软科学__一个多属性群决策的权重计算方法_基于投影寻踪分类模型

收稿日期:2008-12-09

基金项目:国家自然科学基金项目(60875001);国家社会科学基金资助项目(07BJY041);江苏省基础研究计划(自然科学基金)项目(BK2006184)作者简介:姚　奕(1976-),女,江苏省宜兴市人,讲师、博士生,研究方向为管理科学与工程;郭军华(1976-),男,湖北省天门市人,讲师、博士生,研究方向为管理科学与工程。

一个多属性群决策的权重计算方法

———基于投影寻踪分类模型

姚　奕1,2

,郭军华

1,3

(1.南京航空航天大学经济与管理学院,南京210016;2.南京师范大学数学与计算机科学学院,南京210097;

3.华东交通大学经济管理学院,南昌330013)

摘要:针对属性权重和决策者权重完全未知的多属性群决策问题,提出了基于投影寻踪分类模型的权重确定方法。该模型通过最佳投影方向(即权重)将决策矩阵综合成一维投影值(即群体综合属性值),投影值越大表示该方案越优,根据投影值的大小对各方案进行综合排序决策。该方法针对具体的决策问题,充分利用了决策数据的信息,且操作简便易行。最后通过一个实例分析说明了此方法的可行性与可靠性。关键词:多属性群决策;权重;投影寻踪;遗传算法

中图分类号:N945.25 文献标识码:A 文章编号:1001-8409(2009)06-0126-04

W e ig h ts C om p u ta t io n o f M u lt i -a t t r ib u te

G ro u p D e c is io n M a k in g

———Based on Pr ojecti on Pursuit Classificati on Model

Y AO Yi 1,2

,G UO Jun 2hua

1,3

(1.School of Econo m ics and M anage m ent,N anjing U niversity of A eronautics and A stronautics,N anjing 210016;

2.School of M athe m atics and Co m puter Science,N anjing N or m al U niversity,N anjing 210097;

3.School of Econo m ics and M anage m ent,East China J iaotong U niversity,N anchang 330013)

Abstract:A model based on p rojection pursuit model to calculate attribute weights and decision makers’w eights with weights infor mati on comp letely unknown is p resented in the paper .Decision matrices can be synthesized with p rojecti on values in one di m ensi on which indicates comp rehensive quality of decision schemes based on the op ti 2mum p r ojection vect ors of data,and the decision schemes can be ordered according t o the p r ojection values .This model which is easily fulfilled utilizes the infor mati on of data according t o s pecial decisi on making p r oblem.Final 2ly,the si m ulation result shows that the p r oposed model is feasible and credible .

Key words:multi -attribute gr oup decisi on making;weight;p r ojection pursuit;genetic algorithm

引言

决策是人们进行选择的行为,决策正确与否往往关系着事业的成败和利益的得失,因此决策的研究一直以来都是管理科学和系统工程研究的热点问题之

一。现实中的大型决策过程往往是多属性群决策过程,为了体现决策的合理性和公平性,需要由多个决策者共同参与决策过程。这些决策者利用已有的决策信息,通过一定的方法对有限多个备选方案进行排

序并择优。多属性群决策一般是对各备选方案群体综合属性值的排序进行比较,各备选方案的综合属性值本质上是各属性值的某种意义上的加权平均。因此,属性权重和决策者权重的确定至关重要。

属性权重的确定方法主要可分为主观赋权法和客观赋权法,主观权重或直接给出,或由AHP法、Del2 phi法等来确定;客观权重通常是根据决策信息来确定,更符合实际。在属性权重信息完全未知且属性值是实数的情况下,可采用加权平均法[1]、方差最大化法[2]、信息熵法[3]等。除了根据决策者的能力水平、知名度、对决策问题的熟悉程度等来确定决策者权重之外,已有不少研究者从更客观的角度出发进行了研究,比如关联加权几何平均法[4]、离差最大化法[5]、变异系数-均值法[6]、主观权重和客观权重凸组合法[7]、偏好关系的调整法[8]以及综合考虑决策者在不同评价属性中的重要性程度和决策者决策的相似度方法[9]等,这些方法多方面多角度地解决多属性群决策中权重的确定问题。

在决策时,若方案在某个属性之下的属性值变化幅度越大,分布越分散,则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越大,理应对这样的属性赋予更大的权重。因为此方案提供给决策者的机会风险最大,积极而稳妥地处理这种机会风险,决策者既可以充分利用可能获得的最大收益机会,也可以避免可能遭受的最大损失机会[10]。在一般群决策过程中,基本上可以认为决策者在名望、地位、所属专业、对决策问题的熟悉程度等方面具有相同的重要性,为了全面客观反映各决策者在群决策过程中的作用,需要根据具体的决策信息确定决策者的权重。与一个决策者决策时确定属性的权重类似,如果某个决策者的综合属性值对所有方案的差异越大,那么这个决策者的决策对方案决策与排序所起的作用越大,因此对该决策者应给予更大的权重[5]。上述思想能促进决策者更加客观的进行决策,而避免出现“平均主义”。由此,本文利用投影寻踪分类模型[11～13]同时确定属性权重和决策者权重,期望从另外一条途径解决多属性群决策问题中权重的确定问题。

