第十三章 微分方程建模
第十三章微分方程建模
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：
1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：
（i）按规律直接列方程
在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法
自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
-153-
（iii）模拟近似法
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？
下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星
下面用三个数学模型回答这个问题
1.1.1 卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度
首先将问题理想化，假设：
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-155-
（i ）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；
（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （iii ）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R ，质量为M ；卫星轨道半径为r ，卫星质量为m 。 根据假设（ii ）和（iii ），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
2
r
GMm F = （1） 其中G 为引力常数。
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得 2
R
GMm mg = 或 g R GM 2= 再代入（1）式，得
2
?
?
? ??=r R mg F （2）
其中)m/s (81.92=g 为重力加速度。
根据假设（i ），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v ，则其向心力为r mv /2，因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有
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r mv r R mg 22
=
??
?
??
由此便推得卫星距地面为km )(R r -，必须的最低速度的数学模型为 r
g R
v = （3）
取km 6400=R ，km 600=-R r ，代入上式，得 km/s 6.7≈v
即要把卫星送入离地面600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。
1.1.2 火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化，假设：
（i ）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。 （ii ）在t 时刻火箭质量为)(t m ，速度为)(t v ，且均为时间t 的连续可微函数； （iii ）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u 。 建模与分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在),(t t t ?+内的减少量可由台劳展式表示为
)()()(t o t dt
dm t m t t m ?+?=-?+ （4）
因为喷出的气体相对于地球的速度为
u
t v -)(，则由动量守恒定律有
-157-
))(()()()()()(u t v t o t dt dm t t v t t m t v t m -??
?
????+?-?+?+= （5）
从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为 dt
dm u dt
dv m -= （6）
令0=t 时，0)0(v v =，0)0(m m =，求解上式，得火箭升空速度模型
)
(ln
)(0
0t m m u v t v += （7） （6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。（7）式表明，在00,m v 一定的条件下，升空速度)(t v 由喷气速度（相对火箭）u 及质量比)(/0t m m 决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u 值；从结构上设法减少)(t m 。
1.1.3 一级火箭末速度上限
火箭—卫星系统的质量可分为三部分：p m （有效负载，如卫星），F m （燃料质量），
s m （结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）
。一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：
（i ）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度3=u km/s 及 9
1≥+s
F s m m m
（ii ）初速度0v 忽略不计，即00=v 。 建模与求解：因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为s p m m +，由（7）式及假设（ii ）
-158-
得到末速度为
s
p m m m u v +=0ln
（8）
令)()(0p s F s m m m m m -=+=λλ，代入上式，得 p
m m m u v )1(ln
00
λλ-+= （9）
于是，当卫星脱离火箭，即0=p m 时，便得火箭末速度上限的数学模型为 λ
1ln 0u v =
由假设（i ），取3=u km ，9
1=λ，便得火箭速度上限
6.69ln 30≈=v km/s
因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。
1.2 理想火箭模型
从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的数学模型。
假设：在),(t t t ?+时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α与α-1的比例同时进行。
-159-
建模与分析：由动量守恒定律，有
)()()()()(t v t dt
dm t t v t t m t v t m ??-?+?+=α
)())(()
1(t o u t v t dt
dm
?+-??--α 由上式可得理想火箭的数学模型为
u dt
dm dt
t dv t m ?-=-)1()()(α （10）
及
0)0(=v ，0)0(m m = 解之得
)
(ln )1()(0t m m u t v α-= （11）
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量p m ，从而最终速度的数学模型为
