人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理]-《统计案例》单元复习巩固
人教版高中数学选修2-3
知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习
《统计案例》单元复习巩固
【学习目标】
1. 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.
2. 通过典型案例的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.
3. 通过对实际问题的分析,了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤.
4. 能作出散点图,能求其回归直线方程。
5. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分类变量
有一种变量,这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别,称这种变量为分类变量。
要点诠释:
(1)对分类变量的理解。
这里的“变量”和“值”都应作为广义的“变量”和“值”进行理解。例如:“性别变量”有“男”和“女”两种类别,这里的变量指的是性别,同样这里的“值”指的是“男”和“女”。因此,这里所说的“变量”和“值”取的不一定是具体的数值。
(2)分类变量可以有多种类别。例如:吸烟变量有“吸烟”与“不吸烟”两种类别,而国籍变量则有多种类别。
要点二、2×2列联表
1. 列联表
用表格列出的分类变量的频数表,叫做列联表。
2. 2×2列联表
对于两个事件A,B,列出两个事件在两种状态下的数据,如下表所示:
这样的表格称为2×2列联表。 要点三:卡方统计量公式
为了研究分类变量X 与Y 的关系,经调查得到一张2×2列联表,如下表所示
统计中有一个有用的(读做“卡方”)统计量,它的表达式是:
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++(n a b c d =+++为样本容量)。
要点四、独立性检验
1. 独立性检验
通过2×2列联表,再通过卡方统计量公式计算2
K 的值,利用随机变量2
K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 2. 变量独立性的判断
通过对2
K 统计量分布的研究,已经得到两个临界值:3.841和6.635。当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断:
①如果2K ≤3.841时,认为事件A 与B 是无关的。
②如果2K >3.841时,有95%的把握说事件A 与事件B 有关; ③如果2K >6.635时,有99%的把握说事件A 与事件B 有关; 要点诠释:
(1)独立性检验一般是指通过计算2
K 统计量的大小对两个事件是否有关进行判断;
(2)独立性检验的基本思想类似于反证法。即在H 0:事件A 与B 无关的统计假设下,利用2
K 统计量的大小来决定在多大程度上拒绝原来的统计假设H 0,即拒绝“事件A 与B 无关”,从而认为事件A 与B 有关。独立性检验为假设检验的特例。
(3)利用独立性检验可以考察两个分类变量是否有关,并且能较精确地给出这种判断的把握程度。 3.独立性检验的基本步骤及简单应用
独立性检验的步骤:
要推断“A 与B 是否有关”,可按下面步骤进行: (1)提出统计假设H 0:事件A 与B 无关(相互独立); (2)抽取样本(样本容量不要太小,每个数据都要大于5); (3)列出2×2列联表;
(4)根据2×2列联表,利用公式:22
()()()()()
n ad bc K a c b d a b c d -=++++,计算出2K 的值;
(5)统计推断:当2K >3.841时,有95%的把握说事件A 与B 有关;
当2K >6.635时,有99%的把握说事件A 与B 有关; 当2K >10.828时,有99.9%的把握说事件A 与B 有关; 当2
K ≤3.841时,认为事件A 与B 是无关的.
要点诠释:
① 使用2
K 统计量作2×2列联表的独立性检验时,要求表中的4个数据都要大于5.
② 一定要弄清2
K 的表达式2
2
()()()()()
n ad bc a c b d a b c d χ-=++++中各个量的含义.
③ 独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,
首先假设结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2
K
应该很小,如果由观测数据计算得到的2
K 的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2K 的含义,由实际计算的2
K >6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.当2
K ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.
要点五、变量间的相关关系
1. 变量与变量间的两种关系:
(1) 函数关系:这是一种确定性的关系,即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定.例如圆的面积.S 与半径r 之间的关系S=πr 2
为函数关系.
