福建省泉州市安溪县2019届九年级上期末数学试卷及答案解析.docx
福建省泉州市安溪县2019 届九年级上期末数学试卷及答案解析
一、选择题（每题 3 分，共 21 分．每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后
的括号内．）
1．下列计算正确的是( )
A ．B．C．?D．
2． cos60°的值等于 ( )
A ．B． C ． D ．
3．如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是( )
A ．B．C．D．
4．已知 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=50 °，AB=2 ，则 AC=( )
A ． 2sin50°B． 2sin40°C． 2tan50°D． 2tan40°
5．某商品经过两次降价，零售价降为原来的，已知两次降价的百分率均为 x，则列出方程正确的是 ( )
A ．B．
22 C．（ 1+x） =2 D ．（ 1﹣ x） =2
2
) 6．二次函数 y=x +2x 的图象可能是 (
A ．
B ．
C ．
D．
7．如图，在正△ ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()
A ．△AED ∽△ ABC B．△ AD
B ∽△ BED C．△ BCD ∽△ ABC
D．△AED ∽△ CBD
二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）
8．当 x__________ 时，二次根式有意义．
2
a 的取值范围是 __________ ．9．若关于 x 的一元二次方程 x +2x+a=0 有实数根，则
10．关于 x 的方程 x 2
﹣ mx﹣ 2=0 有一根是﹣ 1，则 m=__________ ．
11．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC， EC=2AE ， BD=6 ，则 AD=__________ ．12．如图，已知△ ABC∽△ ACP，∠ A=70°，∠ APC=65°，则∠ B=__________．
13．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是__________ ．
14．一个袋中装有10 个红球、 8 个黑球、 6 个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是__________．
15．已知二次函数
2
ac__________0．（填“＞”、y=ax +bx +c （ a≠0）的图象如图所示，则
“=”或“＜”）
16．抛物线y=2 （ x+2）2
﹣ 1 的顶点坐标是 __________ ．
17．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=BC=4 ， D 是 AC 中点，则：
（1） sin∠ DBC=__________ ；
（2） tan∠ DBA=__________ ．
三、解答题（共89 分）
18．计算：．
19．解方程： 2 x（ x﹣ 1）﹣ 3（ x﹣ 1） =0 ．
20．已知抛物线的顶点坐标为（ 1，﹣ 2），且抛物线经过点（ 2， 3），求抛物线的表达式．
21．一副直角三角板如图放置，点 A 在 ED 上，∠ F=∠ ACB=90 °，∠ E=30°，∠ B=45 °，AC=12 ，试求 BD 的长．
22．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且
∠A DB+ ∠ EDC=120 °．
（1）求证：△ ABD ∽△ DCE ；
（2）若 BD=3 ， CE=2，求△ ABC 的边长．
23．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2， 3， 4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字1， 2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为 __________ ；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中
摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
24．如图，点 A 、B 为 6×6 的网格中的格点，每个小正方形的边长都为1，其中 A 点的坐标为（ 0， 4）．
（1）请直接写出 B 点的坐标；
（2）若点 C 为 6×6 的网格中的格点，且∠ACB=90 °，请求出符合条件的点 C 的坐标．
25．（ 13 分）如图，在△ ABC 中， AB=6cm ， BC=12cm ，∠ B=90 °．点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，设移动时间为 t（ s）．
（1）当 t=2 时，求△ PBQ 的面积；
（2）当 t 为多少时，四边形 APQC 的面积最小？最小面积是多少？
（3）当 t 为多少时，△ PQB 与△ ABC 相似？
26．（ 13 分）如图，直线y= ﹣ 3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，抛物线y=a（ x﹣ 2）2
+k 经过点 A 、 B．求：
（1）点 A、 B 的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A 、 B、 P 为顶点的三角形为等腰三角形？若
存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
-学年九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题 3 分，共 21 分．每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后
的括号内．）
1．下列计算正确的是( )
