北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的几何计算》word教案2

北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的几何计算》w o r d教

案2

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2.2 三角形中的几何计算

教学目的：

1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

教学重点、难点：

1。重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。

2。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

教学过程：

例题讲解：

例1. 在△ABC 中，已知3,2,45,a b B ===求边c 。

解析：解法1（用正弦定理）

a A

b B sin sin =

∴==?=sin sin sin A a B b 345232 又 b a B A A <∴<∴=，，或60120

当A ＝60°时，C ＝75°

∴===+c b C B sin sin sin sin 2754562

2

当A ＝120°时，C ＝15° ∴===-c b C B sin sin sin sin 2154562

2

解法二： b a c ac B 2222=+-cos

∴=+-2323452c c cos

即c c 2610-+=

解之，得c =±6

2

2

点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。

例2. 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状。 解析：解法一

由正弦定理，得2sin sin sin B A C =+

∵B ＝60°，∴A+C ＝120°

A ＝120°－C ，代入上式，得

260120sin sin()sin =-+C C

展开，整理得：

3

21

21sin cos C C +=

∴+=∴+=sin()C C 3013090 ，

∴C ＝60°，故A ＝60°

∴△ABC 为正三角形

解法二

由余弦定理，得b a c ac B 2222=+-cos B b a c ==+602， ∴+=+-()cos a c a c ac 2260222

整理，得()a c a c -=∴=20，

从而a ＝b ＝c

∴△ABC 为正三角形

点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。

例3. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长。

解析：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°

由正弦定理，得

AB BCA AC

ABC sin sin ∠=∠

sin sin sin ∠=∠==ABC AC BCA AB 93059

10

∵AD//BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC

于是sin sin ∠=∠=BAD ABC 9

10

同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠=BAD 9

10

∠A DB ＝45°

解得BD =922 故BD 的长为92

2

点评：求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。

小结：

先由学生自己总结解题所得。

由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C

===可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。

而对于余弦定理，因为对于三角形的内角，确定了余弦值，角的大小就唯一确定了，所以在解三角形时，涉及到三条边和角的问题，都可以用余弦定理来解题。而也因为余弦值的这个特点，在判断一个三角形时锐角、直角或者钝角三角形时，要借助余弦定理。

对于很多题目，并没有一个绝对的规律，我们要对正弦定理，余弦定理深入理解，才能在解题时，根据问题的具体情况，恰当地选用定理，运用好的方法解题。

运用正弦定理或余弦定理可以进行边角关系的转化。它们是解决三角形问题的桥梁，因此，在解决问题的过程中，要注意它们的互相运用联手解题。