电场力的性质知识点和联系

聚名师
电场力的性质
知识目标
一、电荷、电荷守恒定律
1、两种电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷，用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷。 2、元电荷：一个元电荷的电量为 1．6×10－19C，是一个电子所带的电量。
说明：任何带电体的带电量皆为元电荷电量的整数倍。
3、起电：使物体带电叫起电，使物体带电的方式有三种①摩擦起电，②接触起电，③感应起电。
4、电荷守恒定律：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或
者从物体的一部分转移到另一部分，系统的电荷总数是不变的．
注意：电荷的变化是电子的转移引起的；完全相同的带电金属球相接触，同种电荷总电荷量平均分
配，异种电荷先中和后再平分。
二、库仑定律
1． 内容：真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离
的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
2． 公式：F=kQ1Q2／r2
k＝9．0×109N·m2／C2
3．适用条件：（1）真空中； （2）点电荷．
点电荷是一个理想化的模型，在实际中，当带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略
不计时，就可以把带电体视为点电荷．（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布
的球，无论两球相距多近，r 都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，
不能再用球心距代替 r）。点电荷很相似于我们力学中的质点．
注意：①两电荷之间的作用力是相互的，遵守牛顿第三定律
②使用库仑定律计算时，电量用绝对值代入，作用力的方向根据“同种电荷互相排斥，异种电
荷互相吸引”的规律定性判定。
【例 1】在光滑水平面上，有两个带相同电性的点电荷，质量 m1＝2m2，电量 q1=2q2，当它们从静
止开始运动，m1的速度为 v 时，m2的速度为
；m1的加速度为 a 时，m2的加速度为
，
当 q1、q2 相距为 r 时，m1 的加速度为 a，则当相距 2r 时，m1 的加速度为多少？
解析：由动量守恒知，当 m1 的速度为 v 时，则 m2 的速度为 2v，由牛顿第二定律与第三定律知：当
m1 的加速度为 a 时，m2 的加速度为 2a．
由库仑定律知：a= kq1q2 ／m，a/= kq1q2 ／m,由以上两式得 a/=a/4
r2
4r 2
答案：2v，2a，a/4
点评：库仑定律中的静电力（库仑力）是两个电荷之间的作用力，是作用力与反作用力，大小相同，
方向相反，在同一直线上，作用在两个物体上，二力属同种性质的力，而且同时产主同时消失。
三、电场：
1、存在于带电体周围的传递电荷之间相互作用的特殊媒介物质．电荷间的作用总是通过电场进行
的。
2、电场的基本性质是对放入其中的电荷有力的作用。
3、电场可以由存在的电荷产生，也可以由变化的磁场产生。
四、电场强度 1．定义：放入电场中某一点的电荷受到的电场力 F 跟它的电量 q 的比值叫做该点的电场强度，表 示该处电场的强弱 2．表达式：E＝F/q 单位是：N/C 或 V/m；
E=kQ/r2（导出式，真空中的点电荷，其中 Q 是产生该电场的电荷） E＝U/d（导出式，仅适用于匀强电场，其中 d 是沿电场线方向上的距离） 3．方向：与该点正电荷受力方向相同，与负电荷的受力方向相反；电场线的切线方向是该点场强 的方向；场强的方向与该处等势面的方向垂直． 4．在电场中某一点确定了，则该点场强的大小与方向就是一个定值，与放入的检验电荷无关，即 使不放入检验电荷，该处的场强大小方向仍不变，这一点很相似于重力场中的重力加速度，点定则 重力加速度定，与放入该处物体的质量无关，即使不放入物体，该处的重力加速度仍为一个定值． 5、电场强度是矢量，电场强度的合成按照矢量的合成法则．（平行四边形法则和三角形法则） 6、电场强度和电场力是两个概念，电场强度的大小与方向跟放入的检验电荷无关，而电场力的大 小与方向则跟放入的检验电荷有关， 五、电场线： 是人们为了形象的描绘电场而想象出一些线，客观并不存在． 1．切线方向表示该点场强的方向，也是正电荷的受力方向． 2．从正电荷出发到负电荷终止，或从正电荷出发到无穷远处终止，或者从无穷远处出发到负电荷 终止． 3．疏密表示该处电场的强弱，也表示该处场强的大小． 4．匀强电场的电场线平行且距离相等． 5．没有画出电场线的地方不一定没有电场． 6．顺着电场线方向，电势越来越低． 7．电场线的方向是电势降落陡度最大的方向，电场线跟等势面垂直． 8．电场线永不相交也不闭合， 9．电场线不是电荷运动的轨迹．
