解二面角问题三种方法

C A

D A

A 1

B D

C C 1

B 1 解二面角问题

（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。

例1：如图，立体图形V －ABC 的四

个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。

例2：在三棱锥P-ABC 中，

∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余

弦值。

这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：

1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，找出二面角B－AC－B1的平面角并求出它的度数。

2、．边长为a的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD将其折成才600的二面角，则A、C之间的距离为。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）

3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4，过BC的一个平面与AA1交于D，若AD=3，求二面角D―BC―A的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求

的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。

例3：如图，在三棱锥P-ABC中，PA

⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠

ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。

例4：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，AM ⊥SB 于M ，AN ⊥SC 于N,(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是二面角A －SC －B 的平面角.

本题可变形为：如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，A C M N S

∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A－SC－BC的正弦值.

在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。

（3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。

例5：如图在三棱锥S－ABC中，

B C

A l D C α β A l B

C α β E B

D SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D

E 垂直平分SC 且分别交AC 、SC 于D 、E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，求二面角E －BD －C 的度数。

如图，βα??BD AC ,，α与β所成的角为600，l AC ⊥于C ，l BD ⊥于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离。

（二）寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。

例6：如图，△ABC 在平面上的射影为正△AB 1C 1，若BB 1=2

1，CC 1=AB 1=1，求平面ABC 与平面AB 1C 1所成锐角二面角的大小。变式：

1. 如图,在底面是直角梯形的立体图S －ABCD 中，∠ABC A B C B C A B

D S

＝900，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝，求面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角的正切值。

2. 如图，在所给的空间图形中ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD ＝AD 。求平面PAD 和

PBC 所成的二面角的大小。

C A B

D P

3. 如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC ，求平面AB 1C 1与底面ABC 所成的二面角的大小。

解关于二面角问题

二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。在总结时，若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。为此我对这方面进行总结，以供教学和学习参考。

（一）对本内容进行思考时，必须弄清两个概念：

（1）什么是二面角，如何表示而二面角的大小是可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.

（2）什么是二面角的平面角，如何表示这一概念特别重要，要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。，二面角的平面角的定义三个主要特征是：过棱上任意一点；分别在

两个面内作射线；射线垂直于棱。明白这一点对于能够作出或找出二面角

的平面是很关键。在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。

A C D

B A E

C B

V B A C D 如图，0∈a ，OA ?α，OB ?β,OA ⊥a ，OB ⊥a 。

（二）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键，这也是个难点。在从图形中作出二面角的平面角时，要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析，确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形，然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法。至于在求解有关平面角的问题时，这平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这包括正弦和余弦定理的知识，也会用到其它的平面几何知识。

例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。

分析：由图可知，所求的二面角的棱是AB ，两个面是面VAB 和面CAB 。由已知可知这是一个正四面体，各个面是全等的正三

角形，根据二面角的平面角的定义，我们可利用正三角形的性质来找出平面角，取AB 边上的中点D ，连结VD 和CD 。则∠VDC 是所求二面角的平面角。可设正三角形的边长为a ，用解三解形的知识求出VD ＝CD ＝a 23，在△VDC 中，利用余弦定A B C N M P Q

A A 1

B D

C C 1

B 1 理可求得cos ∠VDC=1/3，∴∠VD

C ＝arccos1/3 评注：在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。在求解时利用的是平面几何解三角形的知识。这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。

.例2：在三棱锥P-ABC 中，

∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余

弦值。

分析：所求二面角的棱是PB ，两个面为面PBA 和面PBC 。用二面角的平面角的定义找出平面角，在二面角的棱PB 上任取一点Q ，在半平面PBA 和半平面PBC 上作QM ⊥PB ，QN ⊥PB ，则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。设PM=a,则在Rt ?PQM 和Rt ?PQN 中可求得QM=QN=23

a ；又由?PQN ??PQM 得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得

cos ∠MQN=1/3，即二面角的余弦值为1/3。

这样的类型是不少的，如下列几道

就是利用定义法找出来的：

1、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。

2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为。（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）

3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二B A 1 B 1

C C

D D

面角D ―BC ―A 的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。例3：如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=AB ，AC=BC=1，∠ACB=900，M 是PB 的中点。(1)求证：

BC ⊥PC ，(2)平面MAC 与平面ABC 所成的二面角的正切。

分析：第1小题较简单。第2小题，观察图形中的线面位置关系，已知PA ⊥平面ABC ，M 是PB 的中点，若在△PAB 中取AB 的中点N ，则很快发现MN ⊥平面ABC ，作KN ⊥AC ，连MK ，则由三垂线定理可得MK ⊥AC ，所以∠MKN 为所求的二面角的平面角。而求其正C B M A P N

A C M N S

切值，在Rt△MNK中求出MN和KN，而求MN和KN，只需在△PAB和△ABC中就可求出，从而求出其正切值为2。

评注：本题用定义法较难以实现，但由图可找到二面角一个面的垂线。从而作棱的垂线，由三垂线定理证明是所要找的平面角。关键找到MN这条垂线。

例4：如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.

分析：由图和题意可得BC⊥平面SAB，从而可得证平面SAB⊥平面SBC，而要证

二面角A－SC－B的平面角是∠ANM，从已知条件AM⊥SB于M,由两个平面垂直的性质可得AM⊥平面SBC，又有AN⊥SC，所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC，从而证明了∠ANM是二面角A－SC－BC的平面角.

