统计学基本知识

第一章统计学基本知识

第一节统计的基本概念

统汁技术是以概率理论为基础的应用数学的一个分支。统计技术是研究随机现象中确定的统计规律的学科。产品质量特性是一种随机现象，但这种随机现象在一定的范围内服从确定的统计规律——概率分布，其中最常见的是正态分布。按照实用型定义，统计技术是指与应用有关的统计方法，收集、整理、分析和解释统计数据，并对其所反映的问题的性质；程度和原因做出一定结论的科学技术。统计技术包括统汁推断和统计控制两大内容。统计推断是指通过对样本数据的统计计算和分析，提供表示事物特征的数据，比较两个事物之间的差异，分析影响事物变化的原因，找出产品形成全过程中质量变化的规律，对总体质量水平进行推断，预测尚未发生的事件；统计控制是指通过对样本数据的统计计算和分析，采取措施消除过程中的异常冈素，以保证产品质量特性的分布基本保持在设定值附近，使生产过程达到稳定受控状态。

应用统计方法要掌握分布的理论，要符合大数定律，即只有对大量数据取得的统计平均值才具有稳定性和代表性，才能得出比较准确的统汁结论。因此，只有掌握基本的统计理论知识，才能较好地应用统汁方法，发挥统计技术在质量控制中的作用。

一、统计数据

数据是统计的对象。习惯上把由数字组成的数字数据称为数据。

1．数字数据

数字数据指由数字(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)和小数点组成的数据。数字数据是对可定量描述的特性的表达。可以通过抽样、测量、记录获得数字数据。任何数字数据又都可以形成(服从)一定的分布(统计规律)。

2．数据的分类

(1)计量值数据。计量值数据是指可以连续取值，在有限的区间内可以无限取值的数据。长度、面积、体积、质量、密度、电压、电流、强度等，大部分质量特性的数值都属于计量值数据。

(2)计数值数据。计数值数据是只能间断取值，在有限的区间内只能取有限数值的数据。如到会的人数，今天生产的产品件数，产品表面的缺陷数等。所以计数值数据，是以正整数(自然数)的方式表现。计数值数据又分为计件值数据和计点值数据。

二、统计技术、统计方法和统计工具

统计技术中常使用三个名词：统计技术、统计方法和统计工具。这三种提法有其共性，即均是研究随机现象中确定的数字规律，但也有其各自的特点。

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．统计技术

统计技术是一个大的概念，是就整个学科而言，指的是一门技术的总概括。

2．统计方法

统计方法是指统计技术中的具体方法。如控制图，直方图，散布图等各是统计技术中的一种方法。原则上应称控制图、直方图、散布图等为统计方法。

3．统计工具

统计工具指简化的统计方法。统计工具的开发是日本质量管理专家对质量管理工作的重要贡献。统计技术的理论基础是概率论，但对这一理论，初级技术人员难以掌握，因此妨碍了统计技术的推广应用。为此，针对

基层工人和初级技术人员的特点，20世纪60年代日本质量管理专家开发了因果图、排列图、调查表、直方图、散布图、控制图和分层法，称为质量管理七种工具。随着质量管理的不断深化，20世纪70年代日本质量管理专家又开发出系统图、关联图、矩阵图、矢线图、KJ法、PDPC法和矩阵数据解析法，称之为质量管理新七种工具。所谓工具，指不讲统计方法的原理和设计，也不讲对统计结果的分析，只讲操作步骤。

第二节总体和样本

一、总体

研究或统计分析的对象的全体元素组成的集合称为总体或母体。总体具有完整性的内涵，是由某一相同性质的许多个别单位(元素或个体)组成的集合体。当总体内所含个体个数有限时，称为有限总体；当总体内所含个体个数无限时，称为无限总体。在统计工作中，可以根据产品的质量管理规程或实际工作需要，选定总体的范围，如每个月的出厂水泥，某一批进厂煤或原材料，都可视为一个总体。

