数列单元测试题

数列测试题（1）答案

班次 ___ 学号 ____ 姓名___________________

(一) 选择题

1. 若数列 {a n }的通项公式是a n ＝

n

n ＋1

，则数列 {a n } 是( B ) A.递减数列 B.递增数列 C.摆动数殓 D.常数列

2. 数列{－n 2＋11n －30}的最大项是( C ) A.第5项 B.第6项 C.第5项和第6项 D.第4项和第5项.

3. 在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1为( D ) A.5或7 B.3或5 C.7或－1 D.3或－1.

4. 某工厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值( D ) A.1.14a B. 1.15a C.11(1.16－1)a D.11(1.15－1)a .

5. 制造某种产品，计划经过两年后要使成本降低36%，则平均每年应降低成本( D ) A.6% B.9% C.18% D.20%

(二) 填空题

6. 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝1＋

1

a n －1 (n ∈N ，n ≥2)，则a 5＝____8

5_____.

7. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cn ＋d n ，且a 2＝32，a 4＝154，则a 10＝__99

10____.

8. 写出下列数列的一个通项公式：

(1) 3，8，15，24，35，……； (2) 23，－415，635，－863，10

99，…….

(1) a n ＝n (n ＋2) ； (2) a n ＝(－1)n

＋1

2n

(2n )2－1

.

9. 已知等比数列(a n )中，a 3＝1，a 8＝32，则a 12＝___512___.

10. 某种产品平均每三年降低价格的1

4，当前售价为270元，9年前此产品的价格为__640__.

11. 1·2＋2·4＋3·8＋…＋10·210＝__18434_.

12. 已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋2n －1，则前n 项和S n ＝__n 2＋2n ＋

1－2__.

(一) 选择题

13. 三个从小到大的数构成公差为6的等差数列，且它们的和等于它们的积，则此三个数是( D ) A.3－6，3，3＋ 6

B.3－6，3，3＋6或－3－6，－3，－3＋ 6

C.－6，0，6；

D.－6，0，6或3－6，3，3＋6或－3－6，－3，－3＋ 6 14. 已知数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则数列①{}

n a 2；②

{}2

n

a ；③?

??

???21n a ；④{a n a

n ＋1}：⑤

{a n ＋a n ＋1}中，等比数列的个数为( B ).

A.2

B.3

C.4

D.5

提示：②、③、④是等比数列，当q ＝－1时，⑤不是等比数列.

15. 若某等比数列中，前7项的和为48，前14项的和为60，前21项的和为( D ) A.180 B.108 C.75 D.63

16. 某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m 倍，则该厂今年的月平均增长率是( B ) A.11

m ＋1 B. 11

m －1 C.12m －1

D.

13

m －1.

(二) 填空题

17. 数列{a n }中，a 1a 2a 3…a n

＝n 2 (n ∈N ＋

),则

a 2005＝___20052

20042

____.

18. 所在被3整除的两位数的个数是_30___,这些数的和是__1665___

19. 已知数列{a n }，a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N ＋

)，则数列的通项公式是a n ＝_(n －2)(n ＋1)2

__

20. 在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 100＝36，则a 42＋a 59＝____39_____. 21. 已知等比数列(a n )中，a 3＝1，a 8＝32，则a 12＝___512___.

22. 在等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 9－a 10＝___24___. 提示：2a 9＝a 8＋a 10

23. 在2与7之间插入n 个数，使得包括2和7在内的n ＋2个数组成以2为首的等差数列，如果这个等差数列的前16项的和为56，则n ＝_24_.

24. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则d ＝__1_，a 1＝_－20.5_

25. 若等差数列共有2n ＋1(n ∈N ＋

)项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数＝__7___.

提示：S 奇S 偶

＝n ＋1n ＝4433，∴ n ＝3

26. 正项等比数列{a n }中，a 6a 15＋a 9a 12＝30，则log 15(a 1a 2a 3…a 20)＝__10____. 提示：由a 6a 15＝a 9a 12，得a 9a 12＝15 ∴ a 1a 2a 3…a 20＝(a 9a 12)2＝1510

27. 如果将20，50，100各加上同一个数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为__5

3

___.

28. 已知－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2＝__1

2

__.

(三) 解答题

29. 求由通项公式a n ＝－2n 2＋11n ＋8所给定的数列{a n }的最大项

解法1：a n ＝－2n 2＋11n ＋8 ＝－2(n －114)2＋8＋121

8

∵ n ∈N ＋

∴ n ＝3时，a n 取最大值为23

即数列中的最大项是a n ＝23.

