高三数学第一轮复习《双曲线 》讲义
2013届高三数学第一轮复习《双曲线 》讲义
要点梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫__双曲线______．这两个定点叫双曲线的__焦点______，两焦点间的距离叫___焦距_____．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当___ a
(1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|． 这两点与椭圆的定义有本质的不同：
①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 或x ≤－a ，y ∈R ∈R ，y ≤－a 或y 对称轴：坐标轴对称中心：原点
－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，y ＝±b x y ＝±a b x
1．双曲线中a ，b ，c 的关系
区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2
＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．
双曲线中有一个重要的Rt △OAB (如右图)，
它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2，
若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1
cos θ．
2．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a
＝b 2
a 2
＝c 2－a 2a
2＝e 2
－1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 3．与渐近线有关的性质：
焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b ．
共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线．
与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝t (t ≠0)．
已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为
“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的两条渐近线方程．
双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是
y ＝±a b x ．
实轴长和虚轴长相等的双曲线为___等轴双曲线_______，其渐近线方程为___ y ＝±x _____，离心率为__ e ＝2______． 4．直线与双曲线的位置关系：
直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
基础自测
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2
1．C [∵2x 2－y 2＝8， ∴x 24－y
28
＝1， ∴a ＝2，∴2a ＝4.]
2．已知双曲线x 22－y
2b
2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，
点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→
等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4 3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3
3．B [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称
轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2
a 2－1)＝
b 4a
2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b
2a
＝4a ，
∴b 2
a 2＝2，∴c 2－a 2a
2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.] 4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是
________x 29－y 2
7
＝1 (x ≥3)____ _____．
5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝__－1
4_________________________．
6．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，
则双曲线C 的离心率为___6
2
_____．
7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2
9
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是
椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__x 2
4－y 2
3
＝1______．
8．若双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心
率为 ( )
A ． 5
B ．5
C ． 2
D ．2
9．已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2
＝24上，则2m ＋4的范围是__________________． (－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
10．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 2
12
＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求|PF |＋|P A |
的最小值．
解 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知 |PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|， ∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF 1|＋|PA |.
∴当满足|PF 1|＋|P A |最小时，|PF |＋|P A |最小．
由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，易求得最小值为|AF 1|＝5，故所求最小值为9.
双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数
题型一 双曲线的标准方程
例1 (1)与双曲线x 29－y 2
16
＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)求双曲线的标准方程；
解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 2
16＝λ (λ≠0)，
将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝1
4
，
即x 294
－y
24＝1. (2)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于14
5
，则双曲线的方
程为____________． y 24－x 2
12
＝1
解析 由于在椭圆x 29＋y 2
25
＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在
y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝4
5
.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，
坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1 (a >0，b >0)，且c
＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2
＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1.
探究提高 求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e )之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ (λ≠0)．
变式训练1 根据下列条件，求双曲线方程：
(1)若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，求双曲线的方程；
(1)x 2－y
29
＝1
(2)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3
x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线的方程．
(2)x 236－y 264＝1或y 264－x 2
36＝1
题型二 双曲线的定义及应用
例2 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．
解题导引 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性． 解 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，
因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a
(其中a 表示椭圆的长半轴)． 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |.
所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2. 所以|F A |－|FB |＝2.
由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F 的轨迹方程是y 2
－x 248＝1 (y ≤－1)．
探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．
变式训练2 ①已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
解 设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2，
|MC 2|＝r －2，
∴|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，
∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以
C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.
∴点M 的轨迹方程是x 22－y 2
14
＝1 (x ≥2)．
② 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲
线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________． 5
6 题型三 双曲线的几何性质
例3 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7． (1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
探究提高 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个
重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e ＝c
a 是一个比值，故只需根据条件得到
关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1． 解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线半实、虚轴长分别为
m 、n ，则????
?
a －m ＝4
7·13a
＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.
∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6，
所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，
∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝4
5.