总体分布的特征值是指总体中单值x的分布特征值即分布中心u及单值x的分散程度即标准偏差O。标准偏差O的计算公式，如：

总体的性质取决于其中各个个体的性质，要了解总体的性质，理论上必须对全部个体的性质进行测定，但在实际中往往是不可能的。一是在多数情况下总体中的个体数目特别多，可以说接近于无穷多，例如出厂水泥，即使按袋计数，也不可能对所有的袋进行测定；二是由无限个体组成的总体，例如对一种新分析方法的评价分析，每次测定结果即为一个个体，可以一直测定下去永无终止；三是有些产品质量的检测是破坏性的，不允许对其全部总体都进行检测。基于总体的这种种情况，在实际工作中只能从总体中抽取一定数量的、有代表性的个体组成样本，通过对样本的测量求出其分布中心和标准偏差，借助于数理统计手段，对总体的分布中心u和标准偏差，进行推断，从而掌握总体的性质。

第二章试验误差与数据处理

第一节误差及其表示方法

一、误差与偏差

通常一个物理量的真值是不知道的，需要采用适当的方法测定它。检测值并不是被检测对象的真值，只是真值的近似结果。真值虽然通常是不知道的，但是可以通过恰当的方法估计检测值与真值相差的程度。通常将检测值与真值之间的差异称为检测值的观测误差，简称为误差。

误差(Error)和偏差(Deviation)是两个不同的概念。偏差是测量值相对于平均值的差异(绝对偏差，标准偏差等)，或两个测量值彼此之间的差异(极差等)；而误差是测量值与真值之间的差异。由于实际中真值往往是不知道的，习惯亡常将平均值作为真值看待，因此人们常将误差与偏差两个不同的概念相混淆。在把平均值当作真值时，实际上是包含了一个假设条件，即在测量过程中不存在系统误差。如果实际情况并非如此，即在测量过程中存在较大系统误差时，其算术平均值不能代表真值，因此，在数理统计和测量过程中，要注意误差和偏差这两个概念之间的区别。

二、误差类型与产生误差的原因

通常把误差分为系统误差和偶然误差两种类型。

在化学分析的操作过程中，由于上作上的粗枝大叶或某种意外事故所造成的差错属于“过失误差”或称“粗大误差”，不包括在此处所讨论的范围之内，而是在第二节可疑数据的取舍中进行判断。

1．系统误差

在—定试验条什下，系统误差是一种有规律的、重复出现的误差。在每次测定中，此种误差总是偏向某—

个方向，其大小几乎是一个恒定的数值，所以系统误差也叫做恒定误差。在化学分析中产生这种误差的主要原因，大体有如下几个方面：

(1)由于分析方法本身所造成的系统误差。例如，用氯化铵重量法测定普通水泥熟料中的二氧化硅时，由于沉淀中吸附了铁、铝、钛等杂质和混有不溶物而使测定结果偏高，并且随试样中不溶物含量的增加，偏高的幅度亦随之相应增大。特别是立窑水泥熟料中不溶物的含量一般都较高，如采用通常酸溶样的方法，将给测定结果造成可观的正误差。另一方面，用氟硅酸钾容量法测定二氧化硅时，当样品中不溶物的含量高时，用酸溶解试样会使测定结果产生较大的负误差。此外，在各类配位滴定法中，溶液pH值、温度、指示剂等的选择若不恰当，都将使测定产生—定的系统误差。

(2)由于使用的仪器不合乎规格而引起的系统误差。例如，一些要求准确刻度的量器，如

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度的需要，或砝码的质量不够准确等，都会给分析结果带来一定的正的或负的系统误差。

(3)由于试剂或蒸馏水中含有杂质所引起的系统误差。例如，用以标定EDTA标准滴定溶液浓度的基准试剂的纯度不够或未烘去吸附水，使所标定的标准滴定溶液浓度值偏高，以致引起分析结果的系统偏高；在蒸馏水中含有某些杂质，也常常使测定结果产生一定的系统误差。

