在其上。求它相对于坐标原点的力方向并受到一个沿处，速度为的粒子位于（一质量为—f x j v i v v y x m y x -+=,??),.24 ()(

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i ymg k

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f j y i x

g m f r F r M k myv mxv j

v i v m j y i x v m r J x y y

x ????????????-+=--?+=+?=?=-=+?+=?= 解：()

()

秒弧解：依题有：

求其角速度。为普朗克常量，等于已知电子的角动量为率运动。的圆周上绕氢核作匀速，在半径为电子的质量为—/1013.1103.5101.914.321063.622),1063.6(2/103.5101.9.34172

11

3134

2

2341131?=??????===

==????------mR h h mR Rmv J s J h h m kg πωπ

ωπ什么变化？

为多少？圆锥的顶角有的速度时，摆锤，摆长拉倒时摆锤的线速度为设摆长为我们可将它逐渐拉短。，子，系摆锤的线穿过它央支柱是一个中空的管如本题图，圆锥摆的中—2211.44v l v

l

解：分析：摆锤受到绳子张力和重力的作用，此二力对过O 沿管子方向均无力矩分量，

所以过O 沿管子方向（即竖直方向）上角动量守恒。

4—5．如本题图，在一半径为R 、质量为m 的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度ω绕中心轴转动。汽车相对于转台沿径向向里开，当它走到R/2初时，转台的角速度变为多少动能改变多少能量从哪里来

解：由汽车和转台组成的系统角动量守恒。

()

顶角变大又两式相除得时有当顶角为摆锤作圆周运动2

11

231

3

223

21311

2

31223

21

2

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11122112222122112

222

21112222111sin sin sin sin sin sin sin sin sin :sin sin cos :

,sin sin sin sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

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?=l l l l tg tg l l l l v l l v l v l v tg tg gl v tg l mv r mv T mg T l v l v v l v l

4—6．在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v 时，转台怎样转动？

解：对速度产生影响的是汽车与转台之间的摩擦力。对系统而言，摩擦力是内力。

擦力作功而来。能量从汽车对转台的摩转台动能改变为：又：时：汽车走到起初转转汽切向转汽转01003958212121

'215

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22222>=???

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ωωωωωωωωωmR mR I I E J J mR R

mR mR v m R I J R mR R m

R mR v m R

I J

4—7．两质点的质量分别为m 1、m 2（m 1大于m 2），栓在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度ω在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大角动量之比为多少

4—8．在上题中，若起初按住m 2不动，让m 1绕着它以角速度ω旋转。然后突然将m 2

放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为 。

.

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1(:,,2222

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22

22212212121动即转台沿相反的方向转由即则转台边缘的速度为设汽车的速度为折合转v

v v v vv v v v v v m m m m

v m R v mR v m I v m v

v v v v ±-=

∴=++?=++=

=??? ??+=+=-ω()()2

1212221211221

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21212111111211121212211212121:,,J J m m l m m m m m l m m m m r m v m r J l m m m m m l m m m m r m v m r J l

m m m r l m m m r r m r m l r r r r m m <∴>+?=???? ??+==?=+?=???? ??+==?=???

???

?

+=+=????==+又：

两质点对质心的角动量则有：

与距质心分别为解：先求质心位置：设ωωωωωω ()即质心作匀速直线运动

总动量守恒不受力，组成的系统在水平方向、后，解：突然放开2

1121111212:m m l

m v v m m l m v m m m m c c

+=

?+==ωω

4—9．两个滑冰运动员，体重都是60kg ，他们以6.5m/s 的速率垂直地冲向一根10m 长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细杆的质量可以忽略不计。

（1）求他们抓住细杆前后对于其中点的角动量；

（2）他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m 时，各自的速率是多少？

（3）求此系杆中的张力；

（4）计算每个运动员在减少他们之间距离的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。

()()221211211

2

1

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212121111112111212122112121212,,ωωωωωωωωωl m m m m r m r v m T l m m m m J J J l m m m m m l m m m m r m v m r J l m m m m m l m m m m r m v m r J l

m m m r l m m m r r m r m l r r r r m m m +===+=

+=+?=???? ??+==?=+?=???? ??+==?=????

