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排列组合问题经典题型与通用方法
1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .
例 1.
A,B,C, D, E
五人并排站成一排，如果
A, B
必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（
）
A 、 60 种
B 、 48 种 C
、 36 种
D
、 24 种
2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离
的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、 1440 种
B 、 3600 种
C 、 4820 种
D 、 4800 种
3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .
例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排， 如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B
可以不相邻）那么不同的排法有 （
）
A 、 24 种
B 、 60 种
C 、 90 种 D
、 120 种
4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 .
例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有（ ） A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种
5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 . 例 5. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务， 不同的选法种数是（ ） A 、 1260 种 B 、 2025 种 C
、 2520 种 D
、 5040 种
（ 2） 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口
4 人，则不同的分配方案有（ ）
A 、 C 124C 84C 44 种
B 、 3
C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 D
C 124 C 84C 44
、
A 33
种
6. 全员分配问题分组法 :
例 6. （ 1）4 名优秀学生全部保送到
3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
（ 2）5 本不同的书，全部分给
4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（
）
A 、 480 种
B
、 240 种
C
、120 种
D
、 96 种
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7.名分配隔板法 :
例 7： 10 个三好学生名分到7 个班，每个班至少一个名，有多少种不同分配方案？
8. 限制条件的分配分法:
例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建，其中甲同学不到川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9.多元分法：元素多，取出的情况也多种，可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。
例 9（ 1）由数字 0，1，2，3，4，5 成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
A、 210 种
B、300种
C、464种
D、600种
（ 2）从 1， 2，3?， 100100 个数中，任取两个数，使它的乘能被7 整除，两个数的取法（不
序）共有多少种？
（ 3）从 1， 2，3，?， 100100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不序）有多少种？
10.交叉集合法：某些排列合几部分之有交集，可用集合中求元素个数公式
n(A B) n( A) n(B) n(A B)
例 10. 从 6 名运中出 4 人参加 4×100 米接力，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参方案？
11.定位先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排个或几个元素；再排其它的元素。例 11. 1 名
老和 4 名同学排成一排照相留念，若老不站两端有不同的排法有多少种？
12.多排排法 : 把元素排成几排的可一排考，再分段理。
例 12. （ 1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（）
A、 36 种 B 、 120 种C 、720 种D 、 1440 种
（ 2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？
13. “至少”“至多” 用接排除法或分法:
例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型机各一台，不同的取法共有（）
A 、 140 种B、80种C、70种D、35种
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14. 排 先取后排 : 从几 元素中取出符合 意的几个元素， 再安排到一定的位置上， 可用先取后排法 . 例 14. （ 1）四个不同球放入 号 1，2， 3， 4 的四个盒中， 恰有一个空盒的放法有多少种？
（ 2）9 名 球运 ，其中男 5 名，女 4 名， 在要 行混合双打 ，有多少种不同的分 方
法？
15. 部分合条件 排除法 : 在 取的 数中，只有一部分合条件，可以从 数中减去不符合条件数，即
所求 .
例 15. （ 1）以正方体的 点 点的四面体共有（
）
A 、 70 种
B 、 64 种 C
、 58 种
D 、 52 种
（ 2）四面体的 点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（
）
A 、 150 种
B 、 147 种
C 、 144 种
D 、 141 种
16. 排 排法 : 把 n 个不同元素放在 周 n 个无 号位置上的排列， 序（例如按 ）不同的排
法才算不同的排列，而 序相同（即旋 一下就可以重合）的排法 是相同的，它与普通排列的区 在 于只 序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a 1 ,a 2, a 3 L ,a n ; a 2 ,a 3, a 4 , , a n , ; a n ,a 1, L ,a n 1
在 排列中只算一种，
因 旋 后可以重合， 故 相同， n
LL
个元素的 排列数有
n!
种 . 因此可将某个元素固定展成 排，其它的
n 1元素全排列 .
n
例 16. 有 5 姐妹站成一圈，要求每 姐妹相 ，有多少种不同站法？
17. 可重复的排列求 法 : 允 重复排列 的特点是以元素 研究 象， 元素不受位置的 束， 可逐一安
排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m n 种方法 .
例 17. 把 6 名 生分配到 7 个 共有多少种不同方法？
18. 复 排列 合 构造模型法 :
例 18. 路上有 号 1，2，3?， 9 九只路灯， 要关掉其中的三 ，但不能关掉相 的二 或三 ，也不能关掉两端的两 ，求 足条件的关灯方案有多少种？
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19. 元素个数少的排列合可以考枚法:
例 19. 有号 1， 2，3， 4， 5 的五个球和号 1， 2， 3， 4，5 的盒子将 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，
并且恰好有两个球的号与盒子号相同，有多少种不同的方法？
20. 复的排列合也可用分解与合成法:
例20. （ 1） 30030 能被多少个不同偶数整除？
（2）正方体 8 个点可成多少异面直？
21.利用思想化法 : 思想是教材中渗透的一种重要的解方法，它可以将复的化理 .