(2)相关关系:这是一种非确定性关系.当一个变量取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,这两个变量之间的关系叫做相关关系。例如人的身高不能确定体重,但一般来说“身高者,体重也重”,我们说身高与体重这两个变量具有相关关系. 2. 相关关系的分类:
(1)在两个变量中,一个变量是可控制变量,另一个变量是随机变量,如施肥量与水稻产量; (2)两个变量均为随机变量,如某学生的语文成绩与化学成绩. 3. 散点图:
将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图.它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系.这是我们判断的一种依据.
4. 回归分析:
与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点六、线性回归方程:
1.回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线。
2.回归直线方程???y
bx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ,22(,)x y ,……,(,)n n x y ,其回归直线???y
bx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为:
1
2
1
()()
?()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑,??a
y bx =- 其中x 表示数据x i (i=1,2,…,n )的均值,y 表示数据y i (i=1,2,…,n )的均值,xy 表示数据x i y i (i=1,2,…,n )的均值.
a 、
b 的意义是:以a 为基数,x 每增加一个单位,y 相应地平均变化b 个单位.
要点诠释:
①回归系数1
2
1
()()
?()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑,也可以表示为1
2
21
?n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-=-∑∑,这样更便于实际计算。
②12111
()n i n i x x x x x n n ===++
+∑;12111
()n i n i y y y y y n n
===++
+∑。
③(,)x y 称为样本中心点,回归直线???y
a bx =+必经过样本中心点(,)x y 。 ④回归直线方程???y
a bx =+中的?
b 表示x 增加1个单位时?y 的变化量,而?a 表示?y 不随x 的变化而变化的量。
3.求回归直线方程的一般步骤: ①作出散点图
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系,若存在线性相关关系,进行第二步。
②求回归系数?b
、?a
计算121
()n x x x x n
=
+++,121
()n y y y y n
=
+++,
11221
n
i i
n n i x y
x y x y x y ==++
∑,222
2
121
n
i n
i x x x x ==++
+∑, 利用公式1
2
21
?n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-=-∑∑求出?b
, 再由??a
y bx =-求出?a 的值; ③写出回归直线方程;
④利用回归直线方程???y
a bx =+预报在x 取某一个值时y 的估计值。 要点诠释:
一般地,我们可以利用回归直线方程进行预测,但这里所得到的值是预报值,而不是精确值,它带有很大的随机性,可能对于某一次的实际值而言会有很大的出入,这是因为:
(1)回归直线的截距?a
和斜率?b 都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可以导致预测结果的偏差。
(2)即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能保证对应于x 的预报值?y
能够与实际值y 很接近。我们不能保证点(x ,y )落在回归直线上,甚至不能保证它落在回归直线的附近,事实上,
?y x y
βαεε=++=+,这里ε是随机变量,预报值?y 与实际值y 的接近程度由随机变量ε决定。 尽管我们利用回归直线方程所得到的值仅是一个预报值,它具有随机性,但它是我们根据统计规律所得到的结论,因而结论正确的概率很大。故我们可以放心地利用回归直线方程进行预测。 要点七、相关性检验
(1)相关系数r 的定义
对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据11(,)x y ,22(,)x y ,……,(,)n n x y ,
称
()()
n
n
i
i
i i
x x y y x y nx y
r ---=
=
∑∑x 与y 的样本相关系数。
(2)相关系数r 的作用
样本相关系数r 用于衡量两个变量之间是否具有线性相关关系,描述线性相关关系的强弱: ①||1r ≤
||r 越接近1,表明两个变量之间的线性相关程度越强;||r 越接近0,表明两个变量之间的线性相关
程度越弱。
②当r >0时,表明两个变量正相关, 即x 增加,y 随之相应地增加,若x 减少,y 随之相应地减少. 当r <0时,表明两个变量负相关, 即x 增加,y 随之相应地减少;若x 减少,y 随之相应地增加. 若r=0,则称x 与y 不相关。
③当||0.75r >,认为x 与y 之间具有很强的线性相关关系。
④当||r 大于0.05r 时,表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,这时求回归直线方程有必要也有意义,当0.05||r r ≤时,寻找回归直线方程就没有意义。
(3)利用相关系数r 检验的一般步骤: 法一:
①作统计假设:x 与y 不具有线性相关关系。 ②根据样本相关系数计算公式算出r 的值。
③比较||r 与0.75的大小关系,得出统计结论。如果||0.75r >,认为x 与y 之间具有很强的线性相关关系。
法二:
①作统计假设:x 与y 不具有线性相关关系。 ②根据样本相关系数计算公式算出r 的值。
③根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值0.05r (n 未数据的对数)。 ④比较||r 与0.05r ,作统计推断,如果0.05||r r >,表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系。如果0.05||r r ≤,我们没有理由拒绝原来的假设,即不认为x 与y 之间具有线性相关关系。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。