变式训练3 (1)如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)
的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ， 且∠PF
1F 2＝30°，求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程． (1)3 (2)y ＝±2x
(2)已知点
P 是双曲线
222222
221(0,0)x y a b x y a b a b
-=>>+=+和圆的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为
A ．
12
B C ．2
D 1+
题型四 直线与双曲线的位置关系
例4 过双曲线x 23－y 2
6＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐
标原点，F 1为左焦点．
(1)求|AB |； (2)求△AOB 的面积； (3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|． (1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．
直线AB 的方程为y ＝3
3
(x －3)．
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由???
y ＝33(x －3)，
x 2
3－y
2
6＝1，
得5x 2＋6x －27＝0.
∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－27
5.
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋??
?
?332
·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝
43·3625＋1085＝1635
. (2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.
∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)
2＝3
2. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝123
5
.
(3)证明 如图，由双曲线的定义得 |AF
2|－|AF 1|＝23， |BF 1|－|BF 2|＝23，
∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|， 即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.
探究提高 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关
系．解
决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|．
变式训练4 ①直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x2-y2=1后，整理得
(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，
故?????
k 2－2≠0，
Δ＝(2
k )2
－8(k 2
－2)>0，－2k
k 2－2>0，
2k 2
－2>0.
解得k 的取值范围是－2 (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1 ，y 1 )、(x 2 ，y 2 )，则由①式得??? x 1 ＋x 2 ＝2k 2－k 2 ， x 1 ·x 2 ＝2 k 2 －2 .② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由F A ⊥FB 得： (x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0. ③ 把②式及c ＝6 2代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65?(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋6 5使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． ②已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k ． 由???? ? y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2． 由题意，得k (1－k ) 2－k 2 ＝1，解得k ＝2． 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0． Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解． ∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 题型五 双曲线综合 例5 已知双曲线C 的方程为 2222-1(0,0),=>>y x a b a b 离心率e =2，顶点到渐近线的距 。 (1)求双曲线C 的方程； (2)P 是双曲线C 上一点，A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若 =AP PB λ ,λ∈［ 1 3 ,2］，求△AOB 面积的取值范围. 解：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0,a )到渐近线ax-by =0 ,5 = 即=ab c 由 5=ab c 2=c a 222=+c a b 得21,5 =??=??=? a b c 所以双曲线C 的方程为 22 - 1.4 =y x (2)设直线AB 的方程为y=kx+m .由题意知|k |<2,m >0. 由,2=+?? =?y kx m y x 得A 点的坐标为2( ,),2-2-m m k k 由,2=+??=-? y kx m y x 得B 点的坐标为-2( ,).22++m m k k 由 ,=AP PB λ得P 点的坐标为 121((-),()),12-212-2+++++m m k k k k λλ λλ 将P 点坐标代入22-1,4=y x 得 22 24(1).4-+=m k λλ 设Q 为直线AB 与y 轴的交点, 则Q 点的坐标为(0,m ). 11 ||||||||22 ???=+= ?+?AOB AOQ BOQ A B S S S OQ x OQ x 11(-)()222-2=?=++A B m m m x x m k k 221411() 1.24-2=? =++m k λλ 记111 ()()1,[,2],23 = ++∈S λλλλ 由S ′(λ)=0，得λ=1,又1 89(1)2,(),(2),3 34 == =S S S 当λ=1时，△AOB 的面积取得最小值2 变式训练5 已知双曲线C ：x 22 －y 2 ＝1. ①求双曲线C 的渐近线方程； ②已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围． 解 ① 因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为 y －22x ＝0，y ＋2 2 x ＝0. ②设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)， λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1) ＝－x 20－y 2 0＋1＝－32 x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 双曲线练习（1） 一、选择题 1．双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22 ＝1 2．设点P 在双曲线x 29－y 216 ＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3， 则△F 1PF 2的周长等于( ) A ．22 B ．16 C ．14 D ．12 3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的实轴长是焦距的1 2，则该双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3 2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x D ．y ＝±22x 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B . 3 C ．2 D ．3 5．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是1 2时， 点P 到坐标原点的距离是 ( ) A .62 B.32 C. 3 D ．2 6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2 －y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→· PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→ |等于 ( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5 二、填空题 7．已知中心在原点的双曲线C ，过点P (2，3)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为___ _x 23－y 29＝1或y 253 －x 2 5 ＝1 __________________． 8．如图，点P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1上除顶点外 的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c 为 半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ， 则|F 1M |·|F 2M |＝___ b 2 _____. 9．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 2 9 ＝1的一个焦点，则m ＝____16____. 解析 由已知条件有52 ＝m ＋9，所以m ＝16. 10．