(4)由于分析人员个人的习惯与偏向所引起的系统误差。例如，读取滴定管的读数时习惯于偏高或偏低；判断滴定终点时有的习惯于颜色深一些，有的习惯于颜色浅一些等等。

在实际工作中，应根据具体的操作条件进行具体的分析，以便找出产生系统误差的根本原因，并采取相应的措施避免或减小系统误差。

2．偶然误差(随机误差)

偶然误差是在试验过程中由一些不定的、偶然的外因所引起的误差。它与系统误差不同，反映在几次同样的测定结果中，误差的数值有时大、有时小，有时正、有时负。

如果测定的次数不是太多，看上去这种不定的可大可小、可正可负的误差，好像没有什么规律性。但当我们在同样条件下，对同一个样品中的某一组分进行足够多次的测定时，就不难看出偶然误差的出现具有如下规律：

(1)正误差和负误差出现的几率大体相同，也就是产生同样大小的正误差和负误差的几率大体相等；

(2)较小误差出现的几率大，较大误差出现的几率小；

(3)很大的误差出现的几率极小。

经过长期的科学试验和理论分析，证明上述偶然误差的规律性完全服从统计规律。因此，就可用数理统计方法来处理偶然误差的问题。

三、误差的表示方法

1．真误差正

真误差为测量值与真值之差。

由于真值一般难以求得，故可以认为误差在理论上是存在的，常在数理统计推导中使用。

2．残余误差d

残余误差又称残差、剩余误差。某一测量值与用有限次测量得出的算术平均值之差称为残差：

第三章统计方法在水泥生产

质量控制中的应用

本章先介绍水泥生产过程质量控制指标合格率的计算方法，然后从数理统计方法的角度，进一步介绍产品合格率与检测数据分散度(正态分布中的标准偏差)之间的关系，由此推断水泥生产过程是否稳定，为从根本上提高产品质量提供科学的依据。

第一节水泥生产过程质量控制指标合格率的计算

按照《水泥企业质量管理规程》(以下简称《规程》)的要求，水泥企业必须在生产过程中对原、燃材料、半成品及出厂水泥的质量定期进行检测，对照各处规定的控制指标，计算该统计期某项质量指标的合格率。如合格率达不到要求，应立即查找原因，排除异常因素，确保达到规定的合格率。计算某一统计期(年、月、日)，某项指标(如出磨生料氧化钙或碳酸钙滴定值、三氧化二铁、含煤量、细度，出磨水泥三氧化硫、细度、安定性、混合材掺加量等)合格率的公式如下：

一、水泥生料质量合格率的计算

[例3—1]《规程》规定：出磨生料氧化钙的质量控制指标为K+-0．3％(K为水泥企业配料方案确定的控制指标)，合格率要求不小于60％。某水泥企业出磨生料氧化钙控制指标确定为K=39．00％。某月1号生料磨机共取样检测出磨生料氧化钙含量720次，其中有500次氧化钙含量在39．00％±0．3％之间。计算该月1号生料磨机出磨生料氧化钙合格率。

符合《规程》的要求。

注意，计算月过程质量控制指标合格率时，不能将当月每天的合格率相加和，然后除以开机天数，以商值

做为月合格率，因为当月各天的检验次数未必完全相同。某一天因故停机若干小时，其检验次数比正常值少，如把这一天的合格率作为完整的1天，则不能反映当月合格率的实际情况。

与月合格率的计算方法相同，计算年度过程质量控制指标合格率时，也是将全年合格数总和做为分子，除以全年检验总数。

如有多台磨机，应先分别计算某一统计期的合格率，然后按各磨机检验次数占所有磨机检验数之和的权数，加权计算其综合合格率。

I例3—2]某厂某月1号生料磨共检测出磨生料氧化钙含量720次，合格次数为540次；

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号生料磨检测480次，合格次数为341次。计算该月两台生料磨出磨生料氧化钙的综合合格率。