解法2：设数列中的最大项是a n ，则

???≥≥+-11n n

n n a a a a

?

??++-≥++--+-≥++-17728115

1528112

222n n n n n n n n ∴ 94≤n ≤13

4

又∵ n ∈N ＋

∴ n ＝3 ∴ 最大的项为a 3＝23.

30. 已知等差数列{a n }满足a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求数列{a n }的通项公式. 解法1：设公差为 d ，首项为a 1，由题设可知， (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－12 ① (a 1＋3d )＋(a 1＋5d )＝－4 ② 联立解①②得：??

?-==1021a d 或???=-=62

1

a d

a n ＝2n －12或a n ＝－2n ＋8.

解法2：∵{a n }是等差数列， ∴ a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4 又∵ a 3·a 7＝－12

∴ a 3和a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两个根 解方程，得：x 1＝2，x 2＝－6

①当a 3＝2，a 7＝－6时，得a 1＝6，d ＝－2 ∴ a n ＝8－2n

②当a 3＝－6，a 7＝2时，得a 1＝－10，d ＝2 ∴ a n ＝2n －12.

31. 设{a n .}为等差数列，S n 为等数列{a n .}的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，设T n ＝为数列?

??

??

?n S n 的前

n 项和，求T n .

解：由已知知S 7≠S 15，∴ 数列{a n .}的公差不为零，于是可知S n 是n 的常数项为零的二次式，设S n ＝A n 2＋B n (A ≠0)，则

???=?+?=?+?75

15157

772

2B A B A 解之，得A ＝12，B ＝－5

2

∴ S n ＝12n 2－52n ∴ S n n ＝12n －5

2，

∴?

??

??

?n S n 是以－2为首项，12为公差的等差数列. ∴ T n ＝n ·(－2)＋n (n －1)2·12＝14n 2－9

4

n .

32. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项的和最大，并求出最大值. 解法1：由题意知17a 1＋17×162·d ＝9a 1＋9×8

2·d

∵ a 1＝25，∴ d ＝－2

∴ S n ＝25n ＋n (n －1)

2

×(－2)＝－n 2＋26n

＝－(n －13)2＋169

∴ 当n ＝13时，S n 取最大值为169. 解法2：同解法1，求出d ＝－2， 由a n ≥0，得n ≤13.5，

故当n ≤错误！未定义书签。13时a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0 ∴ n ＝13时，S n 取最大值为169.

33. 已知数列{a n }为等比数列 (1) 若a 5＝4，a 7＝16，求a 12；

(2) 若a 4－a 2＝24，a 2＋a 3＝6，a n ＝125，求n . 解：(1)由题意，得q 2＝a 7a 5＝16

4＝4 ∴ q ＝±2

当q ＝2时，a 12＝a 7·q 5＝8·25＝256

当q ＝－2时，a 12＝a 7·q 5＝8·(－2)5＝－256. (2) 由题意，得：

???=+=-6)(24)(2

131q q a q q a 解之，得?????==

5

511q a

∴ a n ＝(15

)·5n －1＝5n －

2＝125

解之，得：n ＝5.

34. 若数列(a n )的前n 项和S N ＝2a n ＋1，证明数列{a n }成等比数列，并求出a n . 证明：当n ＝1时，S n ＝2a 1＋1＝2×(－1)＋1＝－1 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)

＝2a n －2a n －1

∴ a n ＝2a n －1 (n ≥2) ∴a n a n －1

＝2 ∴ {a n }是以－1为首项，以2为公比的等比数列

∴ a n ＝(－1)·2n －

1.

35. 已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两数之和为5，求这四个数及公比.

