(完整版)高考数学文模拟试卷
2016年高考模拟试题 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤,{|22}B x x =-<<,则A B =I (A ){|12}x x -≤≤ (B ){|12}x x -≤<
(C ){|12}x x -<< (D ){|21}x x -<≤ 2.在ABC ?中,“4
A π
=
”是“cos 2A =”的
(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为 (A )3:1 (B )2:1 (C )1:1 (D )1:2
4.设147()9a -=,1
59()7b =,2
7log 9
c =,则a , b , c 的大小顺序是
(A )b a c << (B )c a b <<
(C )c b a << (D )b c a <<
5.已知n m ,为空间中两条不同的直线,βα,为空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是
(A )若βα//,//m m ,则βα//
(B )若,m m n α⊥⊥,则//n α
(C )若n m m //,//α,则α//n (D )若βα//,m m ⊥,则βα⊥
6.已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥??
+-≤??-≥?
,则
2
z y x
=-
的最大值是
(A )2 (B )4 (C )5 (D )6 7.执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于
正视图侧视图
俯视图
50,则输入的整数k 的最大值为
(A )4 (B )5 (C )6 (D )7
8.已知菱形ABCD 边长为2,3
B π
∠=,点P 满足AP AB λ=u u u r u u u r ,λ∈R .若
3BD CP ?=-u u u r u u u r
,则λ的值为
(A )12 (B )12- (C )13 (D ) 13
- 9.已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,若E 上存在点P 使
12F F P ?为等腰三角形,且其顶角为23
π
,则22a b 的值是
(A )43 (B )23 (C )3
4
(D )3
10.已知函数232
log (2),0()33,x x k
f x x x k x a -≤=?-+≤≤?
.若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-,则实数a 的取值范围是
(A )3[,13]2
+ (B )[2,13]+ (C )[1,3] (D ) [2,3]
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-(其中i 为虚数单位),则z = . 12.已知函数3
()sin 1f x x x -=++.若()3f a =,则()f a -= .
13.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,
其中一个数字被污损,记甲,乙的平均成绩分别为x 甲,x 乙.则x >甲x 乙的概率是 .
14. 已知圆42
2=+y x ,过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点,O 为坐标原点,则OAB ?面积的最大值是 .
15.某房地产公司要在一块矩形宽阔地面(如图)上开发物业 ,阴影部分是不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离,古建筑群的边界为曲线2
413
y x =-
的一部分,栏甲 乙
4 7
5 8 7
6 9 9 2
4 1
栅与矩形区域边界交于点M ,N .则当能开发的面积达到最大时,OM 的长为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知等比数列{}n a 的公比1q >,且212()5n n n a a a +++=. (Ⅰ)求q 的值;
(Ⅱ)若2
510a a =,求数列{
}3n
n
a 的前n 项和n S . 17.(本小题满分12分)
有编号为
,,,A A A L 的9道题,其难度系数如下表:
(Ⅰ)从上述9道题中,随机抽取1道,求这道题为难题的概率; (Ⅱ)从难题中随机抽取2道,求这两道题目难度系数相等的概率. 18.(本小题满分12分)
已知函数2251
()cos cos sin 44
f x x x x x =
--. (Ⅰ)求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合;
(Ⅱ)设A ,B ,C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =,1()4
f C =
-,求sin A 的值. 19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2,它们所在平面互相垂直,FD ⊥平面ABCD ,且
FD =
(Ⅰ)求证://EF 平面ABCD ;
(Ⅱ)若60CBA ∠=?,求几何体EFABCD 的体积. 20.(本小题满分13分)
已知椭圆22
:
132
x y E +=的左右顶点分别为A ,B ,点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.
(Ⅰ)求直线PA 与PB 的斜率之积;
(Ⅱ)过点(5
Q -
作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ,N 两点.证明:以MN 为直径的圆恒过点A .
21.(本小题满分14分)
已知函数2
1()(1)ln ()2
f x ax a x x a =-
++-∈R . (Ⅰ)当0a >时,求函数()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ)当0a =时,设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2
+∞上有两个零点,求实数k 的取值范围.
数学(文科)参考答案及评分意见
第I 卷(选择题,共50分)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.B ; 2.B ; 3.C ; 4.C ; 5.D ; 6.D ; 7.A ; 8.A ; 9.D ; 10.B .
第II 卷(非选择题,共100分)
二.填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.15i +; 12.-1; 13.
2
5
; 14.3; 15.1. 三、解答题:(本大题共6小题,共75分) 16.解:(Ⅰ)Q 212()5,
n n n a a a +++=
22()5.n n n a a q a q ∴+=
由题意,得0n a ≠,∴2
2520.q q -+=
2q ∴=或1.2
Q 1q >, 2.q ∴= ……………………6分
(Ⅱ)2
510,a a =Q
42911().a q a q ∴=
12a ∴=.
