高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系教师用书新人教B版必修第一册

1．1.2 集合的基本关系

问题导学

预习教材P9－P13，思考以下问题：

1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？

2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

3．集合相等的概念是什么？

1．子集

(1)概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．

(2)记法：A?B(或B?A)

(3)读法：A包含于B(或“B包含A”)

(4)如果A不是B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．

(5)性质：A?A；??A.

■名师点拨

“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.

2．真子集

(1)概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集．

(2)记法：A B(或B A)

(3)读法：A真包含于B(或“B真包含A”)

(4)性质：对于集合A，B，C，①如果A?B，B?C，则A?C；②如果A B，B C，则A

C.

■名师点拨

在真子集的定义中，A B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.

3．维恩图

如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为维恩图．

■名师点拨

表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．4．集合的相等与子集的关系

(1)一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．

(2) 由集合相等以及子集的定义可知：如果A?B且B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B且B?A．

■名师点拨

若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“∈”“?”的意义是一样的．( )

(2)空集是任何集合的真子集．( )

(3)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．( )

(4)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.( )

(5){1，2，3}＝{3，2，1}．( )

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )

A．M

C．N?M D．M N

答案：D

已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x 是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( ) A．A?B B．C?B

C．D?C D．A?D

解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C?B.

已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，则a＝________．

解析：因为A?B，所以a＋3＝1，即a＝－2.

答案：－2

集合间关系的判断

指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

(2)A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；

(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

(2)用数轴表示区间A，B，如图所示，由图可知A B.

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.

1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )

解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示．

2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.

答案：(1)＝(2)(3)(4)∈

子集、真子集的个数问题

(1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

C．3 D．4

(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )

A．－2 B．4

C．0 D．以上答案都不是

(3)若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )

A．3 B．6

C．7 D．8

【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，

3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．

(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.

(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6.

【答案】(1)B (2)C (3)B

(变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}?C?{1，2，3，4，5}，试写出集合C的所有可能．

解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}；

当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；

当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；

当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}，所以满足条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．

(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤

(2)与子集、真子集个数有关的4个结论

假设集合A中含有n个元素，则有

①A的子集的个数有2n个；

②A的非空子集的个数有2n－1个；

③A的真子集的个数有2n－1个；

④A的非空真子集的个数有2n－2个．

若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．

解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．

答案：5

集合相等

(1)给出以下5组集合：

①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；

②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；

③M＝?，N＝{0}；

④M＝{π}，N＝{3.141 5}；

⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．

其中是相等集合的有( )

A．1组B．2组

C．3组D．4组

(2)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 019＋y2 018＝________．

【解析】(1)对于①，M＝{(－5，3)}中只有一个元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有两个元素－5，3，故M，N不是相等集合；对于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N

中的元素不同，故M ，N 不是相等集合；对于③，M ＝?，N ＝{0}，M 是空集，N 中有一个元素0，故M ，N 不是相等集合；对于④，M ＝{π}，N ＝{3.141 5}，M 和N 中各有一个元素，但元素不相同，故M ，N 不是相等集合；对于⑤，M 和N 都只有两个元素1，2，所以M 和N 是相等集合．故选A.

(2)因为M ＝N ，所以?????x 2

＝1，xy ＝y 或?????x 2

＝y ，xy ＝1.由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得?

????x ＝－1，

y ＝0所以x

2 019

＋y

2 018

＝－1.

【答案】 (1)A (2)－1

(1)两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该先确定这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断．

(2)根据集合相等求系数，应从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程(组)求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性．

设a ，b ∈R ，若集合{1，a ＋b ，a }＝

?

?????

0，b a ，b ，则a －b ＝________．

解析：因为{1，a ＋b ，a }中含有元素0，a ≠0，所以a ＋b ＝0，所以?

??

?

??

0，b

a

，b ＝{0，－1，

b }．由已知{1，a ＋b ，a }＝?

?????

0，b a ，b ，得{1，0，a }＝{0，－1，b }，所以a ＝－1，b ＝1，所

以a －b ＝－2.

答案：－2

由集合间的包含关系求参数

已知区间A＝[－3，4]，B＝(1，m)(m>1)，且B?A，则实数m的取值范围是________．

【解析】由于B?A，结合数轴分析可知，m≤4，

又m>1，所以1

【答案】1

1．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m>1)”改为“B＝(1，m)”，其他条件不变，则实数m 的取值范围又是什么？

解：若m≤1，则B＝?，满足B?A.