1　基于投影寻踪分类模型的多属性群决策模型20世纪60年代末70年代初出现的投影寻踪分类模型,是通过数值优化计算将高维数据投影到低维空间,从而找到反映数据结构特征的最优投影的一种多元数据处理方法。该模型利用投影指标函数衡量决策结构,寻找出使投影指标函数达到最优的投影值,然后根据投影值的大小对决策方案进行优劣排序。

基于投影寻踪分类模型的多属性群决策方法步骤如下:

步骤1:考虑某个多属性群决策问题有n个备选方案A

1

,A2,…,A n和m个属性C1,C2,…,C m,d1,d2,

…,d

t

是t个决策者。属性权重与决策者权重完全未

知,设属性权重向量为ω(k)=(ω(k)

1

,ω(k)2,…,ω(k)m), k=1,2,…,t,ω(k)j≥0,j=1,2,…,m,满足单位化约束条件6m

j=1

(ω(k)

j

)2=1,k=1,2,…,t。决策者的权重向量

为λ={λ

1

,λ2,…λt},λk≥0,k=1,2,…,t,并满足单

位化约束条件6t

k=1

λ2

k

=1。a(k)ij(1≤i≤n,1≤j≤m, 1≤k≤t)是决策者d k提供的方案A i在属性C j下的属性值,对决策矩阵A进行规范化处理以消除量纲对

决策的影响,得到规范化矩阵R=(r(k)

ij

)

n×m

,k=1,2,

…,t。

步骤2:利用投影寻踪分类模型求属性权重向量

ω(k),k=1,2,…,t,计算决策者d

k

提供的某方案的综

合属性值z(k)

i

(ω(k)),i=1,2,…,n。

首先,构造投影指标函数Q(ω(k))。投影寻踪分

类方法就是把m维数据r(k)

ij

,j=1,2,…,m,i=1,2,

…,n综合成以ω(k)=(ω(k)

1

,ω(k)2,…,ω(k)m),ω(k)j≥0, j=1,2,…,m为投影方向的一维投影值z(k)i(ω(k)), i=1,2,…,n。

z(k)i(ω(k))=6m j=1r(k)ijω(k)j,i=1,2,…,n(1)

在投影时,要求投影值z(k)

i

(ω(k)),i=1,2,…,n

应具有如下散布特征:(1)局部投影点尽可能密集,最好能凝聚成若干个点团;(2)整体上投影点团之间尽可能散开。因此,投影指标函数可以表示为Q(ω(k))=S(ω(k))D(ω(k))[11],其中S(ω(k))是n个

投影值z(k)

i

(ω(k)),i=1,2,…,n的标准差,D(ω(k))是

投影值z(k)

i

(ω(k)),i=1,2,…,n的局部密度,即: S(ω(k))=

6n i=1(z(k)i(ω(k))-E(z)(k))2

n-1

D(ω(k))=6n i=16n j=1(L(k)-l(k)ij)u(L(k)-l(k)ij)

(2)

其中E(z)(k)为n个投影值z(k)

i

(ω(k))的均值; l(k)ij=|z(k)i(ω(k))-z(k)j(ω(k))|;L(k)为局部密度的窗口半径,根据具体实验确定;u(t)=

1,t≥0

0,t<0

。投影指标函数Q(ω(k))能够反映属性值变化幅度的大小。

其次,优化投影指标函数。当L(k)给定时,投影指标函数Q(ω(k))只随投影方向ω(k)的变化而变化。

不同的投影方向反映不同的数据结构特征,最佳投影

方向最大可能暴露决策矩阵的决策结构特征。通过求解下列优化问题来估计最佳投影方向,即:

m axQ(ω(k))=S(ω(k))D(ω(k)),

s1t16m j=1(ω(k)j)2=1(3)这是一个以m维变量ω(k)为优化变量的非线性优化问题,目标函数Q(ω(k))在某些点不可微,用传统的优化方法处理是不合理的,我们可以利用实数编码的加速遗传算法(RAG A)[14]来求解此优化问题。

遗传算法是一类借鉴生物自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法,由于其本身具有很强的鲁棒性和并行处理功能,因而特别适用于传统优化方法难以解决的最优化问题。通过改进遗传算法本身,可以提高算法求解问题的性能。RAG A就是一种改进的遗传算法,其建模过程如下:

(1)优化变量的实数编码:a={a

1

,a2,…,a p}是单位长度的向量;