评注：本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二面角的一个面的垂线，再由三垂线的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的，所以观

察分析图时要注意多运用有关定理去判断。本题可变形为：如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A－SC－BC的正弦值.

解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角，然后利用各个直角三角形求出AN和AM 的长。

总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。

例5：如图在三棱锥S－ABC中，

SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直

平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E A

C S

A l D C α β A l B

C α β E B

D －BD －C 的度数。

分析：由题意和图，可得SC ⊥平面BDE ，则SC ⊥DB ，又SA ⊥平面ABC ，则SA ⊥DB ，从而得BD ⊥平面SAC 。所以BD ⊥DC ，BD ⊥DE ，则∠DEC 是二面角的平面角。要求它的度数，可在Rt △SAC 和△DEC 中求，先求出∠SCA 的度数。设SA ＝a ，在图的直角三角形中求出SB ＝BC ＝2a ，AC ＝3a ，故得到∠SCA ＝300，从而得到∠DEB ＝600。

评注：本题的垂直关系很多，如何利用好这些关系这需解题的目标要明确才能运用好这些关系。从这些垂直关系很容易就判定BD ⊥平面SAC ，而BD 是二面角的的棱，所以平面SAC 是二面角的垂面，由二面角的平面角的定义就找到了∠EDC 是所求二面角的平面角。它的应用例如：如图，βα??BD AC ,，α与β所成的角为600，l AC ⊥于C ，l BD ⊥于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离。由题意要应用二面角的度数，要找出它的平面角，可过C 作CE ∥DB ，且CE ＝DB ，连AE ，则很容易得到l ⊥面ACE ，∠ACE 是二面角的平面角，为了求AB ，连BE ，在△ACE 中由余弦定理求出AE ，在Rt △AEB 中可求出AB 的长。总之要会运用此法，对线线、线面、面面的垂

直关系要有很好的判断能力，才能找到解的思路。（三）寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。

例5：如图，△ABC 在平面上的射影为正△AB 1C 1，若BB 1=2

1，CC 1=AB 1=1，求平面ABC 与平面AB 1C 1所成锐角二面角的大小。分析：所求的二面角只各一个公共点A ，观察图可知二面角的两个面内BC 和B 1C 1共面但不平行，所以若延长它们必交于一点D ，由公理2知，点D 在二面角的棱上。所以连AD 就找到棱。接着是找出二面角的平面角。由图形的性质知，C 1D=2B 1C 1=2，A 1C 1＝1，∠AC 1B ＝600，用正弦定理或余弦定理都可求出∠C 1AD ＝900，再由三垂线定理得∠CAC 1为二面角的平面角，然后在Rt △CAC 1中可求得∠CAC 1＝450。评注：本题是属于第一类的问A B C B C D

A B C B C 1

题。延长两条直线交于一点从而得到棱，再用三垂线法找二面角的平面角。此题可变为：

如图,在底面是直角梯形的立体图S －ABCD 中，∠ABC ＝900，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝，

求面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角的正切值。

由图可知二面角有一个公共点S ，

但在两面中的AB 和CD 共面且不平行，所以延长交于点E 。再由题意证明BC ⊥平面SAB ，SB ⊥SE ，由三垂线定理可知∠BSC 是所求的二面角。在Rt △SBC 中可求得正切值为2

。例6：如图，在所给的空间图形中

ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD ＝AD 。求平面PAD 和PBC 所成的二面角的大小。分析：由图知二面角有一个公共点P ，在两面内的AD 和BC 是共面且平行，所以AD ∥平面PBC ，由直线和平面平行的性质知，过AD 的平面PAD 与平面平面PBC 的交线（即为二面角的棱）与AD 平行，所以过P 作PE ∥AD ，则PE 为二面角的棱。由题意PD ⊥面ABCD ，A B C D S C A B D E P

所以PD ⊥AD ，PD ⊥PE ，又可证得CD ⊥平面PAD ，由三垂线定理可得∠CPD 为所求二面角的平面角。在Rt △CPD 中可求得∠CPD ＝450。评注：本题是属于第二类的问题。二面角有一个共点，在分别两面内的两条直线平行，则平行于棱。找出二面角的棱后，再用三垂线法找二面角的平面角。

例7：如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC ，求平面AB 1C 1与底面ABC 所成的二面角的大小。

分析：此题A 是二面角的一个公共点。又在两面的BC 和B 1C 1平行，故过点A 作AE ∥BC ，则AE 为二面角的棱。如何找平面角是本题的难点。因为各棱长都相等，所以侧面是菱形，底面是正三角形。又侧面BCC 1B 1⊥面ABC ，过C 1作C 1D ⊥BC ，由两平面垂直的性质得C 1D ⊥面ABC ，侧棱与底面成600角，所以∠C 1CD ＝600，由此可得D 为BC 的中点。连AD 得AD ⊥BC ，从而AD ⊥AE ，由三垂线定理得∠C 1AD 为二面角的平面角，在Rt △C 1AD 中可求得∠A C D B A E C

C1AD＝450。

评注：本题除了要找棱外，用三垂线法找平面角时，关键在能分析已知条件的作用，来找垂线，和利用直线和平面所成的角来推算出点D 为BC的中点，从而可用三垂线法找出平面角。

总之，无棱的二面角按两类的方法找出棱，转化为有棱的二面角问题来解。

从上面几个例题的分析和介绍的方法中，可以看出，二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。