2015年江苏省高考数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为．

2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．

3．（5分）设复数z 满足z 2=3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为．

4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为．

5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．

6．（5分）已知向量a →=（2，1），b →=（1，﹣2），若m a →+n b →=（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为．

7．（5分）不等式2x 2?x ＜4的解集为．

8．（5分）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=17

，则tanβ的值为． 9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．

11．（5分）设数列{a n }满足a 1=1，且a n +1﹣a n =n +1（n ∈N *），则数列{1a n

}的前10项的和为．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y +1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为．

13．（5分）已知函数f （x ）=|lnx |，g （x ）={0，0＜x ≤1|x 2?4|?2，x ＞1

，则方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为．

14．（5分）设向量a k →=（cos kπ6，sin kπ6+cos kπ6

）（k=0，1，2，…，12），则∑11k=0（a k ?a k +1）的值为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（14分）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC 的长；

（2）求sin2C 的值．

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC=CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ．

求证：

（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；

（2）BC 1⊥AB 1．

17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2

的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y=

a x 2+

b （其中a ，b 为常数）模型．

（1）求a ，b 的值；

（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．

①请写出公路l 长度的函数解析式f （t ），并写出其定义域；

②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22

，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．

19．（16分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）．

（1）试讨论f （x ）的单调性；

（2）若b=c ﹣a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，

a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，32）∪（32

，+∞），求c 的值． 20．（16分）设a 1，a 2，a 3．a 4是各项为正数且公差为d （d ≠0）的等差数列．

（1）证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；

（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】

21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．

求证：△ABD∽△AEB．

【选修4-2：矩阵与变换】

22．（10分）已知x，y∈R，向量α→=[

]是矩阵[x1

y0]的属于特征值﹣2的一个特

征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin（θ﹣π

）﹣4=0，求圆C的半径．

[选修4-5：不等式选讲】

24．解不等式x+|2x+3|≥2．

【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD

为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π

，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ 的长．

26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．