三角函数与平面向量
数学专题四三角函数与平面向量
主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等. 有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.
【押题1】如果函数
的图象关于点
中心对称，那么
的最小值为
A、
B、
C、
D、
【押题指数】★★★★★
【解析】
函数
的图象关于点
中心对称，
．由此易得
．故选C．
【方法与技巧】该题考查了三角函数的图象和性质，对于三角函数图象的对称问题，要注意五点作图法中的五个基本点的坐标和整体思想的运用．
【押题2】将函数
的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
（）．
A、
B、
C、
D、
【押题指数】★★★★★
【解析】将函数
的图象按向量
平移，即向左平移
，根据“左加右减”的平移规律，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知，
，所以
，因此选C．
【方法与技巧】把按照向量平移转化为方向平移，再利用函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解决问题．
【押题3】已知函数
（其中
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为
．（Ⅰ）求
的解析式；（Ⅱ）当
，求
的值域．
【押题4】已知
，
，且
．（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）由
，
，得
．
∴
．于是
．
（Ⅱ）由
，得
．又∵
，
∴
．
由
，得
∴
．
【方法与技巧】①给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数.②给值求角问题.有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开方后的符号.给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角的范围.
【押题5】已知向量
，且
，（Ⅰ）求函数
的表达式；（Ⅱ）若
，求
的最大值与最小值．
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）
，
，又
，
所以
，
所以
，即
；
（Ⅱ）由(1)可得，令
导数
，解得
，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数0 －0 + 极大值递减极小值递增
而
．
【方法与技巧】本题以三角函数和平面向量为载体，将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通．考查了方程和函数思想，高考命题对思想方法的考查越来越得到重视．
【押题6】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
，
)且与点A相距10
海里的位置C．
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）如图，AB=40
，AC=10
，
．由于
，所以cos
=
．由余弦定理得BC=
．所以船的行驶速度为
（海里/小时）．
（Ⅱ）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）， C（x1，y2），BC与x轴的交点为D．由题设有，x1=y1=
AB=40，x2=ACcos
，
y2=ACsin
．所以过点B、C的直线l的斜率k=
，直线l的方程为y=2x-40．又点E（0，-55）到直线l的距离d=
．所以船会进入警戒水域．
【方法与技巧】三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点．
【押题7】已知函数
（Ⅰ）将
写成含
的形式，并求其对称中心；（Ⅱ）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数
的值域。
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）
，
令
得
，即对称中心为
（Ⅱ）由b2=ac，
，所以
，
此时
，所以
，所以
，
即
值域为
。
【方法与技巧】三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。
【押题8】已知函数
的图像过点
，且b>0，又
的最大值为
，（Ⅰ）求函数
的解析式；（Ⅱ）由函数y=
图像经过平移是否能得到一个奇函数y=
的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）
，由题意，可得
，解得
，所以
；
（Ⅱ）
，将
的图像向上平移1个单位得到函数
的图像，再向右平移
单位得到
的图像，故将
的图像先向上平移1个单位，再向右平移
单位就可以得到奇函数y=
的图像。
【方法与技巧】本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.
【押题9】已知
，
的值.
【押题指数】★★
★★★
【解析】∵
∴
又
于是
【方法
与技巧】此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。
【押题10】在ΔABC中，已知
（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）求角B的取值范围。
【押题指数】★★★★★
【解析】（1）条件等式降次化简得
（2）
B的取值范围
【方法与技巧】本题将三角函数、等比数列知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求.
【押题10】已知向量
与
互相垂直，其中
．(Ⅰ)求
和
的值；(Ⅱ)若
，
，求
的值．
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ)∵
与
互相垂直则
，即
，代入
得
，
，又
，∴
，
．
(Ⅱ)∵
，
，∴
，则
，
∴
．
【方法与技巧】该题以向量为载体考查了三角函数的基本运算性质和向量的数量积．三角函数与平面向量的综合题在近几年的高考题中经常出现，难度不大，考题灵活多变，形式新颖，较好的考查了这两部分的基本知识和基本方法．
【押题12】设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=
.(Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数
y=f(x)的图像不相切.
【押题指数】★★★★★
由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由｜f′(x)｜=｜
2cos(2x+φ)｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为
>2说明直线和f(x)的图象不能相切. 本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题，第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的
备选题
【押题1】已知f (x) = sinx + sin
．(Ⅰ)若
，且
的值；(Ⅱ)若
，求f (x)的单调递增区间．
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ)∵
∴sin
＞0，∴f (
) = sin
+ cos
………1分
又sin2
=
= 2sin
·cos
＞0 ∴
，sin
+ cos
＞0．…3分
由(sin
+ cos
)2 = 1 + 2sin
·cos
=
∴sin
+ cos
=
∴f (
) =
……7分
(Ⅱ)由（1）知f (x) =
，当2k
≤
时，f (x)是单调递增的9分
∴
，又0≤x≤
． 11分∴f (x)的单调递增区间为[0，
]．12分
【押题2】如图