2019年高考模拟试卷(一)

B

（第7题）

2019年高考模拟试卷（1）

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．

2． 复数2i

1i

z =

-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概

率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．

4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的

方差为 ▲ ．

5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1

2

时，则输入的x 的值为 ▲ ．

6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆2

2

4440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得

的弦长为 ▲ ．

7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．

8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，

且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则

12:V V = ▲ ．

9． 已知F 是抛物线C ：2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．

若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．

（第5题）

( 第8题 )

A

B

C

D P

E

（第10题）

A B

C

M

N

（第12题）

10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-

的解集为 ▲ ．

11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．

12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，

若7

4

AB AC ?=

，则NB NC ?的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +

++=，则1

x y

+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }

满足：1cos n n n a a θθ==，

其中π02n θ?

?∈ ??

?

，，*

n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)

已知1sin cos 2θθ+=，ππ44θ??

∈- ???

，． （1）求θ的值；

（2）设函数()2

2

()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．

A

B

C

B 1

C 1

A 1

M

N （第16题）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．

求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．

17．(本小题满分14分

某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）

20.4 4.20.805()9

14.7 5.3x x x P x x x ?-+-

=?->?

-?

≤，，

， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？

（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）

（第18题）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b

+=>>()

的离心率为2，且

过点1?

??

．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；

（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．

19．(本小题满分16分)

设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2

*

0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．

（1）若2

9

p =

，求a 1的值； （2）若123a a a ，

，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．

20．(本小题满分16分)

已知函数()e (1)x

f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；

（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．

2018年高考模拟试卷（1）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．

B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知2143-??=??-??M ，4131-??

=??-??

N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．

C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程为12x t y ?

=+??

??=??， （t 为参数），圆

C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+??=+?

，

（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的

值．

D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

设0x y z >，，，证明：

222111

x y z y z x x y z

++++≥．

（第21—A 题）

A B

D

P

（第22题）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，

且长度均为1，BC AD λ= （01λ<≤）

． （1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．

23．(本小题满分10分)

甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；

（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．

2018年高考模拟试卷（1）参考答案

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．

{}0 2． -1 3．

0.5 4． 16 5．

6．

7． 17

【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，

则()11

tan tan 123tan tan 1tan tan 117

123

BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+?．

8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，

所以三棱锥

P ACE -的体积是P ACD -体积的23

．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相

等，

所以12:V V =23

．

9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112

MP OF ==，

3MF MT ==，

所以26FN MF ==．

10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e e

f x x f '=++∞=为减区间为增区间．

由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．

11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，

则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++???+-+-+-???++，，，，，，，，，，，

则圆钢的总根数为：()222(1)

2(21)33 1.2

n n n n n n +--?

+-=-+

由题意2331n n -+≤99即2993

n n --≤0，

设函数299()3f x x x =--，则299()3

f x x x =--在[)1+∞，

上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．

此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-?-?+=．

12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ?=-，则

342

BM =

==，

所以()2

2

2

2

3

512

4

NB NC MN BM ?=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y =+，19b y x

=+，则10a b +=．

因为ab =()1x y

+?()1191091016y xy x xy +=+++≥ （当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．

14． 1009π6

【解析】因为(

)π02n θ∈，，所以()

(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈，，

所以等比数列{a n }的公比0q >．

若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾；

若01q <<，由1a n 充分大，则1n a <，矛盾，

所以1q =，从而1n a a =π12n θ=．

则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6

．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．(本小题满分14分)

解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-，

即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=sin 2θ=．

A

B

C

B 1

C 1

A 1

M

N 因为(

)

ππ44θ∈-，，所以(

)

ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6

θ=-． （2）由（1）知，()2

2

π()sin sin 6

f x x x =--，

所以()()

11π()1cos21cos 2223f x x x ??=----????

()1πcos 2cos223x x ??=--????112cos222x x ?=-??()

1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262

k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ??-????，Z k ∈．

16．(本小题满分14分

证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又1

11AA AC A =，1AC ，1AA ?平面11A ACC ，

故MN ⊥平面11A ACC ，

因为MN ?平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．

（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．

因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．

在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12

=AA 1．

所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．

又MN ?平面ABC ，BP ?平面ABC ，

故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解

：

（

1

）

考

虑

05x <≤时，利润

()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-．

令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()2

20.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．

当5x >时，利润()()()

99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．

因为

9363

x x -+-≥（当且仅当933

x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．

答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；

（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)

解：（1）依题意，221314a b +=

，c a =222(0)c a b c =->， 解得2241a b ==，

． 因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（

1）知，椭圆C 的右焦点为)

0F

，椭圆C 的方程为2

214

x y +=，①

所以()()2001A B --，，，

．从而直线BF 1y =．

②

由①②得，)

17

P ，．从而直线

AP 的方程为：2)

y x =+．

令0

x =，得7y =

-E 的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且2

20014

x y +=，即220044x y +=．

则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0

022

y y x =

+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=

，令0y =，得001

x

x y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()

00002121212x y y x ++++0000002222

1212

x y x y y x ++++=??