要点八、线性回归分析与非线性回归分析 1.线性回归分析
对于回归分析问题,在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x 与y 是否具有线性相关关系,如果线性相关,才能求解后面的问题.否则求线性回归方程没有实际意义,它不能反映变量x 与y ,之间的变化规律.只有在x 与y 之间具有相关关系时,求线性回归方程才有实际意义. 相关性检验的依据:主要利用检验统计量
n
i i
x y
x y nx y
xy x y
r S S --=
=
∑
(其中化简式容易记也好用)求出检验统计量的样本相关系数,再利用r 的性质确定x 和y 是否具有线性相关关系,r 具有的性质为:|r|≤1且|r|越接近于1,线性相关程度越强;|r|越接近于0,线性相关程度越弱.
2. 线性回归分析的一般步骤
(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; (2)判断两变量是否具有线性相关关系 ①作散点图
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系。 ②求相关系数r
当||0.75r >,认为x 与y 之间具有很强的线性相关关系。
(3)若两变量存在线性相关关系,设所求的线性回归方程为???y
bx a =+,求回归系数?b 、?a 。 (4)写出回归直线方程;
(5)利用回归直线方程???y
a bx =+预报在x 取某一个值时y 的估计值。 3.非线性回归分析
(1)对于非线性回归分析问题,如果给出了经验公式可直接利用换元,使新元与y 具有线性相关关系,进一步求出,,对新元的线性回归方程,换回x 即可得y 对x 的回归曲线方程.
(2)非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时按以下步骤求回归方程:
①画出已知数据的散点图,看是否是线性回归分析问题,如果不是,把它与必修数学中学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,采用适当的变量置换,把非线性回归分析问题化为线性回归分析问题.
②作相关性检验,即判断寻找线性回归方程是否有意义.
③当寻找线性回归方程有意义时,计算系数a ,b ,得到线性回归方程. ④代回x 得y 对x 的回归曲线方程. 【典型例题】
类型一、独立性检验及应用
例1.(2016 张掖校级模拟)某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动,得到所
示联表:
附:2
2
112212211212
()n n n n n K n n n n ++-=++
A .在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B .有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
C .在犯错误的概率不超过10%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D .有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C
【思路点拨】通过图表读取数据,代入观测值公式计算,然后参照临界值表即可得到正确结论。 【解析】由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15。
则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100。
代入2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,
得k 2
的观测值2
100(675300)55457525
k -=???。
因为2.706<3.030<3.841。
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”。
即在犯错误的概率不超过10%的前提下,认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关” 故选C 。
【总结升华】本题是一个独立性检验,我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设,若值较大就拒绝假设,即拒绝两个事件无关。 举一反三: 【变式】(2014春 香坊区校级期中)在一次独立性检验中,有300人按性别和是否色弱分类如下表:
由此表计算得统计量K 2
=( )(参考公式:22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++)
A .2
B .3
C .2.4
D .3.6 【答案】C
2
2
300(1303012020) 2.415015025050
K ??-?==???。
故选C 。
例2.(2015春 遵义校级期末)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了120人,其中女性65人,男性55人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外25人主要的休闲方式是运动;男性中有20人
主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动。2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
其中n=a+b+c+d
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表;
(2)能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系,为什么?
【答案】(1)略(2)99%
【思路点拨】(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可;
(2)计算K的观测值K2,对照题目中的表格,得出统计结论。【解析】(1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表:
(2)假设H:“性别与休闲方式没有关系”,
则K的观测值:
2
2
120(20253540)
7.552
60605565
K
??-?
