中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；

（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－24

7

，

24

7

）；（3）M（－2，2）

【解析】

分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=3

4

x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代

入y=3

4

x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据

S△ABC=1

2

AO?ME+

1

2

BO?MF+

1

2

AB?MG=

1

2

AO?BO求得r=2，据此可得答案．

详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴

80

6

k b

b

-+=

?

?

=

?

，解

得：k=3

4

，b=6，即直线AB的函数关系式是y=

3

4

x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M

（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=3

4

x+6，得：﹣a=

3

4

a+6，得：a=﹣

24 7，∴点M的坐标为（﹣

2424

77

，）．

（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设

ME=MF=MG=r，则S△ABC=1

2

AO?ME+

1

2

BO?MF+

1

2

AB?MG=

1

2

AO?BO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22

AO BO

=10，

∴1

2r?8+

1

2

r?6+

1

2

r?10=

1

2

×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，

2）．

点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．

2．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且

x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角

为；

（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22

（），∴∠ABO=30°．

223

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；

（2）如图2．

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．

过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．

∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．

点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．

3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧().AB

()1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)

()2若AB的中点C到弦AB的距离为2080

，，求AB所在圆的半径．

m AB m

=

【答案】(1)见解析；（2）50m

【解析】

分析：()1连结AC 、BC ，分别作AC 和BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O ，如图1；

()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为AB 的中点得

到1

OC AB AD BD AB 402

⊥==

=，，则CD 20=，设O 的半径为r ，在Rt OAD 中利用勾股定理得到222

r (r 20)40=-+，然后解方程即可．

详解：()1如图1，

点O 为所求；

()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，

C 为AB 的中点，

OC AB ∴⊥，

1

402

AD BD AB ∴===，

设O 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，

在Rt OAD 中，

222OA OD AD =+，

222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，

即AB 所在圆的半径是50m ．

点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．

4．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．

（1）当点H落在AC边上时，求t的值；

（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以

点C为圆心，

1

2

t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．

【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210)

2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

?<≤

?

?

-+-<≤

?

?

-+<<

??

；②100cm2．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；

（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；

②分两种情形分别列出方程即可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．

综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．

（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2

如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1

2

（5t﹣10）2=﹣

7

2

t2+50t﹣50．

如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣1

2

（30﹣3t）2=﹣

7

2

t2+50t﹣50．

如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．

综上所述：S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210)

2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

?<≤

?

?

-+-<≤

?

?

-+<<

??

．

②如图7中，当0＜t≤5时，

1

2

t+3t=15，解得：t=

30

7

，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，1

2

t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．

综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2

点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．

5．解决问题：

() 1如图①，半径为4的O 外有一点P ，且7PO =，点A 在O 上，则PA 的最大值和

最小值分别是______和______．

()2如图②，扇形AOB 的半径为4，45AOB ∠=，P 为弧AB 上一点，分别在OA 边找

点E ，在OB 边上找一点F ，使得PEF 周长的最小，请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF 周长的最小值； 拓展应用

()3如图③，正方形ABCD 的边长为4

2；E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，

CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN 周长的最小值．

【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF 周长最小值为423）41042． 【解析】 【分析】

()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与

OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

()3类似()2题作对称点，

PMN 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解．

【详解】 解：()1如图①，

圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在

过圆心的直线OP 上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．

PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，

PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，

故答案为11和3；

()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点

1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、

F 即为所求．

连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，

由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，

12454590POP ∠=+=，

12POP ∴为等腰直角三角形，

121PP ∴==

PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．

故答案为；

()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ，

连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③ 由对称知识可知，1

PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，

此时，PMN 周长最小12PP =．

由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==

12454590P AP ∠=+=，

12P AP ∴为等腰直角三角形，

PMN ∴周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ．

CF BE ⊥，且PF CF =，

45

PCF ∠∴=，PC

CF

=45ACD ∠=，

PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，

又AC

CD

=， ∴在APC 与DFC 中，AC PC

CD CF

=，PCA FCD ∠∠=

C AP ∴∽DFC ，

2AP AC

DF CD

∴

==， ∴2AP DF =

90BFC ∠=，取AB 中点O ．

∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．

2222(22)(42)2221022DF DO FO OC CD OC =-=+-=+-=-， AP ∴最小值为2AP DF =

∴此时，PMN 周长最小值

()

12222222102241042PP AP DF =

=?=?-=-．

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．

6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB=8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC 、AC ，且∠BOC ＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF ＝∠GCE （1）求证：直线CG 为⊙O 的切线；

（2）若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB ＝CH ， ①△CBH ∽△OBC ②求OH ＋HC 的最大值

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.

【解析】

分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；

（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明

△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：BC HB

OC BC

＝，所以HB=

2

4

BC

，由于BC=HC，所以

OH+HC=4?

2

4

BC

+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．

详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CG是⊙O的切线；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC

＝

∵AB=8，

∴BC2=HB?OC=4HB，

∴HB=

2

4 BC

，

∴OH=OB-HB=4-

2 4 BC

∵CB=CH，

∴OH+HC=4?

