第8讲数列的通项和求和(讲义)
数列求和
一、高考要求
数列的通项和求和是一节综合性内容,在高考卷中有小题也有大题,其中大题有简单的数列求通项或求和题,也有复杂的数列和不等式、数列和函数、数列和方程等的综合题.数列的通项和求和是高考对数列考查的主要着力点之一. 二、两点解读
重点:①等差、等比数列的通项和求和公式;
②利用相关数列}{n S 和}{n a 的关系求数列的通项公式;
③数列求和的几种常用方法;④数列与不等式或函数等结合的综合题. 难点:①利用递推关系求数列的通项公式;②数列与不等式或函数等结合的综合题. 定义法
在等比数列}{n a 中,12a =,前n 项和为n S .若数列}1{+n a 也是等比数列,则n S 等于
( )
A 221-+n
B n 3
C n 2
D 13-n
解:∵}{n a 是等比数列,设公比为q ,}1{+n a 是等比数列,
∴12121111+?+?=++-+n n n n q q a a 是一常数,设为k ,则k q q n n =+?+?-1
21
21对任意的正整数n 都成立,可解得:1=k ,q = 1,∴n na S n 21==,故选C 裂项求和 1.化简)
1(1
431321211++
+?+?+?n n 的结果是 ( D )
A
12+n n B 1+n n C 12+n n D 1
22+n n
2.若数列{a n }的通项公式为
n a =
n 项和S n 1=
例6 已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点,其导函数为26)('-=x x f ,数列}{n a 的前n 项和为n S ,点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)设1
3+=
n n n a a b ,n T 是数列}{n b 的前n 项和,求使得20m
T n <对所有n ∈N *都
成立的最小正整数m ;
解:(Ⅰ)依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ,由b ax x f +=2)('又由26)('-=x x f 得
3=a ,2-=b ,∴x x x f 23)(2-=,所以n n S n 232-=,
当2≥n 时=-=-1n n n S S a 56)]1(2)1(3[)23(22-=-----n n n n n ,
当1=n 时,51611213211-?==?-?==S a 也符合,∴)(56*N n n a n ∈-=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得)1
61
561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==
+n n n n a a b n n n , ∴)161
1(21)]161561()13171()711[(211
+-=+--++-+-==
∑=n n n b T n
i i n ,
∴要使)(20)1611(2
1*N n m n ∈<+-恒成立,只要20
)]1611(21[max m
n <+-, 又∵21)1611(2
1<+-
n ,∴只要20
21m ≤,即10≥m ,∴m 的最小整数为10 例序相加
例2 设1)1()(3+-=x x f ,利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法,可求得)6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为:
解:课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法即为“倒序相加法”. 令S f f f f f =+++++-+-)6()5()0()3()4( ① 则也有S f f f f f =-+-+++++)4()3()0()5()6( ② 由21)1(1)1()2()(3
3
=+-++-=-+x x x f x f
可得:2)5()3()6()4(==+-=+- f f f f ,于是由①②两式相加得2112?=S ,所以11=S
分组求和
已知)12)(1(6
1
3212222++=
++++n n n n ,则
数列)1(,,43,32,21+???n n 的前n 项和为: 解:数列)1(,,43,32,21+???n n 的通项为:n n n n a n +=+=2)1(. 所以:=+++++++=+++=)21()21(22221n n a a a S n n
)1(21
)12)(1(61++++n n n n n 3
)2)(1(++=
n n n
错位相减法
对正整数n ,设曲线)1(x x y n
-=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1
{
+n na n
的前n 项和的公式是 解:1+-=n n x x y ,1112
'2)2(2)22(2---=+-=?+-==n n n x n n n y k ,切点为)2,2(n -,
切线方程点斜式为:)2(2)2(21-+-=+-x n y n n ,令0=x 得n n n a 2)1(+=, 令1
+=
n na b n
n ,则n n n b 2?=,令n n b b b S +++= 21, 由错位相减法可得:12)1(2++-=n n n S 转化法求和
设数列{}n a 的前n 项和n S =2
2
14---n n a ,求n a .解:n S =2
214--
-n n a ,得
1+n S =1
12
14-+-
-n n a ,∴ 1+n a =1+n S -n S =n a -1+n a +(
-
-2
2
1n 1
2
1-n ).
∴ 1+n a =n a 2
1+
n
21,两边同乘以12+n ,得12+n 1+n a =n 2n a +2,
∴ {}
n n a 2是首项为1公差为2的等差数列,
∴ n
2n a =2+2)1(?-n =n 2,解得: n a =
1
2
-n n