(2)父代群体的初始化:随机产生单位长度的向量,其中每个分量为a(i,j),i=1,2,…,m;j=1,2,…,p,其中m是群体规模,p是变量的个数;

(3)父代群体的适应度评价:将S(a)D(a)作为适应度函数,适应度函数值越大个体被选择的可能性越大;

(4)父代个体的选择操作:产生第一代子代群体。根据S(a)D(a)从大到小排序,最前面的k个是最优个体,由赌轮选择m-k个个体,与k个最优个

体一起组成第一代子代群体{a

1

(i,j),i=1,…,m, j=1,…,p};

(5)父代个体的交叉操作:从[0,1]之间随机产

生一个数r,若r

c

,就选择a(i,j),重复m次,然后将它们随机配对,采用算术交叉法交叉,产生第二个

子代群{a

2

(i,j),i=1,…,m,j=1,…,p};

(6)父代个体的变异操作:若父代a(i,j)的适应度越小,它被选择的概率也越小,则对该个体进行变

异的概率应越大,取p

m (i)=1-p

s

(i),即:a

3

(i,j)=

u(i),u m

a(i,j),u m≥p m(i)

,其中u m,u(i)都是[0,1]上的均

匀随机数。产生第三个子代群体{a

3

(i,j),i=1,…, m,j=1,…,p};

(7)演化迭代:上述(4)(5)(6)三个步骤产生了3m个子代个体,求它们的适应度函数值S(a)D(a),从大到小取前面的m-k个和最开始的k个组成新一代。算法转入步骤(3),进行下一轮演化过程,如此反复;

(8)利用上面第一、二次演化迭代所产生的前s 个优秀个体,这一子群体所对应的变量变化区间,作为变量新的初始变化区间,RAG A算法转入(1),如此加速循环,优秀个体的变化区间将逐步调整和收缩,与最优点的距离将越来越近,直到最优个体的目标函数值小于某一设定值或算法运行达到预定加速(循环)次数,整个算法的运行结束,并把当前群体中最优个体指定为RAG A的结果。

与标准遗传算法不同的是,RAG A采用了实数编码,可以搜索更大空间,精度更高;在进化迭代时,每次遗传操作所产生的子代都被保存下来,统一进行评价,这样能尽可能地保证个体的多样性,实际搜索范围扩大,能选出更优越的个体解,加速了进化时间,因此算法的寻优能力大大地增强了。

由于传统的加权向量一般满足归一化条件而非单位化条件,因此在得到单位化权重向量后,可以进行归一化处理,这个过程不存在技术上的困难。

最后,根据属性权重向量ω(k)计算决策者d

k

所提供

的各备选方案综合属性值,z(k)

i

(ω(k))=6m j=1r(k)ijω(k)j, i=1,2,…,n。

步骤3:利用投影寻踪分类模型求决策者的权重

向量,并计算各个备选方案的群体综合属性值z

i

, i=1,2,…,n。

λ的求解方法与步骤2类似,z

i

=6t k=1λk z(k)i(ω(k)), i=1,2,…,n。

步骤4:根据群体综合属性值z

i

,i=1,2,…,n从大到小排序,群体综合属性值越大则方案越优,即可得备选方案的优劣排序。

2　实例分析

本文对文献[15]给出的航天装备的评估问题进行实例分析。此评估问题涉及8项评估指标(属性):导弹预警能力、成像侦察能力、通信保障能力、电子侦察能力、卫星测绘能力、导航定位能力、海洋监测能力和气象预报能力。属性权重信息完全未知。现有4

位决策者d

1

,d2,d3,d4,依据上述各项指标对4种航

天设备A

1

,A2,A3,A4进行打分(范围从0～100分),

具体数据结果见文献[15]。由于所有指标均为效益型,量纲一致,为方便起见,本文并不进行决策矩阵规范化。

根据上述模型的计算步骤,本文采用C语言编程来实现实数编码的加速遗传算法,计算出每个决策者关于各属性的权重向量以及相应的综合属性值如下:ω(1)={01047924,01118338,01335803,01049899,

01043836,01174441,01052678,01177081},

z(1)1=86144,z(1)2=73104,z(1)3=86139,

z(1)4=68139;

ω(2)={01015877,01151116,01216581,01126287, 01043458,01204632,01052288,01189762},

z(2)1=80136,z(2)2=69113,z(2)3=80136,

z(2)4=69123;

ω(3)={01231746,01069744,0106276,01226233, 0102476,01037836,01195814,01151107},

z(3)1=66126,z(3)2=81119,z(3)3=88179,

z(3)4=63183;