∴112.n n n a a q -==
∴2().33
n n n a = ∴122[1()]
2332.
2313n n n n S +-==--
……………………12分 17.解:(Ⅰ)记“从9道题中,随机抽取1道为难题”为事件M ,9道题中难题有1A ,4A ,
6A ,7A 四道.
∴4().9P M =
……………6分 (Ⅱ)记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ,则基本事件为:14{,}A A ,
16{,}A A ,17{,}A A ,46{,}A A ,47{,}A A ,67{,}A A 共6个;难题中有且仅有6A ,7A 的
难度系数相等. ∴1().6P N =
……………12分 18.解:
(Ⅰ)2251()cos sin cos sin 424
f x x x x x =
--
5sin 231cos 24222x x -=
-
?13(cos 22)24x x =--+
1).
223x π
=
--
……………………3分 要使()f x 取得最大值,须满足sin(2)3
x π
-取得最小值.
∴22,32
x k k ππ
-
=π-∈Z. ∴,12x k k π
=π-∈Z.
……………………5分
∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π
=π-∈Z ……………………6分
(Ⅱ)由题意,得sin(
2)3C π-= (0,),2C π∈Q 22(,).333C πππ∴-∈-3C π
∴=. ………………9分
(0,)2B π∈Q ,4
sin .5
B ∴=
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+
413525=
?+=
………………12分 19.解:(Ⅰ)如图,过点E 作EH BC ⊥于H ,连接.HD
EH ∴=
Q 平面ABCD ⊥平面BCE ,EH ?平面BCE , 平面ABCD I 平面BCE 于BC , ∴EH ⊥平面.ABCD
又FD ⊥Q 平面ABCD
,FD =
//.FD EH ∴ ∴四边形EHDF 为平行四边形. //.EF HD ∴
EF ?Q 平面ABCD ,HD ?平面,ABCD
//EF ∴平面.ABCD ………6分
(Ⅱ)连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.
Q HA ?平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC , ∴HA ⊥平面BCE .
//FD EH Q ,EH ?平面BCE ,FD ?平面BCE ,
//FD ∴平面.BCE
同理,由//HB DA 可证,//DA 平面.BCE
Q FD DA I 于D ,FD ?平面ADF ,DA ?平面ADF , ∴平面BCE //平面.ADF
F ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD Q 为四棱锥F ABCD -的高,
EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+
1133BCE ABCD S HA S FD =?+?V
Y 11
33
=?3.= ……………………………12分
20.解:
(Ⅰ)(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.
则有
22132x y +=,即22
222(1)(3).33
x y x =-=-
2
23
PA PB
y k k x ∴?==-222
(3)
23.33x x -==-- ……………………4分
(Ⅱ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,
Q MN 与x 轴不重合,
∴设直线:)MN l x ty t =-∈R .
由22,5
2360
x ty x y ?=-
???+-=?
得22144(23)0.25t y +-= 由题意,可知0?>
成立,且122
122523.1442523y y t y y t ??
+=??+??-
?=?+? ……(*)
11221212()()(55
AM AN x y x y ty ty y y ?=+=+++u u u u r u u u r
2121248
(1)().25
t y y y y =++
++ 将(*)代入上式,化简得
2222214414448484823482525250.2325252325
t t t AM AN t t -
-++?=+=-?+=++u u u u r u u u r ∴AM AN ⊥,即以MN 为直径的圆恒过点A . ………………13分
21.解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞,(1)(1)
()(0).ax x f x a x
--'=->
①当(0,1)a ∈时,1
1a >.
由()0f x '<,得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈,1
(,)x a
∈+∞时,()f x 单调递减.
∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1
(,)a
+∞.
②当1a =时,恒有()0f x '≤,∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.
③当(1,)a ∈+∞时,1
1a
<.
由()0f x '<,得1x >或1x a <.∴当1
(0,)x a ∈,(1,)x ∈+∞时,()f x 单调递减.
∴()f x 的单调递减区间为1
(0,)a
,(1,)+∞.
综上,当(0,1)a ∈时,()f x 的单调递减区间为(0,1),1
(,)a
+∞;
当1a =时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞;
当(1,)a ∈+∞时,()f x 的单调递减区间为1
(0,)a ,(1,)+∞. ………6分
(Ⅱ)2
()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2
x ∈+∞上有零点,
即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1
[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.
令函数2ln 21
(),[,)22
x x x h x x x -+=
∈+∞+. 则22
32ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数2
1()32ln 4,[,)2
p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=
在1
[,)2+∞上有()0p x '≥.
故()p x 在1
[,)2
+∞上单调递增.
(1)0p =Q ,
∴当1
[,1)2
x ∈时,有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减;
当(1,)x ∈+∞时,有()0p x >即()0h x '>,∴()h x 单调递增.
19ln 2
()2105
h =+
Q ,(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h , ∴k 的取值范围为9ln 2
(1,].
105+
…………14分