设圆过双曲线x 29－y 2 16＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲 线中心的距离为___16 3 ___． 三、解答题 11．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线x 29－y 2 16＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 2 4 ＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1， 由题意，得? ?? b a ＝43，(－3)2a 2－(23) 2b 2＝1，解得a 2 ＝94，b 2＝4.(4分) 所以双曲线的方程为49x 2－y 2 4 ＝1. 方法二 设所求双曲线方程x 29－y 2 16＝λ (λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝1 4 ， 即49x 2－y 2 4 ＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1.由题意c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4 b 2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 2 8 ＝1. 12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦 点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝3 3x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ， 使OM →＋ON →＝tOD → ，求t 的值及点D 的坐标． 解 (1)由题意知a ＝23，一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，∴|bc | b 2＋a 2＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则 x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴??? x 0y 0＝433，x 20 12－y 20 3＝1， ∴??? x 0＝43，y 0 ＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． 双曲线练习（2） 一、选择题 1．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点， 则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．内含 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双 曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A .x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23 ＝1 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2 ＝4，∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋ b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 2 4 ＝1. 3．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 4．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂 直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2，＋∞) 5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支 上的任意一点，则OP →·FP → 的取值范围为 ( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C.????－74，＋∞ D.????7 4，＋∞ 二、填空题 6．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C 的离心率为____6 2 ____． 7．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的渐近线y ＝b a x 交于点A (不同于O 点)，则△OAF 的面积为__ ab ______． 8．设点F 1，F 2是双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|， 则△PF 1F 2的面积为___315_____． 9．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上， 且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为___5 3 _____． 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交双曲线右 支于A ，B 两点．若△ABF 1是以B 为顶点的等腰三角形，且△AF 1F 2，△BF 1F 2的面积之比 S △AF 1F 2∶S △BF 1F 2＝2∶1，则双曲线的离心率为___21 3 _____． 三、解答题 11．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M (355，45 5 )，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标． 解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2. 由题意得????? |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或? ???? |CF 1|＝r －2， |CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25>4. ∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24 －y 2 ＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |， ∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，(8分) 且|MF |＝ (355－5)2＋(455 －0)2＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得 ????? y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1， 整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255 . ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－25 5 )． 12．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2 ＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而 C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB → >2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1， 则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2 ＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ???? ? 1－3k 2 ≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2) ＝36(1－k 2)>0. ∴k 2≠1 3 且k 2<1. ① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2 ＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1 . 又∵OA →·OB → >2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2 ＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1 >0，解得13 由①②得13 ?3 3，1. 13．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝1 2 ，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到 直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . (1)求E 的方程； (2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解 (1)设P (x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝2????x －12，化简得x 2－y 2 3 ＝1(y ≠0)． (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23 ＝1联立消去y ， 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2 k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3 ， y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4 ＝k 2 ? ????4k 2＋3k 2 －3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2 k 2－3 . 因为x 1，x 2≠－1， 所以直线AB 的方程为y ＝y 1 x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为????12，3y 12(x 1 ＋1)， FM →＝????