p
m m u t v 0ln )1()(α-= （12）
（12）式表明，当0m 足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使5.10=v km/s 才行，如果取3=u km/s ，1.0=α，则可推出50/0=p m m ，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
1.3 多级火箭卫星系统
-160-
理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i 级燃料烧尽时，第1+i 级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i 级。我们用i m 表示第i 级火箭质量，p m 表示有效负载。为了简单起见，先作如下假设：
（i ）设各级火箭具有相同的λ，i m λ表示第i 级结构质量，i m )1(λ-表示第i 级的燃料质量。
（ii ）喷气相对火箭的速度u 相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为k 。
先考虑二级火箭。由（7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为
1
1
ln
ln
21211++=++++=k k u m m m m m m u v p
p
λλ 在第二级火箭燃烧完时，其速度为 1
1
ln
2ln
2212++=+++=k k u m m m m u v v p
p
λλ （13） 仍取3=u km/s ，1.0=λ，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级火箭，欲使5.102=v km/s ，由（13）式得
5.101
1.01
ln
6=++k k
-161-
解之得
2.11=k ， 这时
149)1(2210
≈+=++=
k m m m m m m p
p
p
同理，可推出三级火箭 1
1ln 33++=k k u v λ
欲使5.103=v km/s ，应该25.3≈k ，从而77/0≈p m m 。
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。 现记n 级火箭的总质量（包括有效负载p m ）为0m ，在相同假设下（3=u km/s ，
5.10=末v km/s ，1.0=λ）
，可以算出相应的p m m /0值，现将计算结果列于下表中： n （级数） 1 2 3 4 5 ... ∞ p m m /0 × 149 77 65 60 (50)
实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案。
1.4 最佳结构设计
下面我们将考虑当用n 级火箭发射卫星时的最佳结构，即使p m m /0最小的结构。 记
-162-
p n m m m m m w ++++== 2101
p n m m m w +++= 22 … p n m w =+1
记
2
11w w k =，…，1
+=
n n n w w k
???? ??
++=+121
1
ln n n n w m w w m w u v λλ 末 由于211w w m -=，322w w m -=，…，1+-=n n n w w m ，可以推出
?
??
? ??
+-+-=1)1(1)1(ln 11
n n k k k k u v λλ 末 易知
n p
k k k m m 210
= 则最佳结构问题转化为 n k k k 21min s.t.
c k k k k k n n
=+-+-]
1)1([]1)1([121λλ
-163-
可以推出当n k k k === 21时，p
m m 0最小。
§2 人口模型
2.1 问题提出
据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿。
我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。
2.2 Malthus 模型
1789年，英国神父Malthus 在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了Malthus 模型。
模型假设
（i ）设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续可微。
（ii ）人口的增长率r 是常数（增长率=出生率—死亡率）。 （iii ）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的
-164-
生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。
建模与求解
由假设，t 时刻到t t ?+时刻人口的增量为
t t rx t x t t x ?=-?+)()()( 于是得
?????==0
)0(x x rx
dt dx （14）
其解为
rt e x t x 0)(= (15) 模型评价
考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为91006.3?，在1961～1970年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则（15）式可写为
)1961(02.091006.3)(-??=t e t x (16)
根据1700～1961年间世界人口统计数据，我们发现这些数据与（16）式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每 35年增加 1倍，而（16）式算出每 34.6年增加1倍。
但是，当人们用（15）式对1790年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。 利用（16）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当2670=t 年时，15104.4)(?=t x ，
-165-
即4400万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少 20人。
显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率r 的估计过高。由此，可以对r 是常数的假设提出疑问。
2.3 阻滞增长模型（Logistic 模型） 如何对增长率r 进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，我们可以把增长率r 看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视r 为一个随着人口的增加而减小的量，即将增长率r 表示为人口)(t x 的函数)(x r ，且)(x r 为x 的减函数。 模型假设
（i ）设)(x r 为x 的线性函数，sx r x r -=)(。（工程师原则，首先用线性） （ii ）自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为m x ，即当m x x =时，增长率0)(=m x r 。 建模与求解
由假设（i ），（ii ）可得)1()(m
x x r x r -=，则有
???