+
孤立点电荷周围的电场
等量异种点电荷的电场
等量同种点电荷的电场
匀强电场
－－－－
点电荷与带电平板
【例 2】在匀强电场中，将质量为 m，带电量为 q 的小球由静止释放，带电小球的运动轨迹为一直
线，该直线与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则电场强度的大小为（ B ）
A．有唯一值 mgtanθ／q ； B．最小值是 mgsinθ／q；
C·最大值 mgtanθ／q；
D·mg/q
提示：如附图所示，利用三角形法则，很容易判断出 AB 跟速度方向垂直．
1

聚名师
规律方法
1、库仑定律的理解和应用
【例 3】如图所示，三个完全相同的金属小球 a、b、c 位于等边三角形的
三个顶点上．a 和 c 带正电，b 带负电，a 所带电量的大小比 b 的小．已知
c 受到 a 和 b 的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它
应是
A．F1
B．F2
C．F3
D．F4
【解析】 a 对 c 为斥力，方向沿 ac 连线背离 a；b 对 c 为引力，方向沿 bc
连线指向 b．由此可知，二力的合力可能为 F1 或 F2．又已知 b 的电量比 a 的大，由此又排除掉 F1， 只有 F2 是可能的．【答案】 B 【例 4】两端开口，横截面积为 S，水平放置的细玻璃管中，有两个小
水银滴，封住一段长为 L0 的空气柱，当给小水银滴带上等量的异种电荷 A
B
时，空气柱的长度为 L，设当时大气压强为 P0，小水银滴在移动过程中
温度不变，小水银滴大小可忽略不计，试求：
L0
①稳定后，它们之间的相互作用力。②小水银滴所带电量的大小？
解析：小水银滴所受的库仑力为内外气体压力之差。设外界大气压强为 P0，小水银滴带上等量异种
电荷时，被封闭气体的压强为 P，则由玻意耳定律得：P0L0S=PLS 即 P/ P0= L0/L
ΔP/ P0=（L0－L）/L，又ΔP=P－P 0=F 电/S，即 F 电= P0S（L0－L）/L
再由库仑定律得：F 电=KQ2/L2 可得 Q= F电 / K ·L= P0 SLL0 L / K
【例 5】 已知如图，在光滑绝缘水平面上有三个质量都是 m 的相同小 球，两两间的距离都是 l，A、B 电荷量都是+q。给 C 一个外力 F，使 三个小球保持相对静止共同加速运动。求：C 球的带电电性和电荷量； 外力 F 的大小。 解：先分析 A、B 两球的加速度：它们相互间的库仑力为斥力，因此 C 对它们只能是引力，且两个 库仑力的合力应沿垂直与 AB 连线的方向。这样就把 B 受的库仑力和合力的平行四边形确定了。于
是可得 QC= -2q，F=3FB=3
3 FAB= 3
3kq2 。 l2
【例 6】.如图所示，质量均为 m 的三个带电小球 A,B,C,放在光滑
的绝缘水平面上，彼此相隔的距离为 L(L 比球半径 r 大许多）,B
球带电量为 QB =－3q.A 球带电量为 QA=＋6q，若对 C 球加一个水
平向右的恒力 F,要使 A,B,C 三球始终保持 L 的间距运动，求：
B
(1）F 的大小为多少？
(2)C 球所带的电量为多少？带何种电荷？：
FAB
解析:由于 A,B,C 三球始终保特 L 的间距，说明它们具有相同的加
A
FC C
FB
F
速度,设为 a,则 a F 3m
对 A、B、C 球受力分析可知,C 球带正电,对 A 球:FAB－FAC=ma,即 k 18q2 k 6qQC ma
L2
4L2
对
B
球:－FAB＋FBC=ma,即
18q2 k
k
3qQC
ma ,联立以上各式得
QC=8q.
L2
L2
18q2 F k
L2
【例 7】中子内有一电荷量为 2 e 上夸克和两个电荷量为 1 e 下夸克，
3
3
一简单模型是三个夸克都在半径为 r 的同一圆周上，如图所示,下面给出的
四幅图中能正确表示出各夸克所受静电作用力的是( )
r
12
rr
F1
F3
F2 F1 F3
F1
F2
F1
F3
F2 A
B
F2 C
F3
D
解析:上夸克与下夸克为异种电荷,相互作用力为引力, F /
k 2e2 9l 2
(l
为任意两个夸 F2
克间的距离),由力的合成可知上夸克所受的合力 F1 向下,下夸克为同种电荷,所
受的作用力为斥力, F // k e2 ,∴F/=2F//,由力的合成知下夸克受力 F2 向上,B
9l 2
F//
正确.