A ．B．C．?D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的除法法则对 B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C、 D 进行判断．
【解答】解： A 、与﹣不能合并，所以 A 选项错误；
B、原式 =，所以B选项错误；
C、原式 ==，所以C选项正确；
D、原式 =2，所以D选项错误．
故选 C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
2． cos60°的值等于 ( )
A ．B． C ． D ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解： cos60°=．
故选： A ．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
3．如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是 ( )
A ．B．C．D．
【考点】几何概率．
【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转
动时指针指向阴影部分的概率．
【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成 6 部分，阴影部分占 2 份，
转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：= ；
故选： C．
【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
4．已知 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=50 °，AB=2 ，则 AC=( )
A ． 2sin50° B． 2sin40° C． 2tan50° D． 2tan40°【考点】
锐角三角函数的定义．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对
边比邻边，可得答案．
【解答】解：由 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=50 °，得
∠B=40 °，
由sin∠B= ，得
AC=ABsin ∠ B=2sin40 °，
故选： B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜
边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．某商品经过两次降价，零售价降为原来的，已知两次降价的百分率均为 x，则列出方程正确的是 ( )
22
A ．B．C．（ 1+x） =2 D ．（ 1﹣ x） =2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】可设原价为 1，关系式为：原价×（ 1﹣降低的百分率）2
=现售价，把相关数值代入
即可．
【解答】解：设原价为1，则现售价为，
2
∴可得方程为：1×（1﹣ x） =，
2
【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）=后来的量，增长用+，减少用﹣．
2
6．二次函数y=x +2x 的图象可能是 ( )
A ．
B ．
C ．
D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】由二次函数性质知道其对称轴x==﹣ 1，当 a＞0 时，抛物线 y=ax 2
+bx+c
（a≠0）的开口向上，最后得到答案．
2
【解答】解：∵二次函数 y=x +2x ，
∴此二次函数图象的开口向上，对称轴是x= ﹣ 1，
故选： C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的称轴x=；当a＞0时，抛物线
2
时， y 随 x 的增大而减小； x＞﹣时， y 随 x 的y=ax +bx+c （a≠0）的开口向上， x＜﹣
增大而增大．
7．如图，在正△ ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()
A ．△AED ∽△ ABC B．△ AD
B ∽△ BED C．△ BCD ∽△ ABC
D．△AED ∽△ CBD
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据等边三角形的性质得出角相等，再由已知条件求出，即两边对应成比例并且夹角相等，因此两个三角形相似．
【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，=，
∴AB=BC=AC ，∠ A= ∠C，
设 AD=x ， AC=3x ，
则 BC=3x ， CD=2x ，
∵ A E=BE= x ，
∴
， ，
∴ ，
∴△ AED ∽△ CBD ； 故选： D ．
【点评】 本题考查了相似三角形的判定方法、等边三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
二、填空题（每小题
4 分，共 40 分）
8．当 xx ≥﹣ 1 时，二次根式 有意义． 【考点】 二次根式有意义的条件．
【分析】 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解． 【解答】 解：根据题意得： x+1≥0 解得： x ≥﹣1
故答案是： x ≥﹣ 1
【点评】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目．
2
9．若关于 x 的一元二次方程 x +2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a ≤1． 【考点】 根的判别式．
【分析】 在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（ 1）二次项系数不为零；
（ 2）在有实数根下必须满足 △ =b 2