2

4

BC

+BC，

当∠BOC=90°，

此时

∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜

，

令BC=x 则CH=x ，BH=2

4

x

()2

21142544

OH HC x x x ∴+=-++=--+

当x=2时，

∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5

点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．

7．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°． ⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；

⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；

⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）

【答案】⑴ 222；⑵ 见解析；⑶ y =2x 【解析】 【分析】

（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以2,故可求出AC 的长；

（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE 证PF=EF=1

2

PE ，故可证出PE =2AC ；

（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得

GE =AB =2x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论. 【详解】

（1）连接OD ，如图，

∵∠B=22.5°，

∴∠DOC=45°,

∵DC⊥AB

∴△DOC为等腰直角三角形，

∵OC=2，

∴2

∴2，

∴AC=AO-OC=222.

⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,

∴∠POD=∠DOC=45°，

∴AD=PD，

∵△DOC为等腰直角三角形，

∴DC=CO,

易证DF=CO，

∴DC=DF，

∴Rt△DAC≌Rt△DPF,

∴PF=AC,

∵DO=AO,∠DOA=45°

∴∠DAC=67.5°

∴∠DPE=67.5°,

∵OD=OB，∠B=22.5°，

∴∠ODE=22.5°

∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°

∴∠DEP=∠DPE

∴PF=EF=1

2

PE

∴PE =2AC

（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x ==

∴ AB =2OD=22x ∵AB 是直径， ∴∠ADB=∠EDG=90°， 由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC ∴△DGE ≌△DBA ∴ GE =AB =22x ∵ PE =2AC ∴ PE =2(2)x x -

∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x - 即：y =2x 【点睛】

本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.

8．在中，

，

，，分别是边，

的中点，若等腰

绕点逆时针旋转，得到等腰

，设旋转角为

，记直线

与

的交点为.

（1）问题发现 如图1，当时，线段的长等于_________，线段

的长等于_________.

（2）探究证明 如图2，当时，求证：

，且

.

（3）问题解决 求点到

所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）

【答案】（1）；；（2）详见解析；（3）

【解析】 【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD 1的长和CE 1的长；

（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；

（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．

【详解】

（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，

∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=；

故答案为：；；

（2）证明：由题意可知，

，，

∵是由绕点逆时针旋转得到，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，.

∵，

∴，

∴，

∴，且.

（3）点的运动轨迹是在的上半圆周，

点的运动轨迹是在的弧段.

即当与相切时，有最大值.

点到所在直线的距离的最大值为.

【点睛】

此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知

识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．

9．如图所示，ABC ?内接于圆O ，CD AB ⊥于D ； （1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；

（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；

（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且

2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．

【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145

【解析】 【分析】

（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可． 【详解】

（1）证明：∵AB 为直径， ∴ACB 90∠=?，

∵CD AB ⊥于D ，

∴

ADC 90∠=?，

∴OBC A 90∠∠+=?，A ACD 90∠∠+=?， ∴OBC ACD ∠∠=；

（2）成立， 证明：连接OC ，

由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=， ∵OC OB =， ∴()()11

OBC 180BOC 1802A 90A 22

∠∠∠∠=?-=?-=?-， ∵

ADC 90∠=?，

∴ACD 90A ∠∠=?-， ∴OBC ACD ∠∠=；

（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，

∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，

∴

AEC ADC 90∠∠==?，

∴BCD CFE 90∠∠+=?，BAH DFA 90∠∠+=?， ∵CFE DFA ∠∠=， ∴BCD BAH ∠∠=，

∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=， ∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，

∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=，

∴CH CF =， ∴EH EF =， 同理DF DK =， ∵DE 3=， ∴HK 2DE 6==，

在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==，

BC GC =，

∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，

∴

CMK 90∠=?，

延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ， 则NAK 90CMK ∠∠=?=， ∴CM //AN ， ∵

NCK ADK 90∠∠==?，

∴CN //AG ，

∴四边形CGAN 是平行四边形， ∴AG CN 6==， 作OT CK ⊥于T ， 则T 为CK 的中点， ∵O 为KN 的中点， ∴1

OT CN 32

==， ∵

OTC 90∠=?，OC 5=，

∴由勾股定理得：CT 4=， ∴CK 2CT 8==， 作直径HS ，连接KS ， ∵HK 6=，HS 10=， ∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3

tan HSK tan HAK 4

∠∠==， ∴1

tan EAB tan BCD 3

∠∠=

=， 设BD a =，CD 3a =，

∴AD BD 2ED a 6=+=+，11

DK AD a 233

==+， ∵CD DK CK +=， ∴1

3a a 283+

+=， 解得：9a 5

=， ∴113DK a 235

=

+=， ∴2614

CF CK 2DK 855

=-=-=． 【点睛】

本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．

10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3ON=

3

3

DN=1；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，

∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到

∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到33；

（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得

∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，3DP-DQ的值．

【详解】

解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝3

∴AD＝1

2

BC＝3

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，

当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，