人教版数学备课资料高考中的超几何分布.
高考中的超几何分布
超几何分布是一种非常重要的概率模型，在现实生活和生产实际中有着广泛的应用．由于超几何分布列问题涉及知识面广，综合性强，且能较好地考查同学们运用所学知识分析和解决问题的能力，因而成为近年高考命题的重点，在选择、填空和解答题中都有出现．下面以近两年高考题为例加以说明．
例１ （2004年全国高考吉林卷）从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，
解析：由题意，得0232251(0)0.110C C P X C ====，1132236(1)0.610
C C P X C ====， 20322
3(2)0.3C C P X C ===（或(2)1(0)(1)10.10.60.3P X P X P X ==-=-==--=）． 故随机变量Ｘ的概率分布为
点评：本题主要考查了组合、离散型随机变量分布列的知识、概率的计算及超几何分布列的求法．
例2 （2005年高考重庆卷改编）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券１张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值Ｘ（元）的概率分布列．
解析：（1）024621015211453C C P C =-=-=（或11204646210302453
C C C C P C +===），即该顾客中奖的概率为23
． （2）X 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元），且02462101(0)3
C C P X C ===，11362102(10)5C C P X C ===，232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ===，
11132101(60)15
C C P
X C ===． 故X 的分布列为
点评：本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力．
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
超几何分布与项分布
10 超几何分布与二项分布 ?选择题（共9小题） 则p （!< i 今）的值为（ 则 P ( 1^X €013)等于( A .—〔丄)2012 6. （2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方 法来检测.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为 P 1和P 2.则（ ） A . P 1=P 2 B . P 1V P 2 C . P 1> P 2 D .以上三种情况都有可能 1. （2004?辽宁）已知随机变量 E 的概率分布如下，则 P （ e =io ）=（ E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 2 2 |2 2 2 2 2 _2_ 1 ￥ 33 34 35 3 3s 2 B . 2 C . 1 310 39 m D.- 310 2. （2011?黄冈模拟）随机变量 2、3、4、 …），其中a 是常数, r=2 +1，贝y n 的期望值是（ -1 L P 1 2 1 6 1 3 29 3& 4.设随机变量X 的概率分布为 (k=1 , 2, 3, 4, 5),则P 绪g) A .亠 Io 5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为 上，次品率为「现对该批电子手表进行测试，设第 X 次首次测到正品, E 的概率分布规律为 (n=1、 A . 1 B . 3. （2008?石景山区一模）已知随机变量 E 的分布列为且设
A ■ J B ? _ C ? _ D ?； [16 24^ 243 245 8 （2012?衡阳模拟）已知随机变量严N （0, a2）,且p （4 1）=p （M a-3）的值为（） A . 2 B . - 2 C. 0 D . 1 9. 设随机变量匕N （0, 1），若P （E翱=p,则P （- 1 v M 0）=（） A . 1- P B. P C. D ?丄—p 二?填空题（共5小题） 10. ________________________________________________________________________________________________ （2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 _____________________________________ . 11?有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为___________________________________ . 12. ____________________________________________________________________________________ （2010?枣庄模拟）设随机变量X?B （n，0.5），且DX=2，则事件X=1 ”的概率为_______________________________________________ （作数字作答.） 13. 若随机变量X服从二项分布，且X?B （10，0.8 ），贝U EX、DX分别是___________________________，____________ . 14. （2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为丄，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生3 得到面试的公司个数.若P （X=0 ）=—，则随机变量X的数学期望E （X）= . 12 -------------------------------------------------------- 三.解答题（共3小题） 15. （2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n （ 2《韦，且n希）个， 其余的球为红球. （I ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （H ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； |15| （川）在（n）的条件下，从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球 记3分.用E表示取出的2个球所得分数的和，写出E的分布列，并求E的数学期望E E
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三 点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????== ． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是? ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． A B C D F P
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交 AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
高中立体几何常用结论、定理
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布 一．选择题（共9小题） 1．（2004?辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（） ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A．B．C．D． 2．（2011?黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（） A．B．C．D． 3．（2008?石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（） A．1B．C．D． 4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）A．B．C．D． 5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品， 则P（1≤X≤2013）等于（） A．B．C．D． 6．（2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（） A．P1=P2B．P1＜P2 C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能 7．（2011?潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）
A．B．C．D． 8．（2012?衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（）A．2B．﹣2 C．0D．1 9．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（） A．1﹣p B．p C． +p D． ﹣P 二．填空题（共5小题） 10．（2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是_________．11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_________．12．（2010?枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为_________（作数字作答．）13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是_________，_________．14．（2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________． 三．解答题（共3小题） 15．（2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球． （Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．
高中数学竞赛讲义_平面几何
平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有
高一数学必修2空间几何部分公式定理大全
必修2空间几何部分公式定理总结 棱柱、棱锥、棱台的表面积 设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即 . 设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即 . 设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 . 柱、锥、台的体积公式 柱体体积公式为：，（为底面积，为高） 锥体体积公式为：，（为底面积，为高） 台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高） 球的体积和表面积 球的体积公式 球的表面积公式
其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关. 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点. 空间中直线与平面位置关系有且只有三种： 直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面平行——没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 两个平面的位置关系只有两种： 两个平面平行——没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥，∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线 是异面直线.
高中数学常用平面几何名定理
高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 定理2 Ceva定理 定理3 Menelaus定理 定理4 蝴蝶定理定理 内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 定理5 张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 定理7 Eular line： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC 的费尔马点。 定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心 定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心 在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面 0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 2、九点圆： 任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
(完整版)高中立体几何八大定理
l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： 符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行
n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用：线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言： 符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用：面面垂直?线面垂直
数学高考复习点拨 二项分布与超几何分布辨析
二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ??? ，． 03031464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴；12131448(1)55125P X C ????==?= ? ?????； 212 31412(2)55125P X C ????==?= ? ?????；30 33141(3)55125P X C ????==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15 C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为
辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每Array次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物 的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别： 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布........ 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。下面举例进行对比辨析。1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。 2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的3个条件成立时应用的)。 超几何分布和二项分布的区别：
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C. 由BP ＝CQ,可知△DBP ≌△AQC.