数列求和裂项法,错位相减法,分组求和法
数列求和的三种特殊求法
例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和：
（1）21
1，41
2，81
3，……n n 21
+，…… （2）1，211
+，3211
++……n +??+++3211
……
（3）5，55，555．……，55……5，……（4）0.5,0.55,0.555，……，0.55……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和：
（1） )1(1+=n n a n （2）)2(1
+=n n b n
（3）{a n }满足a n =11++n n ，求S n （4）求和：+?+?=53431222n S ……+)12)(12()2(2
+-n n n
（5）求和)2)(1(1
4321
3211
+++??+??+??=n n n S n
例4、求数列ΛΛ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 21
2-，……
知识演练：
1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足)3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n
n n 且Λ，
则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a Λ
A ．)12(-n n
B ．2)1(+n
C ．2n
D ．2)1(-n
2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =21
1n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点
最新错位相减法求和附答案
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： ①项的对应需正确； ②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； ③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅰ）设，是数列的前项和，求． [解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点， 则设，， Ⅰ，Ⅰ， 又点均在函数的图象上， Ⅰ． Ⅰ当时，， 又，适合上式， Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，， Ⅰ， Ⅰ， 上面两式相减得： ． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）的值. [答案]查看解析 [解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n－3① 当时4s n－1 = + 2a n-1－3② ①－②, 即，
Ⅰ , （）， 是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． （2）③ 又④ ④－③ = 12分 3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得 是以为公比的等比数列，故.
（Ⅰ）由 得 ， …， 记…+， 用错位相减法可求得： . （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项． （Ⅰ）求数列的通项公式： （Ⅰ）若．求数列的前项和 [解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则， 所以，解得或， 当时, ，； 当时，. 所以或.（6分)
数列求和—裂项相消专题
数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1 n a n n n n ==-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n = =--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n = =-++++ 1111()(65)(61)66561 n a n n n n ==--+-+ 3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =-??+++++?? 4. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ =-┈┈ 1 2 = 1 k =
1.在数列{}n a 中，11211++???++++= n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列， 21n n n b a a +=?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明： 1334 n S ≤<.
数列求和方法-错位相减法-分组求和
错位相减法求和 如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1． 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S ．
例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n ＝ 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1：S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 （1）写出该数列的一个通项公式； (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和： 1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a n -
例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-（n N +∈） 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
错位相减法求和附答案解析
错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：
． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ
，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记
用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，
数列求和之错位相减法练习
数列求和之错位相减法专项练习 一、解答题 1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2?a4=6，a6=4． (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和． (2)求数列{a a 2a?1 2.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a? a a?1(a≥2)． 3.(1)设a a=a a?1，求证：{a a}为等比数列． 4.(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a． 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a?1)
(1)求数列{a a}的通项公式； (2)若a a=a(a a?1)，求数列{a a}的前n项和a a． 13.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{a a}的通项公式； (2)求数列{a a 2a a }的前n项和a a ． 14.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的 等比中项，a a为{a a}的前n项和． (1)求a a及a a； (2)若a a=a a+1?3a a，求数列{a a}的前n项和．
15.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且 a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公 式； 16.(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a． 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+ a a+1. (1)求数列{a a}的通项公式； (2)令a a=(a a+1) (a a+2)a a+1 ，求数列{a a}的前n项和．
错位相减法-(含答案)
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
利用错位相减法解决数列求和的答题模板