F/
r
12
r600 r
2、 电场强度的理解和应用
【例 8】长木板 AB 放在水平面上如图所示，它的下表面光滑而上表面粗糙，一个质量为 m、电量
为 q 的小物块 C 从 A 端以某一初速起动向右滑行。当存在向下的匀强电场时，C 恰能滑到 B 端，
当此电场改为向上时，C 只能滑到 AB 的中点，求此电场的场强。
【解析】当电场方向向上时，物块 c 只能滑到 AB 中点，说明此时电场力方向向下，可知物块 C 所
带电荷的电性为负。
电场方向向下时有：μ（mg－qE）L=? mv02/2 一（m＋M）v2/2
mv0=（ m 十 M）v 电场方向向上时有：μ（mg＋qE）L/2=? mv02/2 一（m＋M）v2/2，
mv0=（ m 十 M）v
则 mg－qE =（mg＋qE），
得 E＝mg/3q
2

聚名师
【例 9】如图在场强为 E 的匀强电场中固定放置两个带电小球 1 和 2,它们的质量相等，电荷分别为
q1 和－q2．（q1≠q2）．球 1 和球 2 的连线平行于电场线，如图．现同时放开 1 球和 2 球，于是它们
开始在电场力的作用下运动，如果球 1 和球 2 之间的距离可以取任意有限值，则两球刚被放开时，
它们的加速度可能是（ ABC ）
A、大小不等，方向相同； B、大小不等，方向相反；
2
1
C、大小相等，方向相同； D、大小相等，方向相反；
解析：球 1 和球 2 皆受电场力与库仑力的作用,取向右方向为正方向,
则有
a1
q1E m
F库
, a2
F库
q2E m
; 由于两球间距不确定,故
F
库不确定
若 q1E－F 库>0, F 库－q2E>0,且 q1E－F 库≠F 库－q2E,则 A 正确;
若 q1E－F 库>0, F 库－q2E <0,且 q1E－F 库≠F 库－q2E ,则 B 正确;
若 q1E－F 库=F 库－q2E ,则 C 正确;
若 q1E－F 库≠F 库－q2E ,则 q1= q2 与题意不符,D 错误;
【例 10】半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为 m，
带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示，珠子所受静电力是其
重力的 3/4,将珠子从环上最低位置 A 点由静止释放，则珠子所能获得的最大动能 Ek 为多少？ 解析：设该珠子的带电量为 q,电场强度为 E.珠子在运动过程中受到三个力的作用，其中只有电场
力和重力对珠子做功，其合力大小为： F FE2 mg 2 5mg 4
设 F 与竖直方向的夹角为θ,如图所示,则
sin
FE
F
3 5
,
cos
mg
F
4 5
把这个合力等效为复合场，此复合场为强度 g/ 5g 4 , 此复合场
FE θ
与竖直方向夹角为θ,珠予沿园环运动，可以类比于单摆的运动，运
动中的动能最大位置是“最低点”,由能的转化及守恒可求出最大的
mg
F
动能为：Ekm=mg/r(1－cosθ) mgr 4
思考：①珠子动能最大时对圆环的压力多大？ ②若要珠子完成一个完整的圆周运动，在 A 点释放时，是否要给珠子一个初速度？
3、 电场线的理解和应用 【例 11】如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由 A—O—B 匀速飞过， 电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是 A．先变大后变小，方向水平向左 B．先变大后变小，方向水平向右 C．先变小后变大，方向水平向左 D．先变小后变大，方向水平向右 【分析】由等量异种电荷电场线分布可知，从 A 到 O，电场由疏到密；从 O 到 B，电场线由密到疏， 所以从 A—O—B，电场强度应由小变大，再由大变小，而电场强度方向沿电场切线方向，为水平向 右。由于电子处于平衡状态，所受合外力必为零，故另一个力应与电子所受电场力大小相等方向相
反。电子受的电场力与场强方向相反，即水平向左，电子从 A—O—B 过程中，电场力由小变大，再 由大变小，故另一个力方向应水平向右，其大小应先变大后变小，所以选项 B 正确 试题展示
1．在静电场中 a、b、c、d 四点分别放一检验电荷，其电量可变，但很小，结果测出检验电荷 所受电场力与电荷电量的关系如图 9—1—7 所示，由图线可知
图 9—1—7
A．a、b、c、d 四点不可能在同一电场线上
B．四点场强关系是 Ec＞Ea＞Eb＞Ed C．四点场强方向可能不相同
D．以上答案都不对
【解析】 根据 F＝Eq 知，在 F—q 图象中，E 为斜率，由此可得 Ec＞Ea＞Eb＞Ed，选项 B 正 确．
【答案】 B
2．电场强度 E 的定义式为 E＝F/q，根据此式，下列说法中正确的是
①该式说明电场中某点的场强 E 与 F 成正比，与 q 成反比，拿走 q，则 E＝0．
②式中 q 是放入电场中的点电荷的电量，F 是该点电荷在电场中某点受到的电场力，E 是该点
的电场强度 ．
③式中 q 是产生电场的点电荷的电量，F 是放在电场中的点电荷受到的电场力，E 是电场强