－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝????－32，3y 22(x 2 ＋1). 因此FM →·FN →＝????－32×???? －32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34? ?? ??4k 2＋3k 2 －3＋4k 2k 2－3＋1＝0. ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)． AB 的方程为y ＝x ＋1， 因此M 点的坐标为????12，32，FM →＝???? －32，32. 同理可得FN → ＝????－32 ，－32. 因此FM →·FN →＝????－32×????－32＋32 ×????－32＝0.(13分) 综上，FM →·FN → ＝0，故FM ⊥FN . 故以线段MN 为直径的圆过点F . 第一轮基本知识基本技能和基本方法的复习，学校的安排通常是九月份到第二年的二月份结束，下面给大家带来一些关于高三数学第一轮复习顺序，希望对大家有所帮助。 一、注重双基，回归教材和考纲。下面给大家带来一些关于，希望对大家有所帮助。 数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。需要系统的对知识点进行梳理，确保基本概念、公式等牢固掌握，面面俱到、不留盲点和死角，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。 二、把握知识体系，突出重点内容。 第一轮复习后，大家要能写出或说出章节的知识结构与知识体系，并掌握其重点内容。例如“函数”一章，从基本知识看主要有：函数的概念与运算，函数关系的建立，函数的基本性质，反函数，幂函数，指数函数与对数函数;从考试重点看还有一些必须掌握的扩充内容：求函数解析式，函数值域，求函数定义域，函数图像及变换，函数与不等式，函数思想的应用等。由于函数在高考的重要地位，函数知识与函数思想，同学们需下大力气掌握。 一轮复习一定要有面的兼顾，即使是小的知识点，也不能忽视，当然复习中也需有质的深度，对课本上的定义要善于深挖与联想，抓住各个分支的数学本质，例如利用代数方法解决几何问题，用函数观点来研究数列问题。重点知识点第一轮复习时一定要重视，一些典型题型上海高考常考常新。 三、提高课堂听课效率，多动脑，注重各种能力的提高 接受、记忆、模仿和练习是我们学习数学的重要方式之一，但是不应只限于此，我们还应独立思考，自主探索，阅读自学，独立思考是我们真正掌握所学知识的基础。 每年高考的填空选择解答压轴题都是创新题，能力题，这类试题不拘一格，突出探索、发现和创造。对于想考出高分的我们来说，不仅要吃透课本中的知识点，专题训练，平时做题还要进行灵活变换，多想想有没有其他方法，在分析问题、解决问题的能力上要提高。此外还要特别注意老师讲课中的分析与提示。 菁英听课必备：做好笔记，笔记不是记录而是将听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。解答过程可以留在课后去完成，笔记的地方留点空余的地方，以备自已的感悟。 四、复习要及时，高效，多次，长期坚持 1、做好每一天的复习。上完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，若碰到有些题没有思路的还需再仔细做一遍。 2、做好阶段复习。学习一个章节后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善。 五、以“错”纠错，查漏补缺 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三一轮复习，各类题要做很多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因，大致可分为以下几类：1、题目看错;2、计算错误;3、概念错误;4、没有找到适合的方法;5、知识点 高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高三数学教案 编订：XX文讯教育机构 高三数学第一轮复习讲义(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高三数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程． 二．知识要点：1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：． 三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程． 五．课后作业：班级学号姓名 1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .5．设，，则直线的倾斜角为．6．不论为何实数，直线恒过定点．7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于a、b两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程． 8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．9．求过点p(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点p所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐 45分钟滚动基础训练卷(十) [考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分] 一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________． 2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1 x ，y 这四个数据的平均数 为3，则x ＋y 最小值为________． 3．已知函数f (x )＝? ???? 2x 2＋1(x ≤0)， －2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________． 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(?R B )∩A ＝________. 5．设实数x ，y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则u ＝y x －x y 的取值范围是________． 6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－ x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________． 7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于??? ?－π2，π 2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ???? x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)． 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1 x ＋1 的值域，集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)． (1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式； (2)当x >0时，试求函数y ＝f (x ) g (x )－2 的最小值． 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 工程學院基礎數學題庫 第五章空間中的直線與平面 第六章球面方程式 第七章矩陣與行列式 第五章 空間中的直線與平面 5-1.空間中直線與平面的概念 1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點， 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？ 若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？ 【 a 22； 3 1 】 【解】 a a a 2 2 )2()23( 22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322??? -+a a a a ,cos θ＝3 1 2.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ， 求四面體A-BCD 之體積？ 【 3 11 2 】 【解】G 是△ABC 重心3 3232== DE DG 3 44 )332( 42 2=-=AG ，體積＝311234433131=??=???AG BCD 3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】 【 25 】 【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,222 22015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之 直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之 點，已知OC ＝7，求BC ＝？ 【三垂線定理】 【 6 】 【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 22 2==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形， 且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【 3 8 】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N 設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝3 8 6.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5， 底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ，求cos θ＝？ 【 21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝2 1 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； 高三数学第一轮复习教学反思 吴远新 高考在即，第一轮复习已经接近尾声，这里就一轮复习谈谈自己的一点反思。