初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质

第1讲圆的基本性质

知识总结归纳

一．圆的定义：

（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．

⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O 读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．

\

二．弦和弧：

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

、

（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

三．垂径定理：

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且

平分弦所对的另一条弧．

（3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

四．圆心角和圆周角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

-

（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

五．直线与圆的位置关系

设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：

[

六.切线的判定

（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 七.弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

/

典型例题

一. 垂径定理及圆的对称性

【例1】 如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证:． 【例2】

【例3】 如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．

O ⊙OA OB =AC BD =D

C B A O

AB C D AC BD =

【例4】 [

【例5】 如图，矩形与圆心在上的交于点，，，

，则_______．

【例6】 如图所示，在Rt ABC △中90C ?∠=，，，若以为圆心、的长为半径的

圆交于，则_______．

*

【例7】 如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．

·

【例8】 如图，在O ⊙的直径上取一点，过作两条弦、，若，求证：

．

O

D

C

B

A

ABCD AB O ⊙G B F E 、、、8cm GB =1cm AG =2cm DE =EF =O

G

F E D C B

A

2AC =1BC =C CB AB P AP =P

C

B

A O ⊙5A O 3A A

O

PQ M M AB CD PMA PMC ∠=∠MD MB =P C

A

M

%

二. 圆心角和圆周角

【例9】 如图，是ABC △的外接圆，已知50ABO ?∠=，则的大小为_______． 【例10】

【例11】 !

【例12】 已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧

上不同于点的任意一点，

则的度数是_______．

【例13】

如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是7040??、，则的度数为_______． 【例14】

￥

【例15】 如图，是的直径，是的弦．若23BAD ?∠=，则的大小为_______．

O ⊙ACB ∠ABCD O ⊙P CD C BPC ∠P

A B 、1∠AB O ⊙CD O ⊙ACD ∠

|

【例16】 如图，已知30APC ?∠=，弧BD 的度数为30?，求弧AC 和的度数

【例17】 … 【例18】 已知如图，ACD △的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：． 【例19】

【例20】 如图，锐角ABC △内接于圆，6036ABC BAC ??∠=∠=，

，作交劣弧AB 于点，连结，求．

*

O

D

C

B

A

AEC ∠P

E

D

C

B A

CB B BA BD BA BD =N D

C

B

A

O OE AB ⊥E EC OEC ∠ "

B C

E

A

【例21】 如图，是的直径，点，，都在上，若，求．

【例22】 过上一点作弦MA MB MC ，，，使，如图，过点作于，

>

于，求证：．

【例23】 已知点、、顺次在圆上，弧AB BD =弧，于，求证：AM DC CM =+．

—

三. 直线与圆相切

【例24】 如图，ABC △为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，

求证：与相切．

AB O ⊙C D E O ⊙C D E ==∠∠∠A B +∠∠O

E

D

C

B

A

O ⊙M AMB BMC ∠=∠B BE MA ⊥E BF MC ⊥F AE CF =A

B

C

M

E

F O

O

F E

M

C

B

A

A B C O BM AC ⊥M AB AC =O BC O ⊙AB D AC O ⊙O

D C

B

A

O

C 、

A

B

M

【例25】 如图所示在Rt ABC △中，90B ?∠=，的平分线交于，为上一点，，

以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．

:

【例26】 如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与相切．

【例27】 已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分

．求证：为的切线．

>

【例28】 如图，分别切O ⊙于、

两点，满，且，，求．

A ∠BC D E A

B DE D

C =

D DB AC D ⊙AB EB AC +=

E D C

B

A ABCD A

B CD CD AB

O

D

C

B A

AB O ⊙C O ⊙MN C AD MN ⊥D AC DAB ∠MN O ⊙O

B

A

D C

N M PA A B PC AB PB AC PC AB PC AC PB ?-?=?-?AP PC ⊥2PAB BPC ∠=∠ACB ∠B

C

A

P

/

【例29】 … 【例30】 如图，O ⊙与直角ABC △的斜边相切于，与直角边相交于点，且DE BC ∥．已

知，，，求⊙的半径．

【例31】 如图，在ABCD □中，过、、

三点的圆交于点，且与相切，若，，求的长．

，

思维飞跃

【例32】 如图，O ⊙的直径为，是直径上一点，是过的一条弦，，过

、分别作于点，于点，求与的长度之差．

$

"