度．
④在库仑定律的表达式 F＝kq1q2/r2 中，可以把 kq2/r2 看作是点电荷 q2 产生的电场在点电荷 q1
处的场强大小，也可以把 kq1/r2 看作是点电荷 q1 产生的电场在点电荷 q2 处的场强大小．
A．只有①②
B．只有①③
C．只有②④
D．只有③④
【解析】 E＝ F 为电场强度的定义式，适用于各种电场，其中 q 为检验电荷的电量，F 为其 q
在电场中所受的电场力，电场强度 E 由电场决定，与检验电荷及其受力无关，故①、③错，②对．由
E＝
F q
和库仑定律 F＝ k q1q2 r2
知，k q1 r2
为
q1
在
q2
处产生电场的场强， k
q2 r2
为 q2 在 q1 处产生电场
3

聚名师
的场强，故④对，选 C．
【答案】 C
3．三个完全相同的金属小球 A、B 和 C，A、B 带电后位于相距为 r 的两处，A、B 之间有吸引
力，大小为 F．若将 A 球先跟很远处的不带电的 C 球相接触后，再放回原处，然后使 B 球跟很远
处的 C 球接触后，再放回原处．这时两球的作用力的大小变为 F/2．由此可知 A、B 原来所带电荷
是______（填“同种”或“异种”）电荷；A、B 所带电量的大小之比是______．
【解析】 由于 A、B 两球相互吸引，所以，它们原来带异种电荷．设原来的电量（绝对值）分
别为 qA、qB，则
F＝ k q Aq B
①
r2
A 与 C 接触后，剩余电荷为 1 qA，B 再与 C 接触后，若 qB＞ 1 qA，则剩余电荷为（ 1 qB－ 1 aA），
2
2
24
A、B 间仍为吸引力；若 qB＜ 1 qA，则剩余电荷为（ 1 qA－ 1 qB），A、B 间为斥力．由库仑定律得
2
42
1
F＝ k
1 2
q
A
(
1 2
qB
1 4
qA)
②
2
r2
或 1 F＝k
1 2
q
A
(
1 4
qA
1 2
qB)
③
2
r2
由①②得 qB＝ 1 qB－ 1 qA，显然这是不可能的，即第一种假设不符合题目条件． 24
由①③得 qA 6 ． qB 1
【答案】 异种；6∶1 4．在 x 轴上有两个点电荷，一个带电量 Q1，另一个带电量 Q2，且 Q1＝2Q2．用 E1 和 E2 分别 表示两个点电荷产生的场强的大小，则在 x 轴上 A．E1＝E2 之点只有一处，该处的合场强为 0 B．E1＝E2 之点共有两处，一处的合场强为 0，另一处的合场强为 2E2 C．E1＝E2 之点共有三处，其中两处的合场强为 0，另一处的合场强为 2E2 D．E1＝E2 之点共有三处，其中一处的合场强为 0，另两处的合场强为 2E2 【解析】 设 Q1、Q2 相距 l，在它们的连线上距 Q1x 处有一点 A，在该处两点电荷所产生电场 的场强大小相等，则有
k
Q1 x2
k
(l
Q2 x)2
即 x2－4lx+2l2＝0
解得 x＝ 4l 16l 2 8l 2 (2 2)l 2
即 x1＝（2+ 2 ）l，x2＝（2－ 2 ）l，说明在 Q2 两侧各有一点，在该点 Q1、Q2 产生电场的
场强大小相等，在这两点中，有一点两点电荷产生电场的场强大小，方向都相同（若 Q1、Q2 为异 种电荷，该点在 Q1、Q2 之间，若 Q1、Q2 为同种电荷，该点在 Q1、Q2 的外侧），在另一点，两电荷 产生电场的场强大小相等，方向相反（若 Q1、Q2 为异种电荷，该点在 Q1、Q2 外侧，若 Q1、Q2 为 同种电荷，该点在 Q1、Q2 之间）．
【答案】 B 5．质量为 4×10－18 kg 的油滴，静止于水平放置的两平行金属板间，两板相距 8 mm，则两板 间 电 势 差 的 最 大 可 能 值 是 ______V ， 从 最 大 值 开 始 ， 下 面 连 贯 的 两 个 可 能 值 是 ______V 和 ______V．（g 取 10 m/s2） 【解析】 设油滴带电量为 nq，则 nqE＝mg，即：
nq· U ＝mg d
当 n＝1 时，U 最大，即：
Umax＝ mgd q
＝ 4 1018 10 8.0 103 1.6 1019
V＝2 V
当 n＝2 时，
U2＝
mgd 2q
4 1018 10 8.0 103 2 1.6 1019
V
＝1 V 当 n＝3 时，
U3＝
mgd 3q
4 1018 10 8.0 103 2 1.6 1019
V
＝0.67 V
【答案】 2；1； 2 3
4

聚名师
6．有一水平方向的匀强电场，场强大小为 9×103 N/C，在电场内作一半径为 10 cm 的圆，圆 周上取 A、B 两点，如图 9—1—8 所示，连线 AO 沿 E 方向，BO⊥AO，另在圆心 O 处放一电量为 10－8 C 的正点电荷，则 A 处的场强大小为______；B 处的场强大小和方向为______．
【答案】 5mg+Eq； 1 Eq 3
8．如图 9—1—10，两个同样的气球充满氦气，气球带有等量同种电荷．两根等长的细线下端 系上 5.0×103 kg 的重物后，就如图 9—1—10 所示的那样平衡地飘浮着，求每个气球的带电量为多 少?