利用错位相减法解决数列求和的答题模板 数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力． [典例] ( 满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12 n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，求a n ； (2)求数列???? ??9－2a n 2n 的前n 项和T n . 规范审题模板 1．审条件，挖解题信息 观察条件―→S n ＝－12 n 2＋kn 及S n 的最大值为8 n S n ???????→是于的二次函关数 当n ＝k 时，S n 取得最大值 2．审结论，明解题方向 观察所求结论 ―→求k 的值及a n ――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8，即S k ＝8，k ＝4n S ?????→可求的表式达 S n ＝－12n 2＋4n 3．建联系，找解题突破口 根据已知条件，可利用a n 与S n 的关系求通项公式 ―――――→注意公式的使用条件a n ＝S n －S n －1＝92－n n ，a 1＝S 1＝72 ―――――→验证n ＝1时，a n 是否成立a n ＝92－n 教你快速规范审题
1．审条件，挖解题信息 观察条件―→a n ＝92－n 及数列???? ??9－2a n 2n 922n n a ?????????????→－可化列简数 9－2a n 2n ＝n 2 n －1 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→求数列??????9－2a n 2n 的前n 项和T n 12n n ???????→－分析通的特项点 可利用错位相减法求和 3．建联系，找解题突破口 ――――→同乘以2 ――――→错位相减
高考数学易错题5.3 通项遗漏导致错位相减法求和错误-2019届高三数学提分精品讲义
专题五 数列 误区三：通项遗漏导致错位相减法求和错误 一、易错提醒 数列求和问题是高考的重点,而错位相减法求和又是数列求和中的重点： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.笔者通过多年高三教学发现,高三学生都知道什么样的数列求和,可用错位相减法,但每次考试时,又有相等一部分学生在利用错位相减法求和时,出现运算错误.这一点应引起高三备考学生注意.在应用错位相减法求和时要注意以下问题： (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式,特别要注意出现项数遗漏的情况．学=科网 (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“1q =”该不该考虑？,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键. 二、典例精析 【例1】【2017届福建闽侯县三中高三上期中数学】已知数列}{n a 满足)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 且 51=a . （1）求32,a a 的值； （2）若数列}2{ n n a λ +为等差数列,请求出实数λ； （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S 【分析】（1）根据)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 由51=a 可得2,a 进而可得3a ；（2）由}2 {n n a λ +为等差数列,得 )2 (2222 2331λ λλ+=+++a a a ,进而解得=1λ-；（3）由（2）得112n n a n -=+,进而可得12)1(++=n n n a ,利用分组求和及错位相减求和可得数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S . 【解析】（1）∵1221-+=-n n n a a ,51=a ,1312222 12=?-+=a a a ,331223323=?-+=a a a .（2）
数列求和—裂项相消专题
数列求与—裂项相消专题 裂项相消得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求与得目得、 常见得裂项相消形式有: 1、 111(1)1n a n n n n = =-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++(分母可分解为n 得系数相同得两个因式) 2、 1111()(21)(21)22121 n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123 n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+ 3、 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4、 111211(21)(21)2121 n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ 5、 =┈┈ 12= 1k = 1、在数列{}n a 中,1 1211++???++++= n n n n a n ,且12+?=n n n a a b ,求数列{}n b 得前n 项得与、 2、已知数列{}n a 就是首相为1,公差为1得等差数列,2 1n n n b a a +=?,n S 为{}n b 得前n 项与,证明:1334 n S ≤<、
错位相减法数列求和法
特定数列求和法一错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程： 数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 由已知有 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下： S n a i a i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。 两端同乘以 q ，有 i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ... qs n aiq 2 aiq 3 a i q n ... (1 q)s n a i n a i q 由①可得 由③可得 S n s n S n n a i (q i)或者 na i i)
已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q 1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和. 解 由已知可知 许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知 这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另 找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知: a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N (1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和. 两端同乘以q 可得 qC n a1?q :a 1b 2 a 2 b 2q a ? b 3 asdq 83 匕4 .. . ...a n 1 b n 1 q a n b n q a n 1b n a n b n q 由①-②得 (1 q)C n a 1 b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1 b n ) a n b n q 化简得 C n Cd d(b 2 b 3 ... b n 1 b n ) a n b n q / (q C n a i b 1 a 2b 2 a 3b 3 ■■- i q
错位相减法数列求和法(供参考)
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
错位相减法求和作业练习
错位相减法求和作业练习 1、{2}.n n n ?求数列前项和 2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a = -（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 4、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 211 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为' ()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 6、(){213}.n n n -?求数列前项和 7、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.