=≈
???
;
由于7.552>6.635,
∴有99%的把握认为休闲方式与性别是有关的。
举一反三:
【变式】(2015春福建期末)随着移动互联网的深入普及,用手机上的网的人数日益增多,某教育部门成立了调查小组,调查“常上网与高度近视的关系”,对某校高中二年级800名学生进行检验,得到如下2×2列联表:
根据列联表的数据,计算得到K2≈7.524,则()
A.有99.5%的把握认为常上网与高度近视有关
B.有99.5%的把握认为常上网与高度近视无关
C.有99%的把握认为常上网与高度近视有关
D.有99%的把握认为常上网与高度近视无关
【答案】∵根据表中数据,得到X2的观测值K2≈7.524>6.635,
由于P(K2≥36.636)≈0.01,
∴有99%的把握认为常上网与高度近视有关。 故选:C 。
类型二、线性回归方程
例3.(2016 石嘴山校级二模)已知x 、y 取值如表:
画散点图分析可知:y 与x 线性相关,且求得回归方程为1y x =+,则m 的值(精确到0.1)为( ) A .1.5 B .1.6 C .1.7 D .1.8 【答案】C
【思路点拨】将 3.2x =代入回归方程为1y x =+可得 4.2y =,则4m=6.7,即可得出结论。 【解析】将 3.2x =代入回归方程为1y x =+可得 4.2y =,则4m=6.7,解得m=1.675,
即精确到0.1后m 的值为1.7。 故选C 。
【总结升华】线性回归直线一定过样本中心点,即()
,x y 。 举一反三:
【变式】(2016·福建模拟)已知x 与y 之间的一组数据,则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点( )
A .(2,2)
B .(1,2)
C .(1.5,4)
D .(1.5,0) 【答案】C
【解析】回归方程必过点(,)x y ,
∵0123342x +++=
=,1357
44
y +++==,
∴回归方程过点(1.5,4)。
故选:C
类型三、线性相关及回归方程的应用
例4.(2016 河南二模 )下列说法错误的是( )
A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系;
B.在线性回归分析中,相关系数r 的值越大,变量间的相关性越强;
C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度约狭窄,其模型拟合的精度越高;
D.在回归分析中,2
R 为0.98的模型比为2
R 为0.80的模型拟合的效果好。
【答案】B
【思路点拨】A根据相关关系的定义,判断命题A正确;
B线性回归分析的相关关系r的绝对值越接近1,线性相关性越强,判断命题B错误;
C一组数据拟合程度的好坏,是残差点分布的带状区域宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,判断命题C 正确;
R刻画回归效果时,2R的值越大说明模型拟合效果越好,由此判断命题D正确。
D用相关指数2
【解析】对于A,根据相关关系的定义,即可判断自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系,所以命题A正确;
对于B,线性回归分析中,相关系数r的绝对值接近1,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱,所以命题B错误;
对于C,残差图中,对于一组数据拟合程度的好坏评价,是残差点分布的带状区域宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,所以命题C正确;
R刻画回归效果时,2R的值越大说明模型拟合效果越好,所以2R为对于D,回归分析中,用相关指数2
R为0.80的模型拟合效果好,命题D正确。
0.98的模型比2
故选:B
【总结升华】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义,也考查了理解能力和推理能力的应用问题。
举一反三:
【变式1】(2014秋金台区校级期末)对于线性相关系数r,下列说法正确的是()A.|r|∈(-∞,+∞),|r|越大,相关程度越大;反之,相关程度越小
B.|r|≤1,r越大,相关程度越大;反之,相关程度越小
C.|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小
D.以上说法都不正确
【答案】选项A:线性相关系数r在[-1,1]之间,故不正确;
选项B:|r|越大,相关程度越大;反之,相关程度越小;故不正确;
故选C正确;
故选C。
【总结升华】本题考查了线性相关系数,-1≤r≤1,趋近1时线性相关越强,且是正相关,趋近-1时线性相关越强,且是负相关,趋近0时相关程度越小。
【变式2】(2015春重庆期末)在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,且它们的R2的值的大小关系为:R2模型3<R2模型4<R2模型1<R2模型2,则拟合效果最好的是()A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4
【思路点拨】两个变量y与x的回归模型中,它们的相关指数R2,越接近于1,这个模型的似合效果越好,即R2越大,这个模型的拟合效果越好,进而得到答案。
【解析】两个变量y与x的回归模型中,
它们的相关指数R2,越接近于1,这个模型的拟合效果越好,
即R2越大,这个模型的拟合效果越好,
∵R2模型3<R2模型4<R2模型1<R2模型2
故拟合效果最好的是模型2,
故选B
例5.(2015 新课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响。对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中8
1
18i i i w w w ===∑
(Ⅰ)根据散点图判断,y=ax+bx
与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程:
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y -x,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二估
计分别为1
2
1
()()
???,()n
i
i i n
i
i μ
μννβ
α
νβμμ
μ==--==--∑∑ 【答案】(Ⅰ
)y c =+ (Ⅱ)
68 100.6y =+(Ⅲ)(i )576.6千元和66.32千元
(ii
6.8=即x=46.24时,年利润的预报值最大.