解：1号磨月合格率为：

2号磨月合格率为：

更简单的方法是将各台磨的检测次数相加作为分母，各台磨检测合格数相加作为分子，按下式计算综合合格率：

二、水泥熟料质量指标的计算

1．熟料三率值合格率的计算

熟料三率值KH、n、P值是根据各窑检测的熟料化学成分来计算的。窑型、规格相同，产量接近的可合并计算。其单窑月合格率的计算公式如下：

统计全月合格个数时，其依据是本厂化验室所确定的控制指标(可用K表示)及其波动范围，且波动范围必须符合《规程》的要求：KH值为K±0．02，”、户值为K±0．10。如果确定的控制指标发生变动，则应分段计算。例如硅酸率n在某段时间控制指标及波动范围为2．0±0．10，另一段时间改为2．1+-0．10，统计合格个数时应根据控制指标的变动分别计算n值的合格率。

2．熟料实际强度等级的计算

(1)单窑熟料某龄期强度对应的实际平均等级的计算。

熟料某龄期强度一般处于某两个等级的指标之间。计算其所对应的强度等级时，采用在两个等级指标之间内插的方法。其计算公式如下：

过程控制中的统计技术

按照IS09000：2000标准的定义，所谓“过程”，即为使用资源将输入转化为输出的活动的系统。对这一转化过程必须实施必要的控制手段，以保证过程的增值，即要求输出的价值一定要大于输入的价值。此时的过程称为有效过程。为实现过程的有效性，必须把产品的质量从事后检验改为事先预测。这就要求及时了解和控制生产过程，尽量少出或不出不合格产品，把不合格产品的件数控制在许可范围内。为此，需要解决两个方面的问题：一是如何保证产品在生产过程中的每一道工序的加工质量；二是如何保证使每道工序的加工质量保持稳定，并且一旦出现异常现象，能及时发现，查明原因，采取针对性的措施，使生产迅速恢复正常。前者需要对过程能力进行分析和调整，后者则通过控制图对生产过程进行控制。

第一节质量波动的原因

产品质量产生波动的原因很多，通常可以归纳为以下五个方面：

(1)人(Man)：生产操作者对质量的认识、技术熟练程度和身体状况等。

(2)机器(Machine)：机器设备、工具精度和维修保养情况等。

(3)材料(Material)：材料的成分、物理性能和化学性能等。

(4)方法(Method)：加工工艺、操作规程和测量方法等。

(5)环境(Enviroment)：工作场地的温度、湿度、照明和清洁条件等。

从工序质量控制的角度来看，这五个方面的原因又可分为两类：正常原因和异常原因。

正常原因又称偶然性原因，类似于第二章所述及的偶然误差，足一种在生产过程中大量存在，并且对产品质量经常起作用的影响因素，它们对产品质量特性值的影响比较小，并使产品质量特性值的波动呈典型分布。

异常原因又称系统性原因，这种原因是在非正常情况下产生的，类似于第二章所述及的系统误差，是一种对产品质量不经常起作用的影响因素，使产品质量发生显著的变化，使生产过程出现不正常状态，表现为周期性或倾向性的有规律性变化。

在牛产过程中，区分由正常原因和异常原因造成的两种不同的产品质量波动，单靠经验分析，往往缺乏可靠的科学依据。用数理统计的方法，可以及时、准确地加以分析判断。根据数理统计的知识，如果产品质量的波动是巾正常原因造成的，则产品质量的特性值的分布呈典型分布，例如在正常生产条件下，水泥熟料的抗压强度服从正态分布等。如果产品质量特性值偏离典型分布很远，而又不属于个别情况，则可判断在产品质量波动中有异常原因存在，应立即采取措施加以消除。