【例33】 如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是弧AB CD ，

弧的AB D AC E 22AE =32AC =6BC =O A B C AD E CD 4AB =5BE =DE AB 20cm G AB CD G 16cm CD =A B AE CD ⊥E BF CD ⊥F AE BF P O ⊙P PAB PCD M N ，O

]

A

F E

B C G

D

O

E

C B

D

`

A

E …

C

B

A

中点，连结交，与．求证：PEF △为等腰三角形．

【例34】

—

【例35】 如图，在半径为的⊙中，引两条互相垂直的直径和，在上取点，弦交于，弦交于，试证：四边形的面积为．

'

【例36】 如图，已知是O ⊙的直径，是O ⊙的切线，平行于弦．过点作于

点，连结与交于点，问与是否相等证明你的结论．

"

MN AB CD E F ，O

P N

M F E D

C B

A 1O AE BF EF C AC BF

P CB AE Q APQB 1AB BC OC AD D DE AB E AC DE P EP FD O

Q

P

C

[

E

B

A

F O

—

E D

M C

B

【例37】 若圆内接四边形的对角线互相垂直，求证：

【例38】 （1）过对角线交点且平分一边的直线必垂直于这边的对边； 【例39】 （2）从外接圆圆心到一边的距离等于这边对边的一半．

-

.

作业

1. 如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上．

（1）若52AOD ?∠=，求的度数； （2）若，，求的长．

2. 如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．

3. （1）求证：．

4. （2）若，求的直径．

&

5. 如图，已知ABC △内接于O ⊙，弦，是直径，是弧AB 的中点，

6. 求证：（1）平分；（2）弧AN =弧BM ．

AB O ⊙OD AB ⊥C O ⊙D E O ⊙DEB ∠3OC =5OA =AB O

E

D

C B

A

AB O ⊙CD AB CD ⊥E AC OC BC 、、ACO BCD ∠=∠8cm 24cm EB CD ==，O ⊙O

E D

C

B

A

CM AB ⊥CN F CF NCM ∠C

7. @

8. 如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于( ) 9. A ． B ． C ． D ．

10. 如图，过的直径上两点，分别作弦，若． 11. 求证：（1）弧BEC =弧ADF ；（2）．

12. 如下图所示，以Rt ABC △的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求

证：是的切线；

、

13. 如图，切于点，直线交于点，弦，求证：．

AB O ⊙10AB =MN 8MN AB

A B 、MN 12h h ，

12h h -5678

O ⊙AB M N ，

CD EF ，CD EF AC BF =，∥AM BN

=BC O D OE AC ∥AB E DE O

⊙B

MP O ⊙M OP O ⊙A B 、AC MP ∥MO BC ∥

}

14. 已知：如图，在ABC △中，，以为直径的半圆与边相交于点，切线，

垂足为点．求证：（1）是等边三角形；（2）．

15. 如图，已知ABC △是O ⊙的内接三角形，O ⊙的直径交于，于，延长交

于，求证：．

16. 如图，延长O ⊙的半径到，使得，是圆的一条切线，是切点，是在上的射影．求证：．

M

P

O

C B

A

AB AC =BC O AB D DE AC ⊥E ABC ?1

3

AE CE =E

A

C

O

B

BD AC E AF BD ⊥F AF BC G 2AB BG BC =?OA B OA AB =DT T C B DT

1

3ACB CAO ∠=∠￥

G

F E

C

D B

A

O

A

B

D

C

T

17. 如图，已知圆内接ABC △，AB AC ＞，为弧BAC 的中点，求证：．

D 22BD AD AB AC -=?C

B A

D