【解析】 由 E＝kQ/r2＝9.0×109×10－8/0.01＝9.0×103 N/C，在 A 点与原场强大小相等方向相 反．在 B 点与原场强方向成 45°角．
【答案】 0；9 2 ×103 N/C，与原场强方向成 45°角向右下方．
7．如图 9—1—9 所示，三个可视为质点的金属小球 A、B、C，质量分别为 m、2m 和 3m，B 球带负电，电量为 q，A、C 不带电，用不可伸长的绝缘细线将三球连接，将它们悬挂在 O 点．三 球均处于竖直方向的匀强电场中（场强为 E）．静止时，A、B 球间的细线的拉力等于______；将 OA 线剪断后的瞬间，A、B 球间的细线拉力的大小为______．
图 9—1—10 【解析】 分别对重物和小球分析受力如下图所示，对重物 2FTsinθ＝Mg
对气球 FT
′cosθ＝F′＝
k Q2 r2
，FT
′＝FT
解得：
Q＝
mg r2 cot 2k
5.0 103 10 2 9 109
0.62
0.3 ＝5.6×10－4 C 12 0.32
图 9—1—9
【解析】 线断前，以 B、C 整体为研究对象，由平衡条件得
FT＝5mg+Eq
①
OA 线剪断后的瞬间，C 球只受重力，自由下落，而由于 B 球受到向下的电场力作用使 A、B
一起以大于重力加速度的加速度加速下落，以 A、B 整体为研究对象，由牛顿第二定律得
Eq+3mg＝3ma
②
以 A 为研究对象，则
FT′+mg＝ma
③
由②③求得
FT′＝ 1 Eq 3
【答案】 5.6×10－4 C 9．水平方向的匀强电场中，一个质量为 m 带电量为+q 的质点，从 A 点射入电场并沿直线运动 到 B 点，运动轨迹跟电场线（虚线表示）夹角为α，如图 9—1—11 所示．该匀强电场的方向是________， 场强大小 E＝__________．
图 9—1—11 【解析】 应考虑物体还受 G 作用，G 与电场力的合力与 v 方向在同一直线上，可判定．
5

聚名师
【答案】 向左； mg cot q
10．一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性很好，内部有两个完全一样的弹性金属小球 A 和 B， 带电量分别为 9Q 和－Q，两球质量分别为 m 和 2m，两球从图 9—1—12 所示的位置同时由静止释 放，那么，两球再次经过图中的原静止位置时，A 球的瞬时加速度为释放时的______倍．此时两球 速率之比为______．
图 9—1—12 【解析】 两球相撞时正、负电荷中和后，剩余电荷再平分，即 A、B 碰后均带 4Q 的正电荷．由
动量守恒定律知，mvA＝2mvB，则 vA ＝2，则 A、B 同时由静止释放，相碰后必然同时返回到各自 vB
的初始位置．碰前、碰后在原来位置 A 球所受 B 球对它的作用力分别为
F＝
k
9Q r
2
Q
F′＝
k
4Q 4Q r2
即
F F
16 9
则碰后 A 球回到原来位置时的加速度 a′跟从该位置释放时 A 球的加速度 a 之比为
a 16 ． a9
【答案】 16 ；2∶1 9
11．在光滑绝缘的水平面上有两个被束缚着的带有同种电荷的带电粒子 A 和 B，已知它们的质
量之比 mA∶mB＝1∶3，撤除束缚后，它们从静止起开始运动，在开始的瞬间 A 的加速度为 a，则 此时 B 的加速度为多大？过一段时间后 A 的加速度为 a/2，速度为 v0，则此时 B 的加速度及速度分 别为多大？
【解析】 两电荷间的斥力大小相等，方向相反．由牛顿第二定律得，当 A 的加速度为 a 时，
aB＝ a ，同理当 A 的加速度为 a 时，aB＝ a ．由于初速度均为零，加速时间相同，故 A 为 v0 时，
3
2
6
vB＝ v0 ． 3 【答案】 a ; a ; v0 36 3
12．如图 9—1—13 所示，半径为 r 的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的正电荷，单位长度上 的电量为 q，其圆心Ｏ处的场强为零．现截去环顶部的一小段弧 AB，AB＝L<图 9—1—13 【解析】 根据对称性，除与 AB 弧关于圆心 D 对称的弧 A′B′（在底部）外，硬橡胶圆环上
