经典学而思全等三角形全套

第一讲全等三角形的性质及判定

【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．

【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．

【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：

OA OD =．

【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．

【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求

证：FC AD =．

F

E

D

C

B

A

【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：

AC BD ∥．

O

F E D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

D

C

B A F E O D

C B A O

D C B

A

【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．

F E C

B

A

【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=?=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=

E

D

C

B

A

【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．

【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．

P

F

E

D

C

B

A

【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：

BG CF BC +=．

G

A B

C D

E

F

F D

C B

A

【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．

【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．

A B

C

D E

F

【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判

断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知

中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？

G

F

E

D

C

B A

【例14】 如图，ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=?，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB

于E 点．求证：AD DE EB ==．

C

B D

E

A

M E

D

C B A

【例15】 ABC ?中，90B ∠=?，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连

AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．

图3

P D

M N B C A

【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=?，求ABC ∠和AIB ∠的大小．

A

B C

I

【例17】 已知：BD CE 、是ABC ?的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，

求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．

P

D

Q

C

B

E

A

【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：

BF FD ⊥．

⑵ 如右下图，在ABC ?中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．

F E

D

C

B

A M

F

E

D C

B A

18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=?，且1

902

ADB BDC ∠=?-∠．求证：ABC ?是

等腰三角形．

【例19】 如图，ABC ?为边长是1的等边三角形，BDC ?为顶角()BDC ∠是120?的

等腰三角形，以D 为顶点作一个60?角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ?．求AMN ?的周长．

【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．

F

E

D

C B A

【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的

度数及DE 的长.

家庭作业

B A

A

M

N

B C

D

【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．

E

D

C

B

F A

【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线

时，有AD BC AB +=．

【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．

【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．

【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，

DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .

（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.

月测备选

A

B

C

D

E

O

C D B A

F

E D

C

B

A

G

第二讲 全等三角形与中点问题

版块一 倍长中线

【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值

范围是什么？

【补充】已知：ABC ?中，AD 是中线．求证：1

()2

AD AB AC <+．

【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交

于点F ．求证：BCE FDE ??≌．

D

F

E

C

B

A

【例3】 如图，在ABC ?中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：

BDE CDF ??≌．

B

B C F E

D C B A

【例4】 如图，ABC ?中，

【例5】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延

长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

【例6】 如图所示，在ABC ?和A B C '''?中，AD 、A D ''分别是BC 、

B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''??≌．

【例7】 如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF

于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

【例8】 已知AD 为ABC ?的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：

BE CF EF +>．

B

C

F E

D C

B

A

B

F

G

E D

C B A

A

【例9】 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以

线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，

求证GD =GE ．

【例11】 如图所示，在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求

证()2221

4

AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)

G

E

D

C

B

A

F E

D

C

B

A

N M

D C B A

【例10】 在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，

满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

【习题1】 如图，在等腰ABC ?中，AB AC =，D 是BC 的中点，

过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =． 求证：EDB FDC ∠=∠．

【习题2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且

BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？

【习题3】 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

家庭作业

图 6

G E F D B C A F E

D C

B A

D F

E C B A

【备选1】如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．

求证：∠E =∠F

【备选2】如图，ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD

与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．

第三讲 全等三角形与角平分线问题

【例1】 在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．

D C

B

A

【例2】 已知ABC ?中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．

E

D C

B A

【例3】 如图，在ABC ?中，60B ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求

证：FE FD =．

A B C D E

F

F

B

E

D

C

A

【例4】 如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，

且3OD =，求ABC ?的面积．

【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．

【例5】 已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、

CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

O

E

D C

B

A

【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．

E D

C B A

4

32

1

【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．

A

D O

C

B

A B C

D E O

P

D

B

O

C

A

【例8】 如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求

证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1

()2

AE AB AD =+，则

ABC ADC ∠+∠等于多少？

E

D

C

B

A

【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则

EF =__________．

F

E

D

C

B

A

【补充】在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．

求证：AB AC PB PC ->-． C

D B P

A

【例11】 如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D

C B A

【例12】 如图，ABC ?中，AB AC =，108A ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．

A

B C

D

【巩固】已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．

【例13】 如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．

M

D C

B

A

【例14】 如图，ABC ?中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE

⊥

C

B

于E ．求证：AD AE =．

H

G D A

B C E

【例15】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．

① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

E

D

C

B A

【习题2】如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．

D

C B A

【习题3】AD 是ABC ?的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．

家庭作业

D

E

C

F

B

A

【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE=EAB ∠∠，ABE=EBC ∠∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．

【习题5】ABC ?中，D 为BC 中点，

DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．

E

G

F D

C B

A

【备选1】在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．

C

D B A

月测备选

【备选2】如图，已知在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

21E

C

B

A

【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B

∠的平分线时，有AD BC AB +=．

E

B

C

D

A

第四讲 全等三角形与旋转问题

【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．（1）求证：AN BM =．

（2）求证：CD=CE

A

(3) 求证：CF 平分∠MCN

（4） 求证：DE ∥AB

【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．

G F

E

D

C

B

A

A

C

B

A C

B

【例3】 如图，等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =．

D

E

C

B

A

【例4】 如图，D 是等边ABC ?内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

P

D

C B

A

【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =?∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF

+为定值．

O

B E

C

F A

【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．

5

432

1

O

H

B

E D

K

G C

F A

【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且

EA AF ⊥． 求证：DE BF =．

F

E

D C

B

A

【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=?，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD

的面积是16，求DP 的长．

P

D

C

B

A

【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =?∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求

证：AH AB =．

【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．

⑴求证：AF DF BE =+．

⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ?与ABE ?的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．

C H

F

E D B A