例 21. （ 1）周上有 10 点，以些点端点的弦相交于内的交点有多少个？
（ 2）某城市的街区有12 个全等的矩形成，其中表示路，从 A 到 B 的最短路径有多少种？
22.全位排列公式法 : 全位排列（卡，信封）住公式即可
瑞士数学家欧拉按一般情况出了一个推公式：用 A 、B、C??表示写着 n 位友人名字的信封， a 、
b、c??表示 n 份相的写好的信。把装的数作f(n) 。假把 a 装 B 里了，包含着个的一切装法分两：
（ 1） b 装入 A 里，每种装的其余部分都与A、 B、 a 、 b 无关，有 f(n-2) 种装法。
（ 2）b 装入 A 、B 之外的一个信封，的装信工作是把（除 a 之外的）份信 b、c??装入（除B 以外的） n － 1 个信封 A 、 C??，然装的方法有f(n-1) 种。
之在 a 装入 B 的之下，共有装法f(n-2)+f(n-1) 种。 a 装入 C，装入 D??的 n －2 种之下，同都有 f(n-2)+f(n-1) 种装法，因此 :
得到一个推公式：f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)} ，分入 n=2 、 3 、4 等可推得果。
也可用迭代法推出一般公式：f (n) n! (1 1 1 1 ( 1) n 1 )
1! 2! 3! n!
排列组合问题经典题型与通用方法解析版
1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列
.
例 1.
A ,
B ,
C ,
D , E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（
）
A 、 60 种
B 、 48 种
C 、 36 种
D 、 24 种
4 人的全排列， A 44
解析：把 A, B 视为一人，且
B 固定在 A 的右边，则本题相当于 24 种，
答案： D .
2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离 的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、 1440 种
B 、3600 种
C 、 4820 种
D 、 4800 种
解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A 55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A 62 种，不同的排法种数是 A 55 A 62 3600 种，选 B .
3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .
例 3. A, B,C, D, E
五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（
A, B
可以不相邻）那么不同的排法有
（ ）
A 、 24 种
B 、 60 种
C 、 90 种
D 、 120 种
解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是
5 个元素全排列数的一半，即
1
A 55 60 种，选
B . 2
4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 .
例 4.将数字 1 ， 2， 3， 4 填入标号为 1 ， 2 ，3， 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与 所填数字均不相同的填法有（
）
A 、 6 种
B 、9 种
C 、11 种
D 、 23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3×3× 1=9 种填法，选 B . 5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 .
例 5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务， 甲需 2 人承担， 乙丙各需一人承担， 从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，
不同的选法种数是（
）
A 、 1260 种
B 、 2025 种
C 、 2520 种
D 、 5040 种
解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7
人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 C 102C 81C 71
2520 种，
选 C .
（ 2 ）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，
若每个路口 4 人，则不同的分配方案有 （
）
A 、 C 124C 84 C 44
种
B 、 3
C 124C 84C 44
种
C
、 C 124C 84 A 33
种
C 124 C 84C 44
D 、 A 33 种
答案： A .
6. 全员分配问题分组法 :
例 6.（ 1 ） 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成
3 组有 C 42 种方法，再把三组学生分配到三所学校有
A 33 种，故共有 C 42 A 33 36 种方
法 .
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
.
（ 2 ） 5 本不同的，全部分 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数（）
A 、 480 种B、 240 种C、 120 种 D 、 96 种
答案： B .
7.名分配隔板法 :
例 7 ： 10 个三好学生名分到7 个班，每个班至少一个名，有多少种不同分配方案？
解析： 10 个名分到 7 个班，就是把 10 个名看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 木板，每一种插法着一种分配方案，故共有不同的分配方案C9684
种.
8. 限制条件的分配分法:
例8.某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建，其中甲同学不到川，乙不到
西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，有派遣方案A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余
学生有 A83 方法，所以共有3A83 ；③若乙参加而甲不参加同理也有3A83 种；④若甲乙都参加，先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余8 人到另外两个城市有A82 种，共有 7A82 方法 . 所以共有不同的派遣方法
4 3 3 2
数A8 3A8 3 A8 7 A8
4088 种 .
9.多元分法：元素多，取出的情况也多种，可按果要求分成不相容的几情况分数，最后.