剩余部分与其相应的对称点的电荷在圆心 D 处产生的电场抵消，故 O 点的电场等效为由 弧上的电
荷产生，由对称性知，
，由于 L<电场的场强方向竖直向上，大小为
E＝
k
Lq r2
【答案】
k
Lq r2
；方向竖直向上
13．有一绝缘长板放在光滑水平面上，质量为 m，电量为 q 的物块沿长木板上表面以一定初速
度自左端向右滑动，由于有竖直向下的匀强电场，滑块滑至板右端时，相对板静止，若其他条件不
变，仅将场强方向改为竖直向上，物块滑至中央时就相对板静止．求：（1）物块带何种电荷．（2）
匀强电场场强的大小．
【解析】（1）第二次滑行时，物块与木板间的摩擦力 Ff 较大，此时物块受电场力应竖直向下， 而场强 E 的方向向上，所以物块带负电．（2）由动量守恒知两次物块与木块相对静止时速度相同， 故两次系统产生的内能应相同，设木板长 L，动摩擦因数为μ，则应有：μ（mg－Eq）L＝μ（mg+Eq）
L
2
得 E＝mg/3q．
【答案】 负电；mg/3q
14 两个自由的点电荷 A 和 B，带电量分别为 4q 和 q，相距为 d，试问：在何处放一个怎样电
荷 C，能使 A、B、C 三个电点荷均处于静止状态?
解析：根据平衡的条件考虑电荷 C 的平衡，该电荷必须放在 A、B 的连线上，另外由于 A、B 的
电性未知，应分析两种情况：
6

聚名师
a．A、B 为异种电荷 如图 13—1—4 所示若 A、B 为异种电荷，对 C 的作用力一个为引力，一个为斥力，所以 C 不能 放在Ⅱ区域．由于 A 的电荷量大于 B，所以 C 应距 A 较远，距 B 较近，应放在区域Ⅲ设在离 B x 远 处电荷 C 平衡，应有
k 4qqc k qqe
(d x)2
x2
同时考虑到 AB 也要处于平衡状态，由电荷 B 平衡可得
k 4qq k qqe
d2
x2
联立求解得到 x=d qe 4q 而且 qe 的极性应与电荷 A 的相同．
根据牛顿的第三定律可得电荷 A 自然处于平衡状态． b．A、B 为同种电荷 同理分析，可知 C 应在区域Ⅱ，应用平衡的条件建立方程求解可得该点距离 B 为 d/3，C 应带
异种的电荷，所带的电量为 qe 4q / 9
答案：如 A、B 电性相同，该点距离 B 为 d/3 离 A2/3d，带异种的电荷，所带的电量为 qe 4q / 9 ；
如 A、B 电性不同，该点离 Bd，离 A 距离 2d，所带电量 4q． 15 两个相同的金属小球带有正负的电荷，固定在一定的距离上，现在把它们相接触后放在原
处，则它们之间的库仑力与原来相比将( ) A．变大 B．变小 C．不变 D．以上的情况均有可能 解析：由电荷的守恒定律可知，两球相接触时，正负电荷中和，余下的电荷重新分配，由于两
球完全相同，接触后两球所带的电量相同为
q1
q2 2
，其中 q1 为原来带正电小球的电量， q2 原来
带负电小球的电量，根据两球后来的作用力为
F
k
q1q2 r2
两球后来的作用力为 F ' k [(q1 q2 ) / 2]2 k (q1 q1 )2
r2
4r 2
两次的力的变化为 F
F 'F
k (q12
6q1q2
q
2 2
)
4r 2
显然， F
的值，决定于括号内的电荷量的取值范围，令：
y
k (q12
6q1q2
q
2 2
)
当：y=0 时，即 q1 (3 2 2)q2 时 F 0
当：y>0 时，即 q1 (3 2 2)q 2 时或 q1 (3 2 2)q 2
F 0 ，电场力变大
当 y<0 时，即 (3 2 2)q2 q1 (3 2 2)q2 时
F 0 ，电场力变小