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工序能力、指数与分析

一、工序能力

过程(或工序)能力，是指在过程的对象、手段、方法、场所、时间等资源要素已经充分标准化(即受控)的条件下，实现过程目标的能力。

过程的目标，是指完成一个过程所预定达到的目标。任何一个过程均应在开始之前确定应实现的目标。

过程的对象，是指过程所针对的实体。如：材料、半成品、成品、工作项目或工程项目等。

过程的手段，是指参与过程的硬件。如：机器、设施、仪器仪表、工模夹具、安全装置，也包括人和工作条件、环境条件等。

过程的方法，是指实现过程所采用的具体方法。包括工作方法(操作方法)、控制方法和验证方法等。

过程的场所，是指实现过程的所在地点，也包括管理场所等所应具备的条件。

过程的时间，是指完成过程所需要的具体时间以及预定的完成日期。

所谓处于标准化条件下的过程(或工序)是指：

(1)原材料或上一道工序半成品按照标准要求供应；

(2)本工序按作业标准实施，且影响工序质量的主要因素无异常情况；

(3)工序完成后，产品的检查按标准进行。

工序能力的测定必须在工序符合上述三条，即工序实施过程均应标准化的前提下进行，否则测得的工序能力是没有任何意义的。

在定量描述过程能力时，以过程实际的质量特性值的分散程度即标准偏差。的六倍来表示，即：

B=6o(4—1)

在正常生产的条件下，每道工序的实际加工能力是以该工序所加工产品的质量特性值的分散程度来衡量的。如果产品质量特性值的分散程度小，则工序能力高；如果产品质量特性值的分散程度大，则工序能力低。根据数理统计的知识，在正常生产的条件下，产品质量特性值的分布服从正态分布N(u.o^2)。为了将工序能力定量化，用3d原则衡量产品质量特性值的分散程度。按照3o原则，当生产处于正常状态时，在区间(u-3o,u+3o)内的产品应占全部产品的99．73％，因此，取这个区间的长度6，衡量产品质量特性值的分散程度，也即用6d衡量工序能力的大小比较适宜。当然，区间长度还可以取得更长一些，如8o，但从6o到8o，分散范围虽然增加了2o，而在8o范围内所包括的产品只增加约99．9996—99．73％二0．26％，从经济效果看是不合适的，因此一般取6，。

公式中的标准偏差，为总体分布参数，而计算时需用样本的分布参数标准偏差5进行估计，这种估计必须当过程处于稳定状态时才有效。对于尚未推行统计过程控制的企业而言，本来是不具备条件汁算过程能力(以及其后的过程能力指数Co)的，如果用户迫切需要，可暂时选择过程较为平稳的某一阶段的数据进行汁算，作为临时性的措施。最根本的做法还是尽早创造条件实施统计过程控制。

第五章质量管理统计工具

统计工具指简化的统计方法。统计工具的开发是日本质量管理专家对质量管理工作做出的重要贡献。统汁技术的理论基础是概率论，数学运算较多，一时难以掌握世纪60年代日本质量管理专家开发了质量管理七种统计工具，包括因果图、排列图、调查表、直方图、散布图、控制图和分层法。20世纪70年代，他们又开发出质量管理新七种统计工具；包括系统图、关联图、矩阵图、矢线图、KJ法、PDPC法和矩阵数据解析法。这些

统计工具没有系统地涉及较深奥的概率论的原理，主要涉及应用步骤，通过对统计结果的直观分析，对生产过程的质量情况做出判断，为改进产品的质量提供依据。

十四种统计工具中，有的属于统计型方法，如直方图、排列图、散布图、控制图等。应用这些统计工具时，需要收集大量的可以定量描述的数字数据，通过一定的数学公式进行统计计算，根据数据分布的特征值判断产品质量的波动情况。除统计型方法外，其余的统计工具多属于情理型方法，如因果图、系统图、关联图、PDPC 法、KJ法等。应用这些统计工具时，需要通过广泛深入的调查研究，收集大量的定性描述的非数字数据，进行资料处理，经过分层、分类、归纳、整理，得到有条理的思路，作为决策过程的依据。情理型统计工具的应用与人的思维能力、业务素质等因素有很大的关系，应用人需要有一定的奉献精神和灵活的思维能力，所以应用好情理型统计工具并非如一些人想象的那么容易。本章重点介绍属于统计型方法的若干种统计工具，如调查表、排列图、分层法、散布图等。对于属于情理型方法的统计工具，做一简要介绍。