???

+=+=???

?==+绳中的张力：

：两质点对质心的角动量

则有：与距质心分别为先求质心位置：设

质心角动量守恒后的那一瞬间，系统对突然放开

解：两人和杆组成的系统角动量守恒，质心在杆的中点。

4—10．在光滑的水平桌面上，用一根长为 的绳子把质量为m 的质点联结到一固定点O 。起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v 0沿一直线运动。质点与O 最接近的距离为b ，当此质点与O 的距离达到 时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道。

（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？

（2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？

绳断后质点对O 的角动量如何变化？

()

()()

焦耳

：每位运动员动能的变化此时绳子的张力：即：

的过程中，角动量守恒在运动员往自己边收杆，均为：

对杆中点的角动量不变各运动员在抓住杆前后5.38025.613602

1

'21)4(40562

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r mv T s m v v mv r

mv r rmv J J J J s

kgm rmv v m r J

()θ

θθ

θsin :

21sin sin 2

1sin 2121)1(0222

0202

lmv J O m m E E mv v m E mv E =<====为的角动量不变，对以与支持力相抵消），所由于无外力作用（重力将作直线运动

）绳突然断后，（性势能。其它能量转变成绳的弹解：初

终

终初

4—11．图中O 为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r 2（k 为一常量）。

（1）求此力场的势能；

（2）一质量为m 的粒子以速度v 0、瞄准距离b 从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。

4—12．在上题中将排斥力改为吸引力，情况如何？

2

40223

202402202

2

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121)2(1b

v m k k mbv v mv b

v m k k R b a b mvR b mv a mv R k mv b r

k dr r k r d f E r r

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p ++=

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∝

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求出：由（角动量守恒：机械能守恒：：

设最近距离为能零点的）（这是取无穷远处为势处的势能：）解：（

4—13．如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？

4—14．一根质量可以忽略的细杆，长度为 ,两端各联结质量为m 的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一质量相同的质点以速率v 0沿450角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。

2

402230

2

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v m k k mbv v mv b

v m k k R b a b mvR b mv a mv R k mv b r k

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k r d f E r r r p ++-=

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∝求出：由（角动量守恒：机械能守恒：：

设最近距离为能零点的）

（这是取无穷远处为势初的势能：）解：（ km

l kg M km R kg M 52224108.3,107.

6400,106?=?≈=?≈地月距离为月球的质量为地球半径为已知地球的质量为月田田=

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2

108.322'22/482/24'''l l GM GM l l GM l l M l

M GM F ππωωωωωω田田田月月田地月同。

期与地球自转的周期相解：月球绕地球转的周

4—15．质量为M 的均匀正方形薄板，边长为L ，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m 、速度为v 的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样运动？

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]

l

v lv v ml I v v l m v l v v mv I mv mv mv mv mv ml l m I c c c c c c c

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ωωω））（）（由（）和（对质心的角动量守恒即：机械能守恒：）

（动量守恒：：

是杆上两质点的质心）由三质点组成的系统解：碰撞前后

4—16．由三根长 、质量为m 的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。

4—17．六小球各重60g ，用长1cm 的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述情况的转动惯量。 （1）转轴通过中心与平面垂直； （2）转轴与对角线重合； （3）转轴通过一顶点与平面垂直。

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+-=+=?+=+=+=+=======??v M m M m v L M m mv ML L mv I L mv mvL ML mv I mv mv ML L Ldx x dm x I Ldx

ds dm L dx x L

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131:,22

222222

422

ωω

ωωωσσσσ对铅垂轴角动量守恒：机械能守恒：碰撞前后：

则的面元。长为处，取小矩形：宽为在距离铅垂边为惯量：

解：板对铅垂边的转动B

22

2

2223231213131ml l m ml ml ml I I I I O O

AB O BO O AO =???? ?