数列求和专题(裂项相消)
数列求和专题复习 一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： )1(211+==∑=n n k S n k n ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 例2：设n S n +???+++=321，+∈N n ,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.
二、倒序相加法 似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4：求2222 2 2222222123101102938101 ++++++++L 的和． 变式1：已知函数() x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ?? ?????? ++++ ? ? ? ????????? L 的值.
三、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο οο n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1 1 1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 例5：求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例6：在数列{}n a 中，1 1211++ ???++++= n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
错位相减法 (含答案)
1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a ++ + =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组
3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ， 44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[ ∴234+1 12122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②； 由②－①得，
高中数学数列求和-错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可. 目录 简介 举例 错位相减法解题 编辑本段简介 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n
数列求和(1)--裂项相消法
数列求和（1） --裂项相消法的应用 教学内容：从每年的广东高考题可以看到，数列不管是从选择、填空和解答题中都是必考题型，并且数列考点有：数列几何性质的应用、数列的通项公式、数列求和问题。这三类问题是高考的必考点，更是热点。对于数列求和问题又是重点中的重点，本节课我们就数列求和中的裂项相消法做重点学习。 教学重难点：对于裂项相消法的基本形式和基本题型熟练掌握和应用，要识别清裂项相消法和其它求和方法的区别，真正会识别裂项相消法的本质面目，且灵活运用进行解题，达到高考要求。 一、基础练习： 1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 答案 B 2．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为2 013 2 014 ，则项数n 为( )． A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C 3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列? ???????? ?1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案 n n ＋1 对于数列求和问题要稳扎稳打。 二、基本题型讲解和运用
总结：（1）中式子的变形方向很重要，这种形式在数列和函数问题中都是很常见，要学会。（2）中的裂项求和很是常规，要熟练。 练习：
（2）中的1/Sn变形为裂项相消很重要，所以要认清裂项相消的真面目。对于Tn的范围求解，完全是借助和式和数列的单调性完成。
数列求和裂项法错位相减法分组求和法
数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点
(完整word版)数列求和之错位相减法、倒序相加法
数列求和之错位相减法、倒序相加法 1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。 步骤：此时可把式子 的两边同乘以公比 q (q 10且 q 11)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 S n . 2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。 【例1】已知数列2 1 1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和. 【例2】已知 a n { } 是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2+a 7=16 （Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式： （Ⅱ）若数列 a n { } 和数列 b n { } 满足等式:2 n n n a b =，求数列 b n {} 的前n 项和S n . 【例3】求和：22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上 的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2 1． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈?? ? ??=，求数列{}n a 的前m 项的和m S ； 【变式训练】 1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3 n a -求前n 项和. 2、若数列 {}n a 的通项公式为23n a n =+，数列 b n { } 满足等式:2n n n b a =，求数列 b n { } 的 前n 项和S n
裂项相消法求和附答案解析
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则 )11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)1 1.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1 111+- =+n n n n ）（ （3） )1 1(1)(1k n n k k n n +-=+ （4） )121 121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++11 1 （7） )(1 1n k n k k n n -+= ++ 1.已知数列 的前n 项和为 ， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………①
时, ……………② ①②得: 即……………………………………3分 在①中令, 有, 即，……………………………………5分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴=．…………………………………………6分
错位相减法求和附答案
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： ①项的对应需正确； ②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； ③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前项和，求． [解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点， 则设，， ∴，∴， 又点均在函数的图象上，
∴． ∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ∴， ∴，上面两式相减得： ． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）的值. [答案]查看解析
[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n－3① 当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ② ①－②, 即， ∴, （）， 是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． （2）③ 又④ ④－③ = 12分 3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数 ，数列前项和，，数列，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得 是以为公比的等比数列，故. 得 （Ⅱ）由 ， …， 记…+， 用错位相减法可求得： . （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项． （Ⅰ）求数列的通项公式： （Ⅱ）若．求数列的前项和 [解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，