解：设这四个正数为：a ，aq ，aq 2，aq 3，由题设知它们的积a 4q 6＝16，即aq ·aq 2＝4＞0. 又aq ＋aq 2＝5，

∴ aq ，aq 2是方程x 2－5x ＋4＝0的两实根 ∴ x ＝1或x ＝4，即??

?==412

aq aq 或???==1

4

2aq aq ∴ ?????==441q a 或??

??

?==4116q a ∴ 所求四个数为：14，1，4，16或16，4，1，1

4

.

36. 已知等比数列{a n }各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求n .

解：∵ S n ＝80，S 2n ＝6560， ∴ q ≠1，q ＞0.

∴ ?????

??=--=--)

2(65601)1()

1(801)

1(211q

q a q q a n

n

(2)÷(1)，得1＋q n ＝82 ∴ q n ＝81 又q ＞0，∴ q ＞1

∴ a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a n 最大. ∴ a n ＝54＝a 1q n －

1 ∴ a 1q

·q n

＝54 a 1q ＝5481＝2

3

(3) 又将q n ＝81代入(1)得a 1

q －1

＝1 (4)

联立解(3)、(4)得a 1＝2，q ＝3，n ＝4. 37. 某城市2003年底人口为500万，人均居住面积为20平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新住房面积100万平方米，到2008年底，该市人均住房面积是多少(精确到0.01平方米) 解：设2003年底住房面积总数为a 1，相对应地2008年底住房面积总数为a 6，则a 1，a 2，…，a 6成等差数列，且a 1＝20×500万平方米，从而a 6＝a 1＋5d ＝10500万平方米.

另外，2003年底人口为b 1，相对应地，2008年底人口为b 6，则b 1，b 1，…，b 6成等比数列，且b 1

＝300万平方米，从而b 6＝b 1·q 5＝500·1.015.

故，2008年底人均住房面积为

a n

b n ＝10500500×1.012≈10500500×1.051

＝19.98平方米. 38. (1)从1月起，若每月初存入100元，月利率是1.65‰并按单利计算，到第12月底本息和是多少？ (2)若一年定期的年利率为p ，三年期年利率为q (均按单利计算)，如果存一年定期的，一年后取出本息，再一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期比较，还是直接存三年期的合算，请问p ，q 应怎样的关系？

解：(1)第一个月存入银行100元，到期利息应为100×12×1.65‰，到期利息应为100×11×1.65‰，…. ∴ 共得本息和为100×12＋100×(12＋11＋…＋2＋1)×1.65‰＝1212.87元.

(2)设本金为A 元，则直接存三年定期，到期本息和为A(1＋3q )；而一年后取出再转存的，三年后本息和应为A(1＋p )3.

由题意应有：A(1＋3q )＞A(1＋p )3. 解之，得：q ＞(1＋p )3－1

3

.

39. 已知函数f (x )＝3

x 3－2，且数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝f －

1(a n )，求a n . 解：∵ f (x )＝3

x 3－2 ∴ f －

1(x )＝3

x 3＋2 ∴ a n ＋1＝3

a n ＋2 ∴ a 3n ＋1＝a 3n ＋2

∴ a 3n ＋1－a 3n ＝2

∴ 数列{a 3n }是等差数列，首项为8，公差为2. ∴ a 3n ＝8＋(n －1)×2＝2n ＋6 ∴ a n ＝32n ＋6

40. 已知数列{a n }中相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2＋3nx ＋c n ＋94n 2＝0 (n ∈N ＋)的两实根，且a 1＝1，

求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2006的值.

解：由题意，得??

?

??+=?-=+++)

2(,49)1(,32

11n c a a n a a n n n n n

由(1)知a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， (3) (3)－(1)得：a n ＋2－a n ＝－3

∴ 数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…都是公差为－3的等差数列， ∴ a 2n －1＝a 1＋(n －1)·(－3)＝4－3n ， a 2n ＝a 2＋(n －1)·(－3)＝－1－3n .

由(2)得：c 2n －1＝a 2n －1·a 2n －94·(2n －1)2＝－25

4.

c 2n ＝a 2n ·a 2n ＋1－9

4

·(2n )2＝－1.

∴ c 1＋c 2＋…＋c 2006＝1003×(－1－254)＝－29087

4