代数式与整式复习总结

代数式与整式复习总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

本章知识结构框架图

考试内容 A （基本要求）

B （略高要求）

C （较高要求）

代数式

理解用字母表示数的意义

会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义

代数式的值

了解代数式的值的概念

会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律

能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值

整式

了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系

整式的加减运算

理解整式加、减运算的法则

会进行简单的整式加、减运算

能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题

课时1 代数式、单项式、多项式

中考要求

代数式

单项式

多项式

整式

同类项

合并同类

去括号、添括号

整式加减法

系数

次数

项

列代数式

代数式与整式

丰富的问题情景

基础过关

代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做

代数式.

单独的一个数或字母也是代数式.

列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.

列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、

大、小、多、

少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：

（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；

（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；

（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须

用括号将代数式括起来；

（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.

单项式： 像2-a ，2

r π，2

13

-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的

积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.

单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21

2

-ab c ，它的指数为

1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫

做零次单项式.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4

7

叫做单项式247x y 的

系数.

同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319

-+x x 是多项式.

多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多

项式中不含字母的项叫做常数项.

多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.

例题精讲

1. 对单项式、多项式、整式进行判断

例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式． (1)－3xy 2；

(2)2x 3＋1；

(3)

2

1

(x ＋y ＋1)； (4)－a 2；

(5)0；

(6)y

x

2； (7)

3

2xy

； (8)x

21； (9)x 2＋

x

1

－1；

(10)

1

1+x ； 解：单项式有：(1)－3xy 2，(4)－a 2，(5)0，(7)3

2xy

； 多项式有：(2)2x 3＋1，(3)

2

1

(x ＋y ＋1)； 不是整式的有：(6)

y x 2，(8)x 21，(9)x 2＋x 1－1，(10)1

1+x ．

知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式

和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x 即

x 2,或x÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x

2

是整式吗？2

x 可以写成21

·x,所以

2x 是单项式，而2

x

是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)y x 2；(8)x 21；(9)x 2＋x 1－1；(10)1

1

+x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

易错提示： (6)

y

x

2 和 (7)

3

2xy

这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成xy ?32，所以是单项式，而（6）是2x ÷y ，所以不是单项式也不是整式。(3)2

1

(x ＋y ＋

1)；会误以为是单项式，其实21 (x ＋y ＋1)＝21x+21y+21

，所以是三个单项式的和，是一个

多项式。

2、说出单项式、多项式的次数和项

例2 指出下列各单项式的系数与次数：

（1）;832ab （2）-mn 3

; （3）3432y x π （4）－3； 解：（1）832ab 的系数是8

3

，次数是3.

（2）-mn 3的系数是-1，次数是4.

（3）3432y x π的系数是3

4π

，次数是5.

（4）－3的系数是－3，次数是0。

知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm

3

中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3

43

2y x π的系

数是

34π

，次数是5。另外，像－3，2

1，0等这样的常数，是零次单项式． 易错提示：-nm 3

的系数是-1；3432y x π的系数是34π，次数是5，如写成系数是4

3，次

数是6就不对了.

例3、 填空：

（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是

次

项式，最高次项的系

数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x 升幂

排列得

；

（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是

次 项式，它的各项的次数都是

，按字母b 降幂排列得

.

解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x 2+0x 3+2x 4-3x 5; （2）三，四，3，-b 3-3ab 2+3a 2b+a 3.

应用体验：－2π4是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.

解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。

知识巩固：

例4. 用语言叙述下列代数式的实际意义。

（）；（）；（）；（）1323120%)49

2

2

2

2

a a

b x a a +--(π

思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。

解：（1）如果用a 表示一支铅笔的价格，那么3a 表示3支铅笔的价格。

（2）如果用a ，b 分别表示两个正方形的边长，那么a 2＋b 2表示这两个正方形面积之和。 （3）如果用x 表示过去的产量，那么（1－20%）x 表示减少20%以后的产量。

（）如果用表示圆的半径，正方形的边长是它的，那么表示4139

2

2a a a π-

圆面积与正方形面积之差。

阅读笔记：要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如2a 可表示边长为a

的正方形的面积，2a π可表示半径为a 的圆的面积等。这样才能写出合理的代数式的意义。