综合上面的分析，答案 D 是正确的. 答案：D 16、下列关于带电粒子在电场中的运动轨迹与电场线的关系说法中正确的是 A．带电粒子在电场中运动，如只受电场力作用，其加速度方向一定与电场线方向相同 B．带电粒子在电场中的运动轨迹一定与电场线重合 C．带电粒子只受电场力作用，由静止开始运动，其运动轨迹一定与电场线重合 D．带电粒子在电场中运动轨迹可能与电场线重合 【解析】 电荷的运动轨迹和电场线是完全不同的两个概念，在分析有关问题时，既要明确二 者的本质区别，还要搞清二者重合的条件．电场线方向表示场强方向，它决定电荷所受电场力方向， 从而决定加速度方向，正电荷加速度方向与电场线的切线方向相同，负电荷则相反，故 A 错．带电 粒子的运动轨迹应由粒子在电场中运动的初速度和受力情况来决定，而该带电粒子所在运动空间的 电场的电场线可能是直线也有可能是曲线，带电粒子在电场力作用下只有满足：（1）电场线是直线； （2）粒子的初速度为零或初速度方向与电场线在一条直线上时，其运动轨迹才与电场线重合．故 B、C 错而 D 选项正确． 【思考】 （1）带电粒子在电场中能否做匀速圆周运动?若能，将是什么样的电场? （2）带电粒子在电场中仅在电场力作用下做“类平抛”运动时，电场力做正功还是负功?动能 和电势能如何变? （3）带电粒子从等量同种电荷连线的中点由静止开始运动（只受电场力），其轨迹如何?运动 性质如何? 【思考提示】 （1）能，电场方向应沿径向，且在圆周上各点场强大小相同，例如在点电荷的 电场中，带电粒子可以点电荷为圆心做匀速圆周运动． （2）电场力做正功．带电粒子的动能增加，电势能减小． （3）带电粒子在等量同种电荷连线的中点处于平衡状态．若带电粒子所带的电荷与两端的电
7

聚名师
荷相反，则它受到扰动离开平衡位置后，将沿两电荷的连线向一侧做加速度逐渐增大的加速直线运 动．若带电粒子所带的电荷与两端的电荷的电性相同，则它受到扰动后将沿两电荷连线的中垂线先 做加速度逐渐增大的加速运动，再做加速度逐渐减小的加速运动．
17、两个电荷量分别为 Q 和 4Q 的负电荷 a、b，在真空中相距为 l，如果引入另一点电荷 c， 正好能使这三个电荷都处于静止状态，试确定电荷 c 的位置、电性及它的电荷量．
【解析】 由于 a、b 点电荷同为负电性，可知电荷 c 应放在 a、b 之间的连线上，而 c 受到 a、 b 对它的库仑力为零，即可确定它的位置．
又因 a、b 电荷也都处于静止状态，即 a、b 各自所受库仑力的合力均要为零，则可推知 c 的带 电性并求出它的电荷量．
依题意作图如图 9—1—2 所示，并设电荷 c 和 a 相距为 x，则 b 与 c 相距为（l－x），c 的电荷 量为 qc．
对电荷 c，其所受的库仑力的合力为零，即 Fac＝Fbc．
均静止？ （3）本例中若 a、b 两电荷固定，为使引入的第三个电荷 c 静止，c 的电性、电量、位置又如
何？ 【思考提示】 （1）三个电荷必须在同一直线上，才能保证每一个电荷所受的其他两电荷施加
的库仑力等大反向．两端的电荷必须是同性电荷，中间的为异性电荷，才能保证每一个电荷所受的 两个力均反向．
（2）若 a 为+Q，b 为－4Q，则 c 应放在 ab 连线上 a、b 的外侧且在 a 侧距 a 为 l，qc＝－4Q．
（3）若 a、b 均固定，为使 c 静止，则 c 在 a、b 之间距 a 为 x＝ l 处（位置不变），c 可带正 3
电荷，也可带负电荷，电量也没有限制． 18、如图 9—1—3 所示，M、N 为两个等量同种电荷，在其连线的中垂线上的 P 点放一个静止
的点电荷 q（负电荷），不计重力，下列说法中正确的是
根据库仑定律有：
图 9—1—2
k qcQ k qc 4Q ．
x2
(l x) 2
解得：
x1＝ 1 l，x2＝－l． 3
由于 a、b 均为负电荷，只有当电荷 c 处于 a、b 之间时，其所受库仑力才可能方向相反、合力
为零，因此只有 x＝ 1 l． 3
三个电荷都处于静止状态，即 a、b 电荷所受静电力的合力均应为零，对 a 来说，b 对它的作 用力是向左的斥力，所以 c 对 a 的作用力应是向右的引力，这样，可以判定电荷 c 的电性必定为正．
又由 Fba＝Fca，
得： k qcQ k 4QQ ，
(l 3) 2