第一节调查表

调查表是一种简便易行的整理和分析数据的方法，在水泥生产过程中可以广泛应用；

按使用的目的不同，生产企业常用的调查表有以下几种：工序分布调查表，不良项目调查表，缺陷位置调查表，不良要因调查表，其他调查表。现仅就水泥生产企业使用的工序分布调查表作一介绍。

工序分布调查表适用于粗略了解整个工序指标的大致分布情况及其与标准要求的关系，并不像作直方图那样，要比较具体的详尽的数量分析，但调查表也有一定的量的概念，因此是一种既简便又实用的工序分析工具。

调查表的具体做法是：

(1)填写调查表的表头。

(2)收集数据：一般应在100个以上，以便看出分布的大致形态，进行分析推断。

(3)找出数据的最大值和最小值，算出极差：及：R=xmax-xmin。

(4)均匀地在坐标纸的横坐标上标出从xmax到xmin的每一个数据町能占用的方格；

(5)在纵坐标上标出数据山现的频数(次数)。把每个数据用符号标在其对应的方格中。

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在图上标出允许波动范围。

(7)针对工序分布形状并对照允许波动范围进行分析判断。

[例5—1]某水泥厂某月若干天出磨生料氧化钙含量(％)如表5—1所示(已按从小到大顺序排列)。做调查表，并予以分析。

第六章假设检验

假设检验属于统计推断的范畴。生产过程中如果改变了影响产品质量的某个非随机因素，例如改变原材料的品种或性能，采用新型设备或新技术、新工艺生产原来的产品，考察能否显著提高产品质量，这一类问题属于参数假设检验。假设检验在技术革新和质量管理过程中是一种十分有用的统计工具。

所谓假设检验是指在总体上做出某项假设，从总体中随机地抽取一个样本，用它来检验此项假设是否成立。对总体的假设可以分为两类，一是总体的分布类型已知，对总体分布中的特征参数(分布中心u和标准偏差。)做某项假设，用总体中的样本检验此项假设是否成立，这类检验称为参数假设检验；一类是总体的分布类型未知，对总体分布类型做某种假设(例如是否是正态分布)，用总体中的样本检验此项假设是否成立，这类检验称为分布类型假设检验。

第一节假设检验的基本原理和具体步骤

一、统计推断过程

下面通过实例，说明假设检验的基本原理和具体步骤。

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果，而样本具有随机性，所以仍有可能拒绝原来提出的正确的假设，出现错误的判断。如果希望把这种错误判断的概率a(o

内时，则认为原来提出的假设是正确的，应予以接受，并称上述区间为均值u的接受域。

内时，则认为原来提出的假设是错误的，应予以拒绝，并称上述区间为均值u的拒绝域。

接受域和拒绝域的位置如图6—1所示。

二、假设检验的依据

第七章方差分析与试验设计

方差分析与试验设计所要解决的问题是明确生产和科学试验中哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没有显著作用。要解决这一问题需从两方面人手：一是合理地设计试验方案，使试验结果能反映生产和科学试

验的实际情况；二是对试验数据进行统计分析，确定对试验结果有显著作用的因素。前者属于试验设计的内容，后者属于方差分析的内容。

第一节方差分析

方差分析是一种检验多因素多水平的均值是否相等的统计方法。其基本原理是将生产和科学试验中随机测量得到的数据的离差平方和s：分解为组内(室内)离差平方和sz和组间(室间)离差平方和SA。等。认为组内(室内)离差平方和s。反映随机误差(偶然误差)的大小，组间(室间)离差平方和sA反映随机误差与系统误差之和的大小。在给定的显著性水平a下，对二者的均方进行F检验。若二者相差不大，表明该因素对试验结果的影响不显著，即系统误差可忽略不计；若二者相差较大，超过F检验临界值，则表明该因素对试验结果影响显著，有明显的系统误差存在。