??=-=00
)(,)1(x
t x x x x r dt dx
m （17）（17）式
是一个可分离变量的方程，其解为
-166-
)
(0
0)1(1)(t t r m m
e x x t x ---+=
(18)
模型检验 由（17）式，计算可得
x x x x x r dt x
d m
m )21)(1(222--= (19)
人口总数)(t x 有如下规律：
（i ） m t x t x =+∞
→)(lim ，即无论人口初值m x 如何，人口总数以m x 为极限。
（ii ）当m x x <<00时，0)1(>-
=x x x
r dt
dx m
，这说明)(t x 是单调增加的，又由（19）式知：当2
m
x x <时，022>dt x d ，)(t x x =为凹，当2m x x >时，022 x d ，)(t x x =为凸。 （iii ）人口变化率dt dx 在2m x x =时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加 速生长时期，经过这一点之后，生长速率会逐渐变小，最终达到零。 与Malthus 模型一样，代入一些实际数据进行验算，若取1790年为00==t t ，60109.3?=x ，610197?=m x ，3134.0=r 可以看出，直到 1930年，计算结果与实际数据都能较好地吻合，在1930年之后，计算与实际偏差较大。原因之一是60年代的实际人口已经突破了假设的极限人口m x ，由此可知，本模型的缺点之一就是不易确定m x 。 2.4 模型推广 -167- 可以从另一个角度导出阻滞增长模型，在Malthus 模型上增加一个竞争项)0(2>-b bx ，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时b 较小；反之b 较大，故建立方程 ?????=>-=, )(), 0,()(00x t x b a bx a x dt dx （20） 其解为 ) (000 0)()(t t a e bx a bx ax t x ---+= (21) 由（21）式，得 x bx a bx a dt x d ))(2(22--= (22) 对(20)~(22)式进行分析，有 （i ）对任意0t t >，有0)(>t x ，且b a t x t =+∞ →)(lim （ii ）当b a x <<0时，0)('>t x ，)(t x 递增；当b a x =时，0)('=t x ；当b a t x >)(时，0)(' (t x 递减。 （iii ）当b a x 20< <时，0)(''>t x ，)(t x 为凹，当b a x b a <<2时，0)('' a x =2，称它们是微分方程（20）的平 -168- 衡解。易知b a t x t =+∞ →)(lim ，故又称b a 是（20）式的稳定平衡解。可预测：不论人口开始的数量0x 为多少，经过相当长的时间后，人口总数将稳定在b a 。 参数a 和b 可以通过已知数据利用Matlab 中的非线性回归命令nlinfit 求得。 §3 战争模型 早在第一次世界大战期间，F. W. Lanchester 就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年的越南战争。 影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与开小差。分别称之为战斗减员与非战斗减员。士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。从某种意义上来说，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素质之间的关系。 3.1 模型一 正规战模型 模型假设 （i ）双方士兵公开活动。x 方士兵的战斗减员仅与y 方士兵人数有关。记双方士兵 -169- 人数分别为)(),(t y t x ，则x 方士兵战斗减员率为)(t ay ，a 表示y 方每个士兵的杀伤率。可知 y y p r a =，y r 为y 方士兵的射击率（每个士兵单位时间的射击次数） ，y p 每次射击的命中率。同理，用b 表示x 方士兵对y 方士兵的杀伤率，即x x p r b =。 （ii ）双方的非战斗减员率仅与本方兵力成正比。减员率系数分别为βα,。 （iii ）设双方的兵力增援率为)(),(t v t u 。 模型与求解 由假设可知 ?????? ?+--=+--=)()(t v y bx dt dy t u x ay dt dx βα （23） 我们对（23）式中的一种理想的情况进行求解，即双方均没有增援与非战斗减员。 则（23）式化为 ???? ?????==-=-=0 0)0(,)0(y y x x bx dt dy ay dt dx （24） 其中00,y x 为双方战前的兵力。 -170- 由（24）式的前两式相除，得 ay bx dx dy = 分离变量并积分得 )()(2 02202x x b y y a -=-, 整理得 2 2022by ay bx ay -=- 若令2020bx ay k -=，则有 k bx ay =-22 当0=k ，双方打成平局。当0>k 时，y 方获胜。当0 取得战斗胜利，就要使0>k ，即 02020>-bx ay 考虑到假设（i ），上式可写为 ??? ? ?????? ??>???? ??y x y x p p r r x y 2 00 (25) (25)式是y 方占优势的条件。若交战双方都训练有素，且都处于良好的作战状态。则x r 与 y r ，z p 与y p 相差不大， （25）式右边近似为1。（25）式左边表明，初始兵力比例被平方地放大了。即双方初始兵力之比0 0x y ，以平方的关系影响着战争的结局。比如说，如果y 方 -171- 的兵力增加到原来的2倍，x 方兵力不变，则影响着战争的结局的能力将增加4倍。此时，x 方要想与y 方抗衡，须把其士兵的射击率x r 增加到原来的4倍（y y x p r p ,,均不变）。 以上是研究双方之间兵力的变化关系。下面将讨论每一方的兵力随时间的变化关系。 对(24)式两边对t 求导，得 abx dt dy a dt x d =-=22， 即 02 2=-abx dt x d （27） 初始条件为 00 0, )0(ay dt dx x x t -=== 解之，得 )(sh )(ch )(00t ab y b a t ab x t x - = 同理可求得)(t y 的表达式为 )(sh )(ch )(00t ab x a b t ab y t y - =。 3.2 模型二 游击战模型 模型假设 -172- （i ）y 方士兵看不见x 方士兵，x 方士兵在某个面积为x S 的区域内活动。y 方士兵不是向x 方士兵射击，而是向该区域射击。此时，x 方士兵的战斗减员不仅与y 方兵力有关，而且随着x 方兵力增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵人数越多，被杀伤的可能性越大。可设，x 方的战斗减员率为cxy ，其中c 为y 方战斗效果系数，x ry y y y S S r p r c ==，其中 y r 仍为射击率，命中率y p 为y 方一次射击的有效面积（ry S ）与x 方活动面积（x S ）之比。 假设（ii ），（iii ）同模型一的假设（ii ），（iii ）。 模型与求解 由假设，可得方程 ???????+--=+--=)()(t v y dxy dt dy t u x cxy dt dx βα （28） 其中y rx x x x S S r p r d ==是x 方战斗效果系数。 为了使（28）式容易求解，可以做一些简化：设交战双方在作战中均无非战斗减员和增援。此时，有 ?????? ?-=-=dxy dt dy cxy dt dx （29） 第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的 函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。 模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。 代入具体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。 体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天 焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型 第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型 我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1) 第四章微分方程 考纲要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：() ()n y f x =，(,)y f x y ′′′=和(,)y f y y ′′′=. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念 1微分方程的基本概念 考纲要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数. 微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）.微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题（Cauchy 问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题： (,,)0F x y y ′=，00()y x y =. 