导数应用题答案
16.如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ． （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||
||
CD k AB ≤，k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．
值．
（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． …………1分
点B 的横坐标B x 满足方程2
90B
x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ………2分 所以2211
(||||)(223)(9)(3)(9)22
C S C
D AB y x x x x =
+?=+?-+=+-+． …4分 由点C 在第一象限，得03x <<．
所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． …………5分
（Ⅱ）解：由 03,,3
x x k <
?≤?? 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分
记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，
则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分
① 若13k <，即
1
13
k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x
(0,1)
1
(1,3)k ()f x '
+
-
()f x
↗ 极大值 ↘
所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． …………11分
② 若13k ≥，即1
03
k <≤
时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+- ………………13分
综上，
113k ≤<时，S 的最大值为32；1
03
k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．
17. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I ）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II ）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
x 313
8(0120).
12800080y x x x =
-+<≤40x =100
2.5
40=313(40408) 2.517.5
12800080?-?+?=x 100
x ()h x 3213100180015
()(8).(0120),
1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤33
22
80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤
令得
当时，是减函数； 当时，是增函数．
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25
升．
19. 已知函数x e x f =)(，点)0,(a A 为一定点，直线)(a t t x ≠=分别与函数)(x f 的图象和x 轴交于点N M ,，记△AMN 的面积为)(t S 。
（1）当0=a 时，求函数)(t S 的单调区间；
（2）当2>a 时，若]2,0[0∈?t ，使得e t S ≥)(0，求实数a 的取值范围。
7. 解：（Ⅰ）因为e a t t S '-=||2
1
)(，其中a t ≠ 当0=a ，e t t S '=
||2
1
)(，其中0≠t 当0>t 时，e t t S e t t S '+=''=
)1(2
1
)(,21)(， 所以0)(>'t S ，所以)(t S 在),0(+∞上递增， 当0 1 )(,21)(， 令0)1(2 1 )(>'+-='e t t S ，解得1- 1 )(<'+- ='e t t S ，解得1->t ，所以)(t S 在)0,1(-上递减 综上，)(t S 的单调递增区间为)1,(),,0(--∞+∞ '()0,h x =80.x =(0,80)x ∈'()0,()h x h x <(80,120)x ∈'()0,()h x h x >∴80x =()h x (80)11.25.h =()h x (0,120] （Ⅱ）因为e a t t S '-= ||2 1 )(，其中a t ≠ 当2>a ，]2,0[∈t 时，e t a t S '-= )(2 1 )( 因为]2,0[0∈?t ，使得e t S ≥)(0，所以)(t S 在]2,0[上的最大值一定大于等于e e a t t S '---=')]1([2 1 )(，令0)(='t S ，得1-=a t 当21≥-a 时，即3≥a 时 0)]1([2 1 )(>'---='e a t t S 对)2,0(∈t 成立，)(t S 单调递增 所以当2=t 时，)(t S 取得最大值2)2(2 1 )2(e a S -= 令 e e a ≥-2)2(21，解得22 +≥e a ， 所以3≥a 当21<-a 时，即3 0)]1([21 )(>'---='e a t t S 对)1,0(-∈a t 成立，)(t S 单调递增 0)]1([2 1 )(<'---='e a t t S 对)2,1(-∈a t 成立，)(t S 单调递减 所以当1-=a t 时，)(t S 取得最大值12 1)1(-=-a e a S 令e e a S a ≥= --1 2 1)1(，解得22ln +≥a 所以322ln <≤+a 综上所述，a ≤+22ln 20、已知函数()32 3f x ax bx x =+-在 1x =±处取得极值。 （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值 12,x x ，都有()()124f x f x -≤； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值 范围. （I ）()2 323f x ax bx '=+-，依题意()()110f f ''-==， 即,03230 323? ? ?=--=-+b a b a …………………………………………2分 解得a=1，b=0. ∴()3 3f x x x =-……………………………………………………4分 （II ）∵()33f x x x =-∴()()()2 33311f x x x x '=-=+-， 当－1 ()()()()max min 12,12f x f f x f =-===- (6) 分 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ， ()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-= (8) 分 （III ）f ′(x)=3x2－3=3(x+1)(x －1)， ∵曲线方程为y=x3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上. 设切点为M （x0，y0），则点M 的坐标满足.303 00x x y -= 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的斜率为 13)1(3003020 ---=-x m x x x ， 整理得03322 030=++-m x x . ∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线， ∴关于x0方程3322 030++-m x x =0有三个实根.……………………10分 设g(x0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x0)=602 06x x -， 由g ′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. ∴函数g(x0)= 3322 030++-m x x 的极值点为x0=0，x0=1………………12分 ∴关于x0方程3322 030++-m x x =0有三个实根的充要条件是 ?? ?<>0 )1(0 )0(g g ，解得－3 13（18）已知函数2 ()22a f x ax a x -=++-(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. （1）当 1=a 时，1()=- f x x x ，21 ()1f x x '=+ …………2分 3(2),2=f 5 (2)4 f '= …………3分 所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35 (2)24 - =-y x 即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x …………1分 2' 22 2(2) ()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x …………2分 当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，12==x x '()0,>f x 21;或> 所以，()f x 单调递增区间为(,)和-∞+∞，单调减区间为 (和. …………4分 （Ⅲ）因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有2 222ln 0(0)-++--≥>a ax a x a x 在[1,)+∞上恒成立。 所以，令2 ()222ln -=+ +--a g x ax a x x ， 则2' 222 2222(1)[(2)] ()---+-+-=--== a ax x a x ax a g x a x x x x . 令'()0,=g x 则122 1,-==-a x x a …………2分 若21-- =a a ，即1=a 时，' ()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立； …………3分 若21-- >a a ，即1 时，' ()0,()>g x g x 单调递增； 当2(1,)-∈- a x a 时，'