﹣ 4ac ≥0． 【解答】 解：因为关于 x 的一元二次方程有实根，
2
所以 △ =b ﹣ 4ac=4﹣ 4a ≥0，
故答案为 a ≤1．
【点评】 本题考查了一元二次方程 2
ax +bx+c=0 （ a ≠0，a ， b ， c 为常数）根的判别式．当 △ ＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当 △ =0 ，方程有两个相等的实数根；当 △＜ 0，方程没有实数根．
2
10．关于 x 的方程 x ﹣ mx ﹣ 2=0 有一根是﹣ 1，则 m=1．
【分析】 已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出 m 的值．
2
【解答】 解：∵方程 x ﹣ mx ﹣ 2=0 的一根是﹣ 1，
解答： m=1， 故答案为： 1；
【点评】 此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
11．如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ， EC=2AE ， BD=6 ，则 AD=3 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥ BC 得到=，然后把EC=2AE ，
BD=6 代入后利用比例的性质计算即可．
【解答】解：∵ DE ∥ BC ，
∴= ，
∵E C=2AE ， BD=6 ，
∴== ，
∴A D=3 ．
故答案为 3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例．
12．如图，已知△ ABC∽△ ACP，∠ A=70°，∠ APC=65°，则∠ B=45°．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ ACB= ∠ APC=65 °，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ ABC ∽△ ACP ，
∴∠ ACB= ∠ APC=65 °，
∵∠ A=70 °，
∴∠ B=180 °﹣∠ A ﹣∠ ACB=180 °﹣ 70°﹣ 65°=45°．
故答案为45°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考
查了三角形内角和定理．
13．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结
果，然后利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反
反，
∴两次都是正面朝上的概率是．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可
能的结果．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
14．一个袋中装有10 个红球、 8 个黑球、 6 个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任
意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】用黑球的个数除以所有球的个数即可求得摸到黑球的概率．
【解答】解：∵共有 10+8+6=24 个球，其中黑球有8 个，
∴从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是=，
故答案为：．
【点评】考查了概率的公式，解题时用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
2
15．已知二次函数 y=ax +bx+c （ a≠0）的图象如图所示，则
ac＞0．（填“＞”、“=”或“＜”）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据开口方向、抛物线与y 轴的交点，确定a、 c 的符号，得到答案．
【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞ 0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞ 0，ac＞ 0．故答案为：＞．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形
结合思想是解题的关键．
2
16．抛物线y=2 （ x+2）﹣ 1 的顶点坐标是（﹣2，﹣ 1）．
【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．
2
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=2（ x+2）﹣1，
故答案为：（﹣2，﹣ 1）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
17．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=BC=4 ， D 是 AC 中点，则：
（1） sin∠ DBC=；
（2） tan∠ DBA=．
【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）先由 D 是 AC 中点， AC=4 ，得出 CD= AC=2 ，然后在 Rt△ BCD 中，利用
勾股定理求出BD==2，再根据三角函数定义即可求出sin∠ DBC 的值；
（2）过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E，先由△ ABC 是等腰直角三角形，得出∠A= ∠ ABC=45 °，
AB=4．再证明△ADE 是等腰直角三角形，得出 DE=AE=AD=，于是 BE=AB ﹣
AE=4﹣=3 ，然后在 Rt△ BDE 中，根据三角函数定义即可求出tan∠ DBA 的值．【解答】解：（ 1）∵ D 是 AC 中点， AC=4 ，
∴CD=AD=AC=2 ，
∵在 Rt△ BCD 中，∠ C=90 °， BC=4 ，CD=2 ，