【思路点拨】(1)根据散点图得到变量之间的相关关系。
(2)根据公式得到线性回归方程的系数,再转化得到y 与x 之间的回归方程. (3)代入回归方程运算即可
【解析】(Ⅰ
)y c =+y 关于x 的回归方程类型.
(Ⅱ)1
2
1
()()
108.8
681.6
()
n
i
i
i n
i
i w w y y d w w ==--=
=
=-∑∑ 56368 6.8100.6
c y
d w =-=-?-
回归方程为 100.6y =+
(Ⅲ)(i )x=49
时,100.668576.6y =+= 0.20.2576.6
496
z y x =-=?-= 当宣传费为49千元时,年销售量及年利润预报值分别为576.6千元和66.32千元. (ii )
0.2 0.2(100.6 20.12
z y x
x x =-=+-=-+
6.8=即x=46.24时,年利润的预报值最大.
【总结升华】求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大,需要细心、谨慎地计算. 举一反三:
【变式1】(2014 新课标Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:∑∑==∧
---=
n
i i
n
i i i
t t
y y t t
b 1
2
1
)()
)((,
∧a =y -t b ∧
.
【答案】(Ⅰ)由题意,t =71(1+2+3+4+5+6+7)=4,7
1
=y (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∴=
∧
b 94101496.139.025.011.007.01121.4)3(+++++++++)+(-))+(-(-))+(-(-???????-=
28
14
=0.5,
t b y a ∧
∧
∧-==4.3-0.5×4=2.3.
∴y 关于t 的线性回归方程为∧
y =0.5t +2.3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b =0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年
增加0.5千元.
将2015年的年份代号t =9代入∧
y =0.5t +2.3,得:∧
y =0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
【变式2】已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量yt 之间的关系有
(1)求x 与y 之间的相关系数,并检验是否线性相关;
(2)若线性相关,求蔬菜产量y 与使用氮肥量之间的回归直线方程,并估计每单位面积施肥150kg 时,每单位面积蔬菜的年平均产量.
【思路点拨】
(1)使用样本相关系数计算公式来完成;
(2)查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界05.0r 比较,若05.0r r >则线性相关,否则不线性相关. 【答案】
(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
10115==
x ,11.1015
==y ,
1611215
1
2=∑=i i
x
,55.1628151
2
=∑=i i y ,8.1607615
1
=∑=i i i y x .
故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数 864
3.0)
11.101555.1628)(10115161125(11
.10101158.160762
2
≈?-?-??-=
r . 由于n=15,故自由度15-2=13.
由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值514.005.0=r , 则05.0r r >,
从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系.
(2)设所求的回归直线方程为a bx y
+=^
则0937.0101
1516112511
.10101158.1607615152
2
151
215
1≈?-??-=
--=
∑∑==x
x y
x y
x b i i i i
i , 6463.01010937.011.10≈?-=-=x b y a , ∴回归直线方程为)(701.146463.00937.0^
t x y =+=.