高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习时，特别是在第一轮复习时，始终应以夯实“三基”，提高能力为指导思想，使学生在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求和水平。现结合本人的教学实践，谈几点体会:一、加强高考研究，把握高考方向 随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。 二、明确中心思想，做好学习计划 第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。 第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。 三、重视回归课本，狠抓夯实基础 《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中 2019高三数学总复习资料 高三数学总复习资料：立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一 周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料：直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在. 高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目 让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义：积分 知识讲解 一、函数定积分 1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把 区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-， ，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑． 当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定 积分，记作()b a f x dx ?，即1 00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ， 上的定积分，即()b a S f x dx =?． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． y=f (x )O y x b a 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2} 2017-1018学年下学期教学反思 高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习时，在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求和水平。现结合本人的教学实践，谈几点反思: 一、加强高考研究，把握高考方向 随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。 二、明确中心思想，做好学习计划 第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。 第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。 三、重视回归课本，狠抓夯实基础 《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中必须抓基础，常抓不懈，只有基础打好了，做中低档题才会概念清楚，得心应手，做难题和综合题才有基本条件。尤其在第一轮复习中应以夯实“三基”为主，对构建的知识网络上每个知识点要弄清概念，了解数学知识和理论的形成过程，以及解决数学问题的思维过程。在第一轮的复习课中，应总结梳理每一章节的数学知识，基本题型和练习，以利于学生进行复习，在梳理中注重由学生自己去推理数学知识的形成的过程。如在两角和与差的三角函数这一章中公式较多，要求学生证明两角差的余弦这一重要公式，并由次推导三角函数的和角、差角、倍角、半角等三角公式，通过这一练习，不但使学生对三角公式之间的联系十分清楚，记忆加深，而且增强了灵活运用公式的能力。在分章节复习时要以课本知识为本，因为课本是知识与方法的重要载体，课本是高考题的主要来源。纵观近几年的新课程高考试题，不难发现，多数试题源于教材，即使是综合题也是课本例习题的综合、加工与拓展，充分体现了课本的基础作用。复习必须紧紧地围绕课本来进行，只有严守课本，才能摆脱“题海”之苦。课本中有基本题，也有综合题，都在课 最新整理高三数学高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义直线的方程 一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点： 1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（） 多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是 ；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 . 4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直 线相交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为． 4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 . 5．设，，则直线的倾斜角为． 6．不论为何实数，直线恒过定点． 7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程．8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程． 9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程． 高三数学总复习讲义——函数概念 一、 知识清单 1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。 3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. 注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0=且的值域为； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2 k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、 课前练习 1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则到的映射有个，到的映射有个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则到的一一映射有个。 2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射下，象20的原象是 ( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则==)(r f S ；定义域为。 2012届高三数学第一轮复习计划 (文科) 一. 背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体 现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基 本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 2012年山东数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学 数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应 用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出山东卷的特色： 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、教学计划与要求 新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。 第一轮为系统复习（第一学期），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联 系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。在教学中重点抓好各中通性、通 法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。 三、具体方法措施 1. 认真学习《考试说明》，研究高考试题,提高复习课的效率。 《考试说明》是命题的依据，复习的依据. 高考试题是《考试说明》的具体体现。只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我 们与命题专家在认识《考试说明》上的差距。并力求在复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。 2．高质量备课， 参考网上的课件资料，结合我校学生实际，高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。充分发挥全组老师的集体智慧，确保每节课件都是高质量的。 统一教案、统一课件。 3．高效率的上好每节课， 重视“通性、通法”的落实。要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上； 放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓 好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。 4．狠抓作业批改、讲评，教材作业、练习课内完成，课外作业认真批改、 讲评。一题多思多解，提炼思想方法，提升学生解题能力。 5．认真落实月考，考前作好指导复习，试卷讲评起到补缺长智的作用。高三数学第一轮复习顺序
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