二阶微分方程初值问题： (,,,)0F x y y y ′′′=，00()y x y =，00 ()y x y ′′=.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.二、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y ′=，解出y ′： (,)dy f x y dx =，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是： 判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程： ()()dy g x h y dx =解法分离变量： ()()dy g x dx h y =；两端积分：()() dy f x dx h y =∫∫. 2微分方程实验 1、微分方程稳定性分析 绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类： 解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）, ___ 1 0 系数矩阵A ，求得特征值入1=1,入2=1; 0 1 p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是 不稳定的。 图形如下： （2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2; p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是 不稳定的。 其图形如下: dx ⑴dt dt x, y; dx dt dy dt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y ， (4) ? 2x;也 dt x+1, 2y. (3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。 其图形如下： (4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2; p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。 其图形如下： 2、种群增长模型 一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位 成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt 那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？ 解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N) dt 令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i2 1 1 d2N 1 5 5 2 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2) dt 2 进而求得 A d2N 令r dt 2 2 0可求得N=r2 /4r〔 则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分 0,冬dt2 .2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―r dt dt dt dt 则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示: 微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i = 时di dt 达到最大值m di dt ?? ???，这时101ln 1m t i λ-??=- ??? 习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211 由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+== 31微分方程与微分方 程建模法 第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? (2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特 第4章微分法与微分方程模型 4.1 微分法模型 优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常见到的一类问题。如设计师要在满足强度要求等的条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；企业经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；……。有些优化问题可以归结为微积分中的函数极值问题，因而可以直接用微分法求解。下面我们就利用微分法建立几个数学模型。 4.1.1 不允许缺货的存贮模型 问题：工厂要定期的定购各种原料，存在仓库里供生产之用。商店要成批购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。显然，不论是原料、商品还是水的存贮，都有一个存贮多少的问题。原料、商品存贮过多，贮存费用高；存得太少则无法满足需求。在这里我们为讨论上的方便，假定需求量是恒定的。并且不允许缺货现象出现。试建立不允许缺货条件下的数学模型。 分析：在不允许缺货的情况下，我们只考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费；货物的存贮费。至于货物的价格，下面将看到它与要讨论的优化问题无关。建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下，假定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最少？ 首先我们假设： （1）每次订货费为c1,每天每吨货物存贮费为c2. （2）每天的货物需求量为r吨。 （3）每T天订货Q吨，当存贮量降到零时订货立即到达。 对于（3）的假设中订货可以瞬时完成，可解释为由于需求是确定和已知的，只要提前订货使得贮存量为零时立即进货就行了。当然，贮存量降到零不符合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认为模型中的贮存量是在这个最低存量之上计算的。 模型的建立： 订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间满足 Q=rT （1） 订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮存量为q，则q(t)的变化规律可以用下图表示 微分方程建模简介 第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? (2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特 常微分方程的建模训练 各位同学： 欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。 建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。 本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。 本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。 好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。 的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。 体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力； 微分方程建模 一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤： 1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间； 2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）； 3.解微分方程； 4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。 下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。 一.增长模型 在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。 1.马尔萨斯人口模型 严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。 最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间人口的增长量即为 t t y t t y ?-?+)()( 根据基本假设，有 t t y t t y ?-?+)()()(t y r ?