若m>1，则由例题解析可知1

综上可知m≤4.

2．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m>1)”改为“B＝(2m－1，m＋1)”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？

解：因为B?A，

(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

(2)当B ≠?时，有????

?－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，

解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.

由集合间的包含关系求参数的方法

(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；

(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．

[注意] (1)不能忽视集合为?的情形．

(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．

已知集合A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}，B ＝

{x |mx ＋1＝0}，B

A ，求m 的值．

解：A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}＝{－3，2}． 因为B

A ，

所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝?. 当B ＝{－3}时， 由m ·(－3)＋1＝0， 得m ＝1

3.

当B ＝{2}时， 由m ·2＋1＝0，

得m ＝－1

2.

当B ＝?时，m ＝0.

综上所述，m ＝13或m ＝－1

2

或m ＝0.

1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的最适合的关系是( )

A ．A ?

B B ．A ?B

C ．A

B D ．A

B

解析：选D.集合A 是能被3整除的整数组成的集合，集合B 是能被6整除的整数组成的集合，所以B

A .

2．满足{a }?M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．15个

解析：选B.依题意a ∈M ，且M

{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素

b ，

c ，

d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝

7(个)．

3．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2

}，若A ＝B ，则实数x 的值为________，y 的值为________． 解析：因为集合A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.

①当x ＝0时，x 2

＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去； ②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1，由①知x ＝0应舍去，故x ＝1. 综上可知，x ＝1，y ＝0. 答案：1 0

4．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ?A ，则a 的值为________．

解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ， 解得a ＝－1或a ＝1

3.

当a ＝－1时，

A ＝{1，3，－1}，

B ＝{1，3}，符合条件．

当a ＝1

3

时，

A ＝?

??

?

??1，3，13，B ＝?

??

?

??1，13，符合条件．

所以a 的值为－1或1

3.

答案：－1或1

3

[A 基础达标]

1．(2019·衡水检测)已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{3，4，5，X }，若B ?A ，则X 可以取的值为( )

A ．1，2，3，4，5，6

B ．1，2，3，4，6

C ．1，2，3，6

D ．1，2，6

解析：选D.由B ?A 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为1，2，6. 2．已知集合A ＝{x |x 2

－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ；②{－3}∈A ；③??A ；④{3，－3}?A . A ．4个 B ．3个 C ．2个

D ．1个

解析：选B.根据题意，集合A ＝{x |x 2

－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子： 对于①3∈A ，3是集合A 的元素，正确；

②{－3}∈A ，{－3}是集合，有{－3}?A ，错误； ③??A ，空集是任何集合的子集，正确；

④{3，－3}?A ，任何集合都是其本身的子集，正确．共有3个正确．

3．已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x |x 2

－3x －a 2

＋2＝0，x ∈R }的子集的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4

D ．不确定

解析：选C.方程x 2

－3x －a 2

＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2

>0， 所以方程有两个不相等的实数根，

所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22

＝4个子集．

4．已知集合M ＝??????x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝?

??x |x ＝k 4＋12，

}k ∈Z ，则(

)

A ．M ＝N

B ．M N

C ．M

N

D ．M 与N 没有相同元素

解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝1

4

(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是

整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M

N .故选C.

5．已知集合P ＝{x |x 2

＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ?P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1

D ．0，1或－1

解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0，符合题意；当Q 不是空集时，由Q ?P ，得a ＝1或a ＝－1.所以a 的值为0，1或－1.

6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．

解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .

答案：M ＝P

7．已知?{x |x 2

＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为?{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2

＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a

≤1

4

. 答案：a ≤1

4

8．设区间A ＝(－1，3]，B ＝(a ，＋∞)，若A B ，则a 的取值范围是________．

解析：区间A ，B 在数轴上表示如图，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确

求解的关键．

答案：a ≤－1

9．判断下列集合间的关系： (1)A ＝{－1，1}，B ＝{x ∈N |x 2

＝1}；

(2)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }； (3)A ＝{x |x －3>2}，B ＝{x |2x －5≥0}；

(4)A ＝{x |x ＝a 2

＋1，a ∈R }，B ＝{x |x ＝a 2

－4a ＋5，a ∈R }． 解：(1)用列举法表示集合B ＝{1}，故B

A .

(2)因为Q 中n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 与P 都表示偶数集，所以P ＝Q . (3)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，

B ＝{x |2x －5≥0}＝?

??

?

??

x ?

??x ≥52，

利用数轴判断A ，B 的关系． 如图所示，A

B .