例 9（ 1）由数字 0，1，2 ，3，4，5 成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
A 、 210 种B、 300 种C、 464 种 D 、 600 种
解析：按意，个位数字只可能是0，1，2，3，4 共 5 种情况，分有A55个， A41 A31 A33 , A31 A31 A33 , A21 A31 A33 , A31 A33 个，合并300 个, B
.
（ 2 ）从 1 ，2，3 ?， 100100 个数中，任取两个数，使它的乘能被7 整除，两个数的取法（不序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除，他的乘就能被7 整除，将 100 个数成的集合
全集 I, 能被 7 整除的数的集合做 A 7,14,21,L 98 共有 14 个元素 , 不能被 7 整除的数成的集合做 A 1,2,3,4, L ,100 共有86 个元素；由此可知，从 A 中任取 2 个元素的取法有C142，从A中任取一个，又从 A 中任取一个共有 C141C861 ，两种情形共符合要求的取法有C142 C141C861 1295 种.
（ 3 ）从 1 ， 2 ，3，?， 100100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不序）有多少种？
解析：将 I 1,2,3 L ,100 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集A 4,8,12,L 100 ；能被 4 除余 1 的数集B 1,5,9, L 97 ，能被 4 除余 2 的数集C 2,6,L ,98 ，能被 4 除余 3 的数集
D 3,7,11,L 99 ，易四个集合中每一个有25 个元素；从 A 中任取两个数符合要；从B, D 中各取
一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共
有C252 C251C125 C252种.
10.交叉集合法：某些排列合几部分之有交集，可用集合中求元素个数公式
n(A B) n( A) n(B) n(A B)
例 10. 从 6 名运中出 4 人参加 4× 100 米接力，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参方案？
解析：全集 =｛ 6 人中任取 4 人参的排列｝， A=｛甲跑第一棒的排列｝， B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参方法共有：
n(I) n(A) n(B) n(A B) A64 A53 A53 A42252种.
11.定位先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排个或几个元素；再排其它的元素。例 11. 1 名
老和 4 名同学排成一排照相留念，若老不站两端有不同的排法有多少种？
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解析：老师在中间三个位置上选一个有 A31种，4名同学在其余4个位置上有 A44种方法；所以共有 A31A44 72 种。 .
12.多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例 12. （ 1 ）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是（）
A 、 36 种B、 120 种C、 720 种D、 1440 种
A66 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共720 种，选C.
（ 2 ） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有A42种，某 1 个元素排在后半段的四个位
置中选一个有A41 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有A55 种，故共有 A41 A42 A55 5760 种排法.
13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）
A 、 140 种B、 80 种C、 70 种D、 35 种
解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法
共有 C93 C43 C53 70 种,选.C
解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同
的取法有 C52 C41 C51C42 70 台 , 选C .
14.选排问题先取后排 : 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14. （ 1 ）四个不同球放入编号为 1，2 ， 3 ，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，再排：在四个盒中每次排3个有 A43种，故共有 C42 A43 144 种.
（ 2 ）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各 2 名，有C52C42 种，这四名运动员混和双打练习有 A22 中排法，故共有 C52C42 A22 120 种 .
15.部分合条件问题排除法 : 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所
求 .
例 15. （ 1 ）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）
A 、 70 种B、 64 种 C 、58 种D、 52 种
解析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84 四面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点
共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84 12 58 个.
（ 2 ）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（）
A 、 150 种
B 、 147 种C、 144 种 D 、 141 种
解析： 10 个点中任取 4 个点共有C104 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四
点共面的情况为C64 ，四个面共有4C64 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；③过棱上三点
与对棱中点的三角形共 6 个 . 所以四点不共面的情况的种数是C104 4C64 3 6 141 种 .
16.圆排问题单排法 : 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排
法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在
于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a1 ,a2, a3 L ,a n; a2 ,a3, a4 ,L , a n,L ; a n,a1,L ,a n 1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，
n
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个元素的 排列数有
n!
种 . 因此可将某个元素固定展成 排，其它的
n 1 元素全排列 .
n
例 16. 有 5 姐妹站成一圈，要求每 姐妹相 ，有多少种不同站法？
解析：首先可 5
位姐姐站成一圈，属 排列有
A 44 种，然后在 插入其 ，每位均可插入其姐姐的左 和右 ，有 2 种方式，故不同的安排方式 24 25
768 种不同站法 .
明：从 n 个不同元素中取出
m 个元素作 形排列共有
1
A n m 种不同排法 .
m
17. 可重复的排列求 法 : 允 重复排列 的特点是以元素 研究 象， 元素不受位置的 束，
可逐一安
排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m n 种方法 .