= （r 为比例系数） 令0→?t ，可得微分方程 第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方 程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系： （1）初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） 一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） （3）高阶线性微分方程 （高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理 0.常数变易法： 常数变易法在上面的（1） （2） （3）三部分中都出现过，它是 由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次 方程或方程组的解的一种方法。 1.初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法， 掌握全微 分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参 数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 dx f(x)g(y); M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0; 常数变易法：（1）线性方程，y p （x ）y f （x ）, (2)伯努里方程，y p(x)y f (x)y n , 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程F （x,y, y ） 0,有 参数法：（1）不含x 或y 的方程:F （x,y ） 0,F （y,y ） 0; 对于高阶方程，有 分离变量法：（1）可分离变量方程: （2）齐次方程: dy dx dy dx f(ax by C ); ux vy w ⑵可解出x或y的方程：y f（x,y）,x f （ y, y ）; 降阶法：F(x,y(k),y(k 1), ,y(n)) F(y,y,y) 0; 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题） 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本 理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根［待定系数法］），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。 3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次 微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。 4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。 5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。 6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。 7．差分方程。 8．偏微分方程。 二、数学建模的微分方程方法 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现 第四章 常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程 甲 内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解()()? ? +=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++， 则 ()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy 第二章 微分方程方法 在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题. 利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究. 2.1 微分方程的一般理论 2.1.1微分方程简介 所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+= （2.1.2） 2(')0y xy += （2.1.3） 2'''0y y xy += （2.1.4） 01)(=+n y （2.1.5） 2t xx u a u = （2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式 F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0 或 第四章微分方程模型 当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。”这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。 人口增长模型 人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示： 年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等。 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。用微分方程来研究人口增长规律，基本上采用的是模拟近似的方法。即用某一微分方程来模拟人口的数量，分析该方程的解，将解与实际情况作对比，看其是否在一定程度上刻划了人口的实际增长情况，如刻划得较好（或在一段时期内吻合较好）就加以利用， 第四章 微分方程模型 §4.1利用平衡原理和微元法建模 进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.040 56e 40 e 56 e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈?=?=??-x x >80 (整理)微分方程建模 简介 第三章 微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、 微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它 是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解 法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ; 0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy (2) 齐次方程：);();(w vy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+' (2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+' 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F (2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='= 对于高阶方程，有 降阶法：; 0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k Λ 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。 3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次 微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； 一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。下面就微分方程模型建模展开建模。下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（） 10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？ 11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？ 12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。 15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会3.1 微分方程模型的建模步骤
微分方程建模案例
04第四章 微分方程(1)
数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
常微分方程第4章习题答案
最新31微分方程与微分方程建模法汇总
第4章微分法与微分方程模型
最新微分方程建模简介
常微分方程的建模训练
微分方程建模学习
微分方程与微分方程建模法
高等数学第四章微分方程
常微分方程建模方法概要
第四章 微分方程模型
第四章 微分方程模型
(整理)微分方程建模简介教程文件
微分方程型建模实例题