ω(4)={01250364,0103373,01009796,0121135, 01207237,01024591,01148488,01114443},

z(4)1=73114,z(4)z=85,z(4)3=87105,

z(4)4=72168。

类似地,由模型计算得出各决策者的权重向量为λ={01316781,01208305,01310112,01164802}。

由此计算出4种航天设备A

1

,A2,A3,A4的群体

综合属性值z

1

=76172358,z2=76172397, z3=85198696,z4=67185787。结果中,设备A3的群

体综合属性值远远高于其他三种设备,设备A

1和A

2

的群体综合属性值非常接近,设备A

4

的群体综合属

性值最小。根据综合属性值越大表示该方案越优的

原则,4种航天设备A

1

,A2,A3,A4排序结果为: A39A29A19A4

文献[15]利用基于OWA算子和C WAA算子确

定的A

1

,A2,A3,A4的群体综合属性值为:z1=79117, z2=79187,z3=86134,z4=75168。本文结果与文献[15]中的决策结果完全一致。

基于OWA算子和C WAA算子的多属性群决策方法与基于投影寻踪分类模型的多属性群决策方法都是先对一个决策者所给定的某一个方案所有属性值进行集结,然后再对不同决策者的同一个方案综合属性值进行集结。前者考虑了决策者的自身重要性程度,并对过高或过低的方案综合属性值赋予了较小的权重,然而这些权重值的确定并没有明确的计算方法。某个属性之下的属性值变化幅度越大则该属性对决策所起的作用越大;某个决策者综合属性值对所有方案的差异越大则该决策者的决策对决策所起的作用越大,这个思想是后者权重确定的出发点,模型考虑最佳投影方向(即权重),它是最大可能暴露决策数据特征结构的整体方向,权重的确定根据具体的决策数据由优化问题来解决,是综合评价的客观结果。

通过比较还可以发现,本文计算的综合属性值对于接近的方案更加集中,对于有差异的方案则更加分散,这与投影寻踪分类模型的优化目标是一致的。上述分析表明,本文的方法是可行的,结果是可靠的。3　结语

本文应用投影寻踪分类模型计算属性权重和决策者权重。投影寻踪模型已经被证明是一种实用、稳健的多元分析方法,它对被处理的数据无特别的要求,能排除与数据结构和特征无关的或关系很小的变量的干扰,是处理高维数据的理想工具。从仿真实例分析的结果来看,该模型能充分提取决策数据的信息,无需人为确定属性和决策者的权重,且操作简便易行,在多属性群决策问题的研究中具有推广应用价值。参考文献:

[1]徐泽水.几类多属性决策方法研究[D].东南大学博士学位论

文,2002.

[2]徐泽水.多属性决策的两种方差最大化方法[J].管理工程学

报,2002,15(2):11-14.

[3]Hwang C L,Yoon K.Multi p le A ttribute Decisi on Making and App li2

cati ons[M].Ne w York:Sp ringer-Verlag,1981.

[4]章玲,周德群,李存芳.R2W G A算子的构建及其在群决策分析

中的应用[J].控制与决策,2007,22(12):1352-1356.

[5]马永红,周荣喜,李振光.基于离差最大化的决策者权重的确定

方法[J].北京化工大学学报,2007,34(2):177-180.

[6]阎瑞霞,刘金良,姚炳学.一种群组决策中专家权重确定的方法

与应用[J].统计与决策,2007,23:84-86.

[7]宋光兴,邹平.多属性群决策中决策者权重的确定方法[J].系

统工程,2001,19(4):83-89.

[8]Y AN H,W E I O L.Deter m ining Comp r om ise W eights f or Gr oup

Decisi on Making[J].Journal of the Operati onal Research Society, 2002,53:680-687.

[9]聂静涛,徐枞巍.群体多属性决策方法及其应用[J].南京航空

航天大学学报,2006,38(4):524-528.

[10]金菊良,等.解不确定型决策问题的投影寻踪方法[J].系统工

程理论与实践,2003,4:42-46.

[11]Friedman J H,Tukey j w.A Pr ojecti on Pursuit A lgorithm f or Ex2

p l orat ory Data Analysis[J]1I EEE Transacti on on Computer,Part C,1974,23(9):881-890.

[12]Kruscal J B.L inear Transf or mati on of Multivariate Data t o Reveal

Clustering[A].Multidi m ensi onal Scaling:Theory and App licati on

in the Behavi oral Sciences(I)Theory[C].Ne w York and Lon2 don:Sem inar Press,1972.

[13]Hall P.On Polynom ial-based Pr ojecti on I ndices for Exp l orat ory

Pr ojecti on Pursuit[J]1The Annals of Statistics,1989,17(2):

589-605.

[14]杨晓华,陆桂华,郦建强.混合加速遗传算法在流域模型参数

优化中的应用[J].水科学进展,2002,3:340-344.

[15]徐泽水.不确定多属性决策方法及应用[M].北京:清华大学

出版社,2004.13-15.

(责任编辑:李映果)