例 17. 把 6 名 生分配到
7 个 共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名 生分配到 有 7 种不同方案，第二步：将第二名
生分配到 也有
7 种不同方案，依次 推，由分步 数原理知共有
76 种不同方案 .
18. 复 排列 合 构造模型法
:
例 18. 路上有 号 1 ， 2 ，3?， 9 九只路灯， 要关掉其中的三 ，但不能关掉相 的二 或三 ，
也不能关掉两端的两 ，求 足条件的关灯方案有多少种？
解析：把此 当作一个排 模型，在6 亮灯的 5 个空隙中插入 3 不亮的灯 C 53 种方法 , 所以 足条件
的关灯方案有 10 种 .
明：一些不易理解的排列 合 ，如果能 化 熟悉的模型如填空模型，排 模型，装盒模型可使 容易解决 .
19. 元素个数 少的排列 合 可以考 枚 法 :
例 19. 有 号
1 ，2，3 ，4，5 的五个球和 号 1 ，
2 ，3，4 ，5 的盒子 将 5 个球投入 5 个盒子
要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号 与盒子号 相同， 有多少种不同的方法？
解析：从
5 个球中取出 2 个与盒子 号有
C 52 种， 剩下
3 个球与 3 个盒子序号不能 ，利用枚 法分 析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子 ， 3 号球不能装入
3 号盒子，当 3 号球装入
4 号盒子 ， 4，
5 号球只有 1 种装法， 3 号球装入 5 号盒子 ， 4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，
因此 共装法数
2C 52 20 种 .
20. 复 的排列 合 也可用分解与合成法 :
例 20. （ 1 ）30030 能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把 30030 分解成 因数的形式： 30030=2× 3× 5×7× 11× 13；依 意偶因数 2 必取， 3， 5， 7， 11， 13 5 个因数中任取若干个 成成 ，所有的偶因数
C 50 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 32 个 .
（ 2 ）正方体 8 个 点可 成多少 异面直 ？
解析：因 四面体中 有
3 异面直 ，可将 分解成正方体的 8 个 点可构成多少个不同的四面体，
从正方体 8 个 点中任取四个 点构成的四面体有 C 84 12 58
个，所以 8 个 点可 成的异面直 有3
× 58=174 .
21. 利用 思想 化法 : 思想是教材中渗透的一种重要的解 方法， 它可以将复 的 化 理 . 例 21. （ 1 ） 周上有 10 点，以 些点 端点的弦相交于 内的交点有多少个？
解析：因 的一个内接四 形的两条 角 相交于 内一点，一个 的内接四 形就 着两条弦相交
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于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C104个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C104个.
（ 2 ）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 A 到 B 的最短路径有多少种？
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 A 到 B 最短路线必须走7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段；
而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C74种. 第9 页共9 页
计数原理与排列组合经典题型
计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A
排列组合专题复习与经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法． 2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法． 特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列. 4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 5．排列数公式：）、（+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒： 规定0!=1
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题） （1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。 解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法 答案：66 。 （2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。 解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法 第二个小球有5种放法 …… 第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1； 思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A 6 6。 答案：720。 （3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。 解析：平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出2个，为C 2 6； 然后从剩下的4个球中选出2个，为C 2 4； 最后剩下2个球，为C 2 2； 但是：C 2 6取出AB 球、C 2 4取出CD 球、剩EF 球； C 2 6取出AB 球、C 2 4取出EF 球、剩CD 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出AB 球、剩EF 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出EF 球、剩AB 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出AB 球、剩CD 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出CD 球、剩AB 球； 得到的结果是一样的，故按照C 2 6C 2 4C 2 2组合完成后还应除去A 3 3， 答案：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3 （4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。 解析：平均分组后再分配的问题 平均分组得到的结果为C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A 3 3的排列 答案：C 2 6C 2 4C 2 2 （5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。 解析：非平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， 首先从6个球中选出1个，为C 1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C 2 5； 最后剩下3个球，为C 3 3； 注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种
排列组合典型例题(带详细答案)
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
排列组合问题经典题型(含解析)
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高考排列组合典型例题
高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．
高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空
排列组合典型例题
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
[超全]排列组合二十种经典解法!
[超全]排列组合二十种经典解法!
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同1 的方法，…，在第n类办法中有 m种不同的方 n 法，那么完成这件事共有： 第 2 页共 22 页
种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方1 法，…，做第n步有 m种不同的方法，那么完 n 成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 第 3 页共 22 页
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒： 规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
高中数学排列组合典型例题精讲
概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
排列组合问题经典题型与通用方法(全面)
（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种， 答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有4 4A 种方法；所以共有143472A A =种。 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2 4A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（一）排序问题