∴BD==2，
∴sin ∠DBC===；
（2）过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E，
∵在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， AC=BC=4 ，
∴∠ A= ∠ ABC=45 °， AB=4．
∵在 Rt△ ADE 中，∠ AED=90 °，∠ A=45 °， AD=2 ，
∴DE=AE=AD=，
∴BE=AB ﹣ AE=4﹣=3，
在 Rt△ BDE 中， tan∠ DBA===．
故答案为：；．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角
函数的定义，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解决（2）小题的关键．
三、解答题（共89 分）
18．计算：
．
【考点】 二次 根式的混合运算． 【专题】 计算题．
【分析】 先根据完全平方公式和平方差公式计算得到原式 =
+3﹣ 1，然
后合并即可． 【解答】 解：原式 =
+3 ﹣ 1
=3 ﹣ 3﹣2 +2
=
﹣ 1．
【点评】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
19．解方程： 2x （ x ﹣ 1）﹣ 3（ x ﹣ 1） =0． 【考点】 解一元二次方程 -因式分解法．
【分析】 将（ x ﹣ 1）作为公因式，提公因式解答即可． 【解答】 解：原方程可化为（ x ﹣ 1）（ 2x ﹣ 3） =0， 解得 x 1=1，x 2=
．
【点评】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．已知抛物线的顶点坐标为（ 1，﹣ 2），且抛物线经过点（ 2， 3），求抛物线的表达式．
【考点】 待定系数法求二次函数解析式．
2
【分析】 抛物线的顶点式解析式 y=a （ x ﹣h ） +k 代入顶点坐标另一点求出 a 的值即可．【解答】
解：由抛物线的顶点坐标为（ 1，﹣ 2），设抛物线的表达式为 y=a （ x ﹣ 1） 2
﹣2，
∵抛物线经过点（ 2， 3），
∴ 3=a （ 2﹣ 1） 2
﹣ 2， 解得 a=5，
∴所求的二次函数的表达式为y=5（ x ﹣1） 2
﹣ 2．
【点评】 此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题是解题的关键．
21．一副直角三角板如图放置，点 A 在 ED 上，∠ F=∠ ACB=90 °，∠ E=30°，∠ B=45 °， AC=12 ，试求 BD 的长．
【考点】 解直角三角形．
【分析】先解 Rt △ ABC ，由∠ ACB=90 °，∠ B=45 °，得出 BC=AC=12 ．再解 Rt△ ACD ，求
出∠ ADC=90 °﹣∠ E=60°，根据三角函数定义得到CD==4，那么BD=BC﹣
DC=12 ﹣ 4．
【解答】解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ B=45 °，
∴BC=AC=12 ．
∵在 Rt△ ACD 中，∠ ACD=90 °，∠ ADC=90 °﹣∠ E=60°，
∴CD==4，
∴BD=BC ﹣ DC=12 ﹣ 4．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，求出BC 与 DC 的长是解题的关键．
22．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且
∠A DB+ ∠ EDC=120 °．
（1）求证：△ ABD ∽△ DCE ；
（2）若 BD=3 ， CE=2，求△ ABC 的边长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B=∠ C=60 °，根据等式性质求出
∠B AD= ∠ CDE ，即可证明△ABD ∽△ DCE ；
（2）由（ 1）知道△ABD ∽△ DCE ，对应边成比例得出，列方程解答即可．
【解答】解：（ 1）∵△ ABC 为正三角形，
∴∠ B=∠ C=60 °，
∴∠ ADB+ ∠ BAD=120 °，
∵∠ ADB+ ∠ CDE=120 °，
∴∠ BAD= ∠ CDE，
∴△ ABD ∽△ DCE ．
（2）∵△ ABD ∽△ DCE
∴，
设正三角形边长为x，
则，
解得 x=9 ，
即△ ABC 的边长为9．
【点评】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用性质
进行推理和计算的能力．能够证明△ ABD ∽△ DCE 是解决问题的关键．
23．一个不透明的口袋中装有4 个完全相同的小球，分别标有数字1，2， 3， 4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字1， 2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中
摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）因为口袋中有 4 个小球，大于 2 的有两个分别是 3， 4，由此可求出其概率．
（2）游戏公平，分别求出题目各自获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公
平．
【解答】解：（ 1）∵的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字1， 2， 3， 4，
∴从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为；
故答案为：；
（2）游戏公平．
列举所有等可能的结果 12 个：
1234
12345
23456
34567
∴所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5 的概率为P=，
∴游戏公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就