????? ??+++=++=对对对则：利用平行轴定理。

且与该三角架垂直的轴

解：设该转轴为过

4—18．如本题图，钟摆可绕O 轴转动。设细杆长 ,质量为m ，圆盘半径为R ，

质量为M 。求：（1）对O 轴的转动惯量；

（2）质心C

4—19．在一质量为M 、半径为R 的均匀圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

()2

222222222

2227201601212222322)3(180********)2(360160661gcm ml l m ml l m I gcm ml l m I gcm ml I =??==++???

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对角线中心）（解：利用平行轴定理：

l R ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? + + + = + = M m l R M l m M m l R M MR ml I I I

又 ）依平行轴定理有： 解：（ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 1 : 2 ) 2

( 3 1 1 ?

? ? ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? + + + = + - = ∴ + + = + + + ? ? ? ? ? = + + = == += + = ∑ M m l R M l m M m l R M MR ml x M m I I x M m I I M m l R M l m M m Mx mx m x m x ml I I I

又 解：（

4—20．一电机在达到20r/s 的转速时关闭电源，若另它仅在摩擦力矩的作用下减速，需时间240s 才停下来。若加上阻滞力矩500N.m ，则在40s 内可停止。试计算该电机的转动惯量。

解：根据系统对定轴的转动定理，有：

4—21．一磨轮直径0.10m ，质量25kg ，以50r/s 的转速转动。用工具以200N 的正压力作用在轮边上，使它在10s 内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。 解：依刚体对定轴的转动定理有：

4—22．飞轮质量1000g ，直径1.0m ，转速100r/min 。现5.0s 内制动，求制动力F 。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦

()42

2

22224222

2

2222

21212122122122r

R M r R M R r R M r R M MR R r r r MR I I I I I I R M O

O O O O O --=--=??

?

? ????? ??+-=-=∴+==

σπσππσ小圆盘对盘对剩余对小圆盘对剩余对盘对依平行轴定理有：解：面密度()()())

(1.191600

)

2(40

5004001240

400/40220211

kgm I M I t M M I M I t M I ==

??+=?+-=-?=?-=-=?=π

πωπωππω磨阻磨磨磨即：加上阻滞力矩后：）

（即：只有摩擦力矩时：秒弧098

.010

05.020025005.0255.021

2

1

222=??????==?-=-=-=-πωμωωμNrt mr mr I Nrt frt 初

初

初

系数μ=0.50，飞轮质量全部分布在外边缘上，尺寸如本题图所示。 解：闸瓦要处于平衡状态，依力矩平衡原理，

设闸瓦受到飞轮的支持力为N ，则有：

4—23．发电机的轮A 由蒸汽机的论B 通过皮带带动。两轮半径

R A =30cm,R B =75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度βB =0.8πrad/s 2,设轮与皮带之间没有滑动。

（1）经过多少秒后发电机的转速达到n A =600r/min

（2）当蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速减到300r/min ，求其角加速度。

N t mr F mr I Frt frt t M F

N f F

N F N f 84.015

40.55.05.260/21005.015.25.25.25.2)75.05.0(5.02==?????==

?=======?+?=?π

πμωωωμμμ摩擦力理：飞轮对圆心的角动量定()()()

()

2

/5.06

60

60/30060/6002'

'2''')2(10260/6002222230

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.08.0)1(s rad t n n t s

n t t

n R R R R A A A A A A A A A A A

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B A B

B A A ==

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-=

-=

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=?=π

ππωωβπ

πβππ

βπωπ

πββωω皮带不可伸长，所以：解：

4—24．电动机通过皮带驱动一厚度均匀的轮子，该轮质量为10kg,半径为10cm,设电动机上的驱动轮半径为2cm,能传送5N.m 的转矩而不打滑。 （1）若大轮加速到100r/min 需要多长时间？

（2）若皮带与轮子之间的摩擦系数为0.3，轮子两旁皮带中的张力各为多少（

设皮带与轮子的接触面为半各圆周。

())

2(15.05

6663101.0102131021310310

602100.

12

2s

M

t t

t t mR I M t

t t =?=

=

∴=

???======?=

πππππβπ

ωβππω轮轮轮轮轮设所求的时间为）对于轮子而言，有：解：（