++

()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=?+++00000000224422

x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)

解：（1）因为29p =，所以()

2

11129

a S a ==+，

即211540981a a -+=，解得119a =或49．

（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()

()2

*

n n S a p n p =+∈∈N R ，，

所以()2

11a a p =+， ①

()2

122a a a p +=+， ②

()2

1233a a a a p ++=+． ③ ②-①，得()()2

2

221a a p a p =+-+，即()

2122a d a a p =++， ④

③-②，得()()22

332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤ ⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ??-=++-++??

，即22d d =． 若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12

d =．

代入④得()

1111112222a a a p +=+++，于是14

p =．

因为()

()2

*

1

4

n n S a n =+∈N ，所以()2

1114

n n S a ++=+， 所以()()2

2

1

1

1

1144

n n n

n n

a S S a a +++=-=+-+，

即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22

111044

n n

a a +--+=，

于是()()11102

n n n n

a a a a +++--=．

因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112

n n a a +-=．

因为()

2

1114

a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．

因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．

20．(本小题满分16分)

解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．

若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，

当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，

所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．

因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤．

设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+?=-+，

令()0t a '=，得12

e a -=，

当12

0e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在(

)12

0e

-，上单调递增；

当12

e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在(

)

1

2e -∞，+上单调递减，

所以()t a 在12

e a -=处取最大值，且最大值为12e

．

所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当1

2e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e

．

（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．

① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02

a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；

若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2

a <-时，(0)10F a =->，

又存在010e 2a x a

-=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．

综上，a 的取值范围是e 2

a <-或0a ≥．

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．

题区域内作答．．．．．．

．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，

所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，

故△P AE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

21B.【解】设1 -??=????a c b d A ，因为1

2 -1 1 02 1 0 1-??????==????????????

a c

b d AA ， 所以2a b 1,

2c d 0,2a b 0,2c d 1,

-=??-=??+=??+=?

解之得1a 41b 2

1c 41d 2

?=??=-????=??

=?? ，所以A －1＝11 4411- 22??????????．

所以12131111 16164444()111131- - 222288-??

????-?

?????==??????-????????????

A ．

C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

解：直线l 的普通方程为3y =+，

圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．

因为直线l 与圆C

2=．

解得

a =a =

0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

证明：由柯西不等式，得

()(

)2

222

111y x z x y z y z x ++++≥，

即()(

)()

2

222

111

111y x z x y z

x y z y z x ++++++≥，

所以222111y

x z x y z y z x

++++≥．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．(本小题满分10分)

解：（1）以{}

AB AD AP ，，为一组基底建立如图

所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，

，，()001P ，，，()100B ，，，(D 所以()111PC =-，

，， ()101PB =-，，，(1PD =0，设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，

则00PB PD ??=???=??，

，n n 所以00x z y z -=??-=?，． 取1z =得，n ()111=，

，．

所以1 cos

3

PC PC PC ???===?，n n n ．

所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13

．

（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ，，=-，()011PD ，，=-．

设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，

则1100PB PC ??=???=??，，n n 即111

1100x z x y z λ-=??+-=?，

，取11z =得，()1101=，

，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，

则2200PC PD ??=???=??，，n n 即2222

200x y z y z λ+-=??-=?，

，取21z =得，2n ()111λ=-，，．

所以12

1212 cos

???=?，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)

解：（1）依题意， ()()

3

1343128P ξ==??=．

（2）依题意，()()()

111

1

1C C

2

m k

m m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+?（23k =，，…1m +，）

． 设()()()

1

1

1

1

1C

C

2

m k

m m m k m k f k +-++-+-=+?()()()()()()

1!1!12

1!!1!2!m k

m k m k m k m k ++-+-??=+???-+-??

()()()()

()111

1!21!!

m k

m m k k m k m k +++-=

??+-+

则()()1f k f k +()()()()()()()()()

()

()1

111!

21!1!1111!

21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++??+++=++-??+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++????=+++-????． 而

()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++????+++-????

≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ?-++----≤

()()2220k m k k m m ?--+--≤．

（＃）

因为2220k k m m -+--=的判别式()

21420m m ?=---<

2704

m m ?--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），

所以2220k k m m -+-->．

又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以

()

()

11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()

21

112211C C

2

m m m m

m

f m f m +-+=+=+?，

即()P m k ξ=+的最大值为()()

21

11221C C

2

m m m m

m

+-++?．