高中数学必修和选修知识点归纳总结
高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、常见集合:正整数集合: 或 ,整数集合: ,有理数集合: ,实数集合: . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有 个子集, 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作: . 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作: . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有惟一确定的数 和它对应,那么就称 为集合A到集合B的一个函数,记作: . 2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 那么 上是增函数; 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设
高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 (1)数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系. (2)平面直角坐标系: ①定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系; ②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向; ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y 轴统称为坐标轴; ④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点; ⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一对应关系. (3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P 2.
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ 点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二极坐标系 (1)定义:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向. (3)图示 2.极坐标 (1)极坐标的定义:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ). (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,θ),(θ∈R),若点M的极坐标是M(ρ,θ),则点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ),(k∈Z). 若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一对应关系. 3.极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ). (1)极坐标化直角坐标 =ρcosθ, =ρsinθW. (2)直角坐标化极坐标 2=x2+y2, θ=y x(x≠0). 三简单曲线的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表:
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22 M N M N f x +-- ()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学选修-5知识点(最全版)
高中数学选修4-5知识点 1.不等式的基本性质 1.实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系. (2)设a 、b 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时,a b . (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a -b >0 a = b ?a -b =0a ,<,≥,≤共5个. (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数,它们之间要么相等,要么不相等.现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的,不等是普遍的、绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的. (3)不等式的定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式. (4)不等关系的表示:用不等式或不等式组表示不等关系. 3.不等式的基本性质 (1)对称性:a >b ?b b ,b >c ?a >c ; (3)可加性:a >b ,c ∈R ?a +c >b +c ; (4)加法法则:a >b ,c >d ?a +c >b +d ; (5)可乘性:a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac
最全高中数学知识点总结(最全集)
最全高中数学知识点总结(最全集) 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期: 1.1.1命题 (一)教学目标 1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若p,则q”的形式; 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 (二)教学重点与难点 重点:命题的概念、命题的构成 难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习回顾 初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 2.思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点. (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)若x2=1,则x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 3.讨论、判断 学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。其中(1)(3)(5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假。 教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。 4.抽象、归纳 定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点:能判断真假的陈述句. 在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.
高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)
1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。
高中数学知识点大全
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22M N M N f x +--()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学选修1 2知识点总结
知识点总结 1-2知识点总结选修统计案例第一章
.线性回归方程1 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系?③线性回归方程:(最小二乘法) ay?bx?n??ynxxy??ii?1?i?b?其中,n2??2nxx?i?1?i? bx?a?y??. 注意:线性回归直线经过定点)y(x,n?)?yx)(y(x?ii.相关系数(判定两个变量线性相关性):21i??r nn??22)y?x)?y((x ii1?i1i?负相关; <0时,变量注: ⑴>0时,变量正相关;y,xyx,rr接近,两个变量的线性相关性越强;② ⑵①越接近于1||r||r时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。0于条件概率3.ABAB发生的概对于任何两个事件和发生的条件下,,在已知BAAAPBPB)|, ) 其公式为|(. 率称为发生时发生的条件概率记为(ABP)(=AP)( 4相互独立事件 AB PABPAPB) ,则,如果_((())(1)一般地,对于两个事件=,AB 相互独立.、称 AAAnPAAA PAPA)(…(2)如果_,),…,=相互独立,则有)(…(n2111 22PA). (n----BBAABAAB也相互独立.(3)如果与,与相互独立,则,与,
:5.独立性检验(分类变量关系)列联表(1)2×2为两个变量,每一个变量设BA,变变量都可以取两个值,;?A,A:AA112量;?BB:B,B112通过观察得到右表所示数据: 列联表.×2并将形如此表的表格称为2 (2)独立性检验B,×2列联表中的数据判断两个变量A根据2 列联表的独立性检验.是否独立的问题叫2×2 的计算公式统计量χ 2(3)2bc n ad)-(2=χ
高中数学知识点总结大全
高中数学知识点总结 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 5015392522 ∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ “非”().?