l2
即 qc＝ 4 Q． 9
【思考】 （1）像本例这种情况，要保证三个电荷都静止，三个电荷是否必须在同一直线上？ 两侧的电荷是否一定为同性电荷，中间的一定为异性电荷？
（2）若 a 为+Q、b 为－4Q，引入的第三个电荷 c 的电性、电量，位置如何，才能使 a、b、c
图 9—1—3 A．点电荷在从 P 到 O 的过程中，加速度越来越大，速度也越来越大 B．点电荷在从 P 到 O 的过程中，加速度越来越小，速度越来越大 C．点电荷运动到 O 点时加速度为零，速度达最大值 D．点电荷越过 O 点后，速度越来越小，加速度越来越大，直到粒子速度为零 【解析】 要想了解从 P 到 O 的运动情况，必须首先对中垂线上的电场强度的分布有一个比较 清晰的了解．由电场的“迭加原理”可知 O 点的场强为零，离 O 点无限远处的场强也为零，而中 间任意一点的场强不为零，可见从 O 经 P 到无限远处，场强不是单调变化的，而是先增大而后逐 渐减小，其中必有一点 P′，该点的场强最大．下面先将 P′的位置求出来，如图 9—1—4 所示，
设 MN
＝2a，∠P′MN＝θ，E1＝E2＝ k
Q r2
k
Q a2
cos2 ，由平行四边形定则可得
图 9—1—4
8

聚名师
E＝2E1sinθ＝2k
Q a2
cos2θsinθ
不难发现，当 sinθ＝
3 3
时，E
有最大值
4
3k Q 9a 2
．
如果点电荷的初始位置 P 在 P′之下或正好与 P′重合，粒子从 P 到 O 的过程中，加速度就一 直减小，到达 O 点时加速度为零，速度最大；如果粒子的初始位置在 P′之上，粒子从 P 到 O 的 过程中，加速度先增大而后减小，速度一直增大，到达 O 点时速度达最大值．故 C 选项正确．
【说明】 对于几种常见的电场，（点电荷的电场；等量同种电荷的电场；等量异种电荷的电场； 平行电容器间的电场等．）其电场线的大体形状、场强的特点等，在脑子中一定要有深刻的印象．
【设计意图】 通过本例说明电场的叠加原理及等量同种电荷电场的特点，特别是两电荷连线 中垂线上的电场分布．
※［例 4］如图 9—1—5 所示，两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬于 O 点，若 q1＞q2， l1＜l2，平衡时两球到过 O 点的竖直线的距离相等，则 m1______m2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
即 F sin 2 m2 g sin 2
对△m1m2O 有 l2 11 ，及 l1sinα1＝l2sinα2．
sin 1 sin 2
得： l2 sin 1 sin 1 ,即 sin 1 sin 2 l1 sin 2 sin 2 sin 1 sin 2
因 F＝F′，所以 m1g＝m2g，即 m1＝m2． 解法 2：m1、m2 两球均受到三个力作用，根据平衡条件和平行四边形定则作图 9—1—6，根据
题目条件知 Am2 Bm1 则
图 9—1—5 【解析】 分析清楚物体的受力情况，并利用平衡条件可求解． 解法 1：分析 m1 的受力情况如图 9—1—5 所示，由 m1 受力平衡，利用正弦定理得
F m1 g sin 1 sin 1
即 F sin 1 ． m1 g sin 1
同理，对 m2 有：
F m2 g ． sin 2 sin 2
△m1BD≌△m2AD
图 9—1—6
则有 m1D m2 D
由于 △FFTm1∽△DOm1 △F′FT′m2∽△DOm2
则 m1g F , m2 g F OD m1D OD m2 D
由于 F＝F′，所以 m1＝m2． 【说明】 （1）两电荷间的相互作用总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上（一对作用 力、反作用力），与它们的电量是否相等无关． （2）在电学中分析解决平衡问题，跟在力学中分析解决平衡问题的方法相同，仅是物体所受 的力多了一个电场力．
9