公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
24．如图，点 A 、B 为 6×6 的网格中的格点，每个小正方形的边长都为1，其中 A 点的坐标为（ 0， 4）．
（1）请直接写出 B 点的坐标；
（2）若点 C 为 6×6 的网格中的格点，且∠ACB=90 °，请求出符合条件的点 C 的坐标．
【考点】勾股定理；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）由 A 点的坐标为（ 0，4）可建立平面直角坐标系，由此即可求出点 B 的坐标；
（2）由（ 1）中的平面直角坐标系，当∠ ACB=90 °，利用勾股定理的逆定理即可求出符合条件的点 C 的坐标．
【解答】解：（ 1）建立如图所示的平面直角坐标系，则点 B （﹣ 2， 0）；（2）
如图所示：则 C（ 0， 0）或（﹣ 2， 4）或 C（1， 1）或 C（ 1， 3）．
【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是熟记勾股定理以及其逆
定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的
平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
222
，那么这个三角形a， b， c 满足 a +b =c
就是直角三角形．
25．（ 13 分）如图，在△ ABC 中， AB=6cm ， BC=12cm ，∠ B=90 °．点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，
如果 P、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，设移动时间为 t（ s）．
（1）当 t=2 时，求△ PBQ 的面积；
（2）当 t 为多少时，四边形 APQC 的面积最小？最小面积是多少？
（3）当 t 为多少时，△ PQB 与△ ABC 相似？
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
【专题】动点型．
【分析】（1）根据直角三角形的面积公式求解即可；
（2）四边形APQC 的面积 =△ABC 的面积﹣△ PBQ 的面积，再根据配方法即可求解；
（3）分两种情况讨论，△ BPQ∽△ BAC，△ BPQ∽△ CBA，列比例式求解即可．
【解答】解：（ 1）当 t=2 时， AP=2 ， BQ=4 ， PB=4 ，
∴S△PBQ=BP?BQ=8 （cm 2），
（2）∵ AP=t ， BQ=2t ， PB=6 ﹣ t，
∴S 四边形APQC= AB ?BC ﹣BP?BQ=36 ﹣（ 6﹣t ） t=t 2
﹣ 6t+36= （ t﹣ 3）
2
+27 ，
2
∴当 t=3 时， S 四边形APQC有最小值27cm ．
∴由即解得t=3，
由即解得t=1.2，
∴当 t=1.2 或 t=3 时，△PQB 与△ ABC 相似．
【点评】此题主要考查了二次函数应用和相似三角形的判定，熟悉二次函数的性质和相似
三角形的判定是解决问题的关键．
26．（ 13 分）如图，直线y= ﹣ 3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，抛物线y=a（ x﹣ 2）
2
+k 经过点 A 、 B．求：
（1）点 A、 B 的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A 、 B、 P 为顶点的三角形为等腰三角形？若
存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由 y=﹣ 3x+3 得，当 x=0 时， y=3；当 y=0 时， x=1 ，即可确定点 A ， B 的坐标；
2
，解得（2）把点 A （ 1，0）、 B（ 0， 3）代入 y=a（ x﹣ 2） +k 得：
，即可解答；
（3）存在，由 AO=1 ，BO=3 ，得到 AB=．设对称 x 轴交于点 D， P
（2y ）， D（ 2， 0），所以
22
+DA
22
DA=1 ，PD=|y|， PA =PD=y +1，分三种情况讨论解答：
222222
时．当 PA=AB 即 PA=AB =10时；当 PB=AB 即 PB =AB=10时；当 PA=PB 即 PA =PB
【解答】解：（ 1）由 y= ﹣ 3x+3 得，当 x=0 时， y=3 ；当 y=0 时， x=1
∴A （ 1， 0）、 B（ 0，3）．
2
（2）把点 A （ 1，0 ）、 B（ 0， 3）代入 y=a（ x﹣ 2）+k 得：
解得
∴抛物线的函数表达式为 y=（ x ﹣ 2）2
﹣ 1． （ 3）∵ AO=1 ， BO=3 ，
∴AB=
．
设对称 x 轴交于点 D ， P （2， y ）， D （2， 0），
2
2
2 2
∴DA=1 ， PD=|y|， PA =PD +DA
=y +1，
2
2
当 PA=AB 即 PA =AB =10 时，
2
∴
y +1=10 ，
解得 y= ±3
∴P （ 2， ±3），
但当 P （ 2，﹣ 3）时， P 、A 、 B 在同一条直线上，不合题意舍去． ∴P 1（ 2， 3），
当 PB=AB 即 PB 2=AB 2
=10 时，如图，过 B 作 BE ⊥对称轴于点 E ，
则 E （ 2，3）， EB=2 ，PE 2=（ y ﹣ 3） 2
，
2
2
2
2
，
∴PB =PE +BE =（ y ﹣ 3） +4=10
解得
∴P 2（ 2， 3+
）、 P 3（ 2， 3﹣
），当 PA=PB 即 PA 2 =PB 2
时，
2
2
y +1= （ y ﹣3） +4 解得 y=2 ，
∴P 4（ 2， 2）．
综上所述，所求的点为 P 1（ 2，3）， P 2（ 2， 3+ ）， P 3（ 2， 3﹣ ）， P 4（ 2， 2）． 【点评】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等
腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，在（ 3）中解决问题的关键是采用分类讨论
思想解答．