若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210
最新高中数学知识点总结大全
高中数学知识点总结 1 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 3 中元素各表示什么? 4 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 5 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 6 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 7 {}{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 8 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? 9 (答:,,)-??????1013 10 3. 注意下列性质: 11 {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 12 ()若,;2A B A B A A B B ??== 13 (3)德摩根定律: 14 ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 15 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 16 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 17 的取值范围。 18
()(∵,∴ ·∵,∴·,,)335305555015392522∈----≥?∈?? ????M a a M a a a 19 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ 20 “非”().? 21 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 22 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 23 若为真,当且仅当为假?p p 24 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? 25 (互为逆否关系的命题是等价命题。) 26 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 27 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应28 元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? 29 (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 30 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? 31 (定义域、对应法则、值域) 32 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 33 () ()例:函数的定义域是y x x x =--432lg 34 ()()()(答:,,,)022334 35 10. 如何求复合函数的定义域? 36
人教版高中数学选修1-1知识点总结
高中数学选修1-1知识点总结 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、原命题:“若p ,则q ” 逆命题: “若q ,则p ” 否命题:“若p ?,则q ?” 逆否命题:“若q ?,则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 利用集合间的包含关系: 例如:若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式p q ∧;⑵或(or ):命题形式p q ∨; ⑶非(not ):命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ 全称命题p :)(,x p M x ∈?; 全称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“?”表示;
特称命题p :)(,x p M x ∈?; 特称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?; 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于 12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:
高中数学知识点总结精华版
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版
一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;
高中数学知识点总结选修
第一章计数原理 1.1分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。 n元集合A={a1,a2?,a n}的不同子集有2n 个。 1.2排列与组合 1.2.1排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)
个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号表示。 排列数公式: n 个元素的全排列数 规定:0!=1 1.2.2 组合 一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取
出m个元素的一个组合(combination)。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数,用符号或 表示。 组合数公式: ∴ 规定: 组合数的性质: (“构建组合意义”——“殊途同归”) (杨辉三角) *
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理(binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。 (n∈N *) 其中各项的系数 (k ∈{0,1,2,? ,n})叫做二项式系数(binomial coefficient); 式中的叫做二项展开式的通项,用T k+1 表示通项展开式的第k+1项:
高中数学知识点汇总(最新版)
高中数学资料汇总 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)零点式. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 2、函数的图象的对称性 (1)函数的图象关于直线对称 .
(2)函数的图象关于直线对称 . 3、两个函数图象的对称性 (1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. (2)函数与函数的图象关于直线对称. (3)函数和的图象关于直线y=x对称. 4、若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系:. 6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是 ,而函数是的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数,. (2)指数函数,. (3)对数函数,.
(4)幂函数,. (5)余弦函数,正弦函数,,§ 数列 1、数列的同项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 2、等差数列的通项公式;其前n项和公式为 . 3、等比数列的通项公式;其前n项的和公式为 或. 4、等比差数列:的通项公式为 ;其前n项和公式为 . § 三角函数
1、同角三角函数的基本关系式,=,. 2、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 3、和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(辅助角所在象限由点的象限决 定, ). 4、二倍角公式 .
高中数学选修2-2知识点总结(精华版)
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做 ) (x f y =在 x 处的导数,记作 ) (0'x f 或 |'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的 斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =() *n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-?
人教版高中数学选修教案全集
人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ; 在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究:计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
高中数学知识点总结超全
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? (或 )A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?,则A C ? (4)若B A ?且B A ?,则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B (或B ≠ ?A ) B A ?,且 B 中至 少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.
人教版高中数学选修教案全套
§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法:体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程, 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点:体会直角坐标系的作用 2、教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导:自主、合作、探究 四、知识链接 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何研究曲线与方程间的关系? 五、学习过程 一.平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m,试确定
巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s,各观测点均在同一平面上) 问题1: 思考1:问题1:用什么方法描述发生的位置? 思考2:怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题? 问题2:还可以怎样描述点P的位置? B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题的过程,建立直角坐标系应注意什么问题?
小结:选择适当坐标系的一些规则: 如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横 坐标x 缩为原来 1/2,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原来 3倍,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。