最新大学物理简明教程课后习题答案解析
大学物理简明教程习题答案解析
习题一
1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v
有无不同?其不同在哪里?试
举例说明．
解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即
r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t
s
d d .
t r
d d 只是速度在径向上的分量.
∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则
t ?r
?t r t d d d d d d r r r += 式中t r
d d 就是速度径向上的分量，
∴t r t
d d d d 与
r 不同如题1-1图所示.
题1-1图
(3)t d d v 表示加速度的模，即
t v a d d
=
，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以
t v t v t v d d d d d d ττ +=
式中dt dv
就是加速度的切向分量.
(t t
r d ?d d ?d τ 与
的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r ＝22y x +，然后根据v =t r
d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度
的分量，再合成求得结果，即
v =2
2
d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a =
2
22222d d d d ?
??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r
+=，
j
t y i t x t r a j
t y i t x t r v
222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴
故它们的模即为
2
222
222
22
22
2d d d d d d d d ?
??? ??+???? ??=+=?
?
? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
2
2d d d d t r a t
r
v ==
其二，可能是将2
2d d d d t r t
r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2
2d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分????
???????
??-=2
22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即
量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r
及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =21
t 2+3t -4.
式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点
的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
j
t t i t r
)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有
j i r
5.081-= m
j j r
4112+=m
j j r r r
5.4312+=-=?m
(3)∵ j i r j j r 1617,4540
+=-= ∴ 1
04s m 534201204-?+=+=--=??=j i j
i r r t r v
(4) 1
s m )3(3d d -?++==j t i t r v
则 j i v 734
+= 1s m -? (5)∵ j i v j i v
73,334
+=+=
2
04s m 1444-?==-=??=j v v t v a (6) 2
s m 1d d -?==j t v
a
这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知
2
22s h l += 将上式对时间t 求导，得
t s s
t
l l
d d 2d d 2= 题1-4图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，
∴
t s v v t l v d d ,d d 0-
==-=船绳 即
θcos d d d d 0
0v v s l
t l s l t s v ==-=-=船 或 s v s h s lv v 0
2/1220)(+=
=船
将船v 再对t 求导，即得船的加速度
3
2
0222
020
2
002)(d d d d d d s v h s v s l s v s lv s v v s t s
l t l s
t v a =+-=+-=-==船
船
1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2
s m -?，x 的单位
为 m. 质点在x ＝0处，速度为101
s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量：
x x adx d )62(d 2
+==υυ 两边积分得 c
x x v ++=32
2221
由题知，0=x 时，100
=v ,∴50=c
∴ 1
3s m 252-?++=x x v
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2
s m -?，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵ t t v
a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d +=
积分，得 1
223
4c t t v ++=
由题知，0=t ,00
=v ,∴01=c
故
2
23
4t t v += 又因为
2
234d d t t t x v +== 分离变量， t
t t x d )23
4(d 2+=
积分得 2
3221
2c t t x ++=
由题知 0=t ,50
=x ,∴52=c
故 5
21
232++=t t x
所以s 10=t 时
m
70551021
102s m 1901023
10432101210=+?+?=?=?+
?=-x v
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33
t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°
角时，其角位移是多少?
解：
t t t t 18d d ,9d d 2====
ωβθω
(1)s 2=t 时， 2
s m 362181-?=??==βτR a
2222s m 1296)2
9(1-?=??==ωR a n
(2)当加速度方向与半径成ο
45角时，有145tan ==
?n
a a τ
即 β
ωR R =2
亦即
t t 18)9(2
2= 则解得 923=
t 于是角位移为
rad
67.292
32323=?+=+=t θ 1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2
021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧
长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ．
解：（1） bt v t s
v -==
0d d R bt v R v a b
t
v a n 2
02)(d d -=
=-==τ
则 2402
22)(R bt v b a a a n -+
=+=τ
加速度与半径的夹角为
20)(arctan
bt v Rb a a n --=
=τ?
(2)由题意应有
24
02
)(R bt v b b a -+
== 即 0
)(,)
(4024
022=-?-+=bt v R bt v b b
∴当
b v t 0
=时，b a = 1-9 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-9图
(1)在最高点，
o
1
60
cos
v
v
v
x
=
=
2
1
s
m
10-
?
=
=g
a
n
又∵1
2
1
1ρ
v
a
n
=
∴
m
10
10
)
60
cos
20
(2
2
1
1
1
=
?
?
=
=
n
a
v
ρ
(2)在落地点，
20
2
=
=v
v1
s
m-
?,
而
o
60
cos
2
?
=g
a
n
∴
m
80
60
cos
10
)
20
(2
2
2
2
2
=
?
?
=
=
n
a
v
ρ
1-10飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·2
s-，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
s
2
=
t时，4.0
2
2.0=
?
=
=tβ
ω1s
rad-
?
则16
.0
4.0
4.0=
?
=
=ω
R
v1s
m-
?
064
.0
)4.0(
4.02
2=
?
=
=ω
R
a
n
2
s
m-
?
08
.0
2.0
4.0=
?
=
=β
τ
R
a2
s
m-
?
2
2
2
2
2s
m
102
.0
)
08
.0(
)
064
.0(-
?
=
+
=
+
=
τ
a
a
a
n
1-11 一船以速率1
v＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
2
v＝40km·h-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有1
2
21
v
v
v
-
=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-11图
由图可知
1
2
2
2
1
21
h
km
50-
?
=
+
=v
v
v
方向北偏西
?
=
=
=87
.
36
4
3
arctan
arctan
2
1
v
v
θ
(2)小船看大船，则有2
1
12
v
v
v
-
=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
50
12
=
v1
h
km-
?
方向南偏东o
87
.
36
习题二
2-1 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0
v
运动，0
v
的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力
mg，斜面支持力N.建立坐标：取0v
方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-1图
X方向：0
=
x
F t
v
x
=
①
Y方向：y
y
ma
mg
F=
=α
sin
②0
=
t时0
=
y0
=
y
v
2
sin
2
1
t
g
yα
=
由①、②式消去t，得
2
2
sin
2
1
x
g
v
y?
=α
2-2 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x
f
＝6 N，y
f
＝-7 N，当t＝0时，=
=y
x0，x v＝-2 m·s-1，y v＝0．求
当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
解：
2
s
m
8
3
16
6
-
?
=
=
=
m
f
a x
x
2
s
m
16
7
-
?
-
=
=
m
f
a y
y
(1)
?
?
-
-
?
-
=
?
-
=
+
=
?
-
=
?
+
-
=
+
=
2
1
1
2
s
m
8
7
2
16
7
s
m
4
5
2
8
3
2
dt
a
v
v
dt
a
v
v
y
y
y
x
x
x
于是质点在s2时的速度
1
s
m
8
7
4
5
-
?
-
-
=j
i
v
(2)
m
8
7
4
13
4
)
16
7
(
2
1
)4
8
3
2
1
2
2
(
2
1
)
2
1
(2
2
j
i
j
i
j
t
a
i
t
a
t
v
r
y
x
-
-
=
?
-
+
?
?
+
?
-
=
+
+
=
2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为0
v
，证明(1) t时刻的速度为v＝
t
m
k
e
v)(
-
；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
x＝(k
mv
)［1-
t
m
k
e)(-］；(3)停止运动前经过的距离为
)
(
0k
m
v
；(4)证明当
k
m
t=时速度