一、单因素方差分析

单因素方差分析仅对某一因素的不同水平对试验结果有无显著影响进行检验。其方法步骤如下：

[例7—1]三个建材产品检测机构的化验室对某一水泥样品中三氧化二铁的含量(％)各自独立地进行了4次测定，其结果列于表7—1中。通过方差检验确定不同化验室的测定结

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第八章回归分析

在实际中，经常遇到一些互相联系的量。这些量之间有些是确定性关系，例如匀速直线运动定律：s=vt，只要知道运动速度v和运动时间t，则运动距离s就是唯一确定的。有些是非确定关系，不能由一个量的值通过某个函数式计算，得到另一个量的确定值。例如水泥的早期抗压强度R早和28天抗压强度只R28之间的关系。一般说来，R早较高时，R28也较高；R早较低时，R28也较低，但R早相同的水泥所对应的R28并不一定相同。通过在试验中获得的大量数据，可以找出能反映它们关系的经验公式。解决生产和科研中的问题。在数理统计中，把处理这类非确定性关系的问题称为回归分析。

在质量管理中，回归分析是研究质量特性变化与潜在原因之间关系的统计方法，可用于检验生产能力、产量、质量特性以及预测试验结果。在水泥生产质量控制中，很多质量问题中二变量、三变量之间，例如水泥生料KH值和碳酸钙滴定值、水泥熟料强度和熟料删值、水泥28天抗压强度和水泥细度和混合材掺加量、水泥28天抗压强度和1天或3天抗压强度等之间，存在着较好的线性关系。在生产工艺较稳定的情况下，根据足够多的试验数据，通过回归分析建立起回归方程，可以通过控制某一个因素而实现对另一因素的控制。

第一节一元线性回归方程的建立

一元回归分析研究两个变量x和y之间的关系。x是自变量，其值可以控制或精确测量。y是因变量，一般是考核指标，其值随自变量x的取值不同而变化。如果这两个变量之间的关系呈线性关系，则研究它们之间关系的问题称为一元线性回归分析。

现以下面的实例说明建立x与y之间线性回归方程的方法。

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以R早作为自变量x，R28作为因变量y，将每对试验数据(xi、yi)(i=1、2、……20)描绘在坐标系中，这些点(称试验点)组成的图称为散点图，如图8—1所示。观察散点图中散点分布的趋势可以看出，它们大致都

落在一条直线附近，因此可认为，变量x和y之间具有线性关系。

二、利用最小二乘法建立回归方程

设进行了n次试验，取得了自变量x和因变量y之间的n对数据：(x1、y1)，(x2、y2)，……，(xn、yn)。经过散点图判别，初步确认变量x和y之间具有线性关系，于是这n对数据应满足下列关系式：

下面的问题是如何合理选择两个数6。和&：，用一种确定的线性函数式

y=b0+b1x1(8—2)近似表示变量x和y之间的关系。

式(8—2)称为变量y对c的线性回归方程式，其图形称为回归直线，其中的bo和b1称为回归系数，y 称为变量y的估计值或回归值。

根据式(8—2)，对每个xi可计算出变量y的一个对应的估计值yi。y的估计值yi与实际观测值yi之间的偏差为：

作为总偏差。

Q的值与bo、b1和b1有关，对于不同的一组b0、b1值，Q有不同的值对应。如果能找到一组bo、b1值，使Q达到最小，这时以这一组^。、A1为系数的回归直线y=b0+b1x与观测值拟合得最好。满足这种要求的一组bo和b1值可以用最小二乘法求得。所谓最小二乘法就是使得Q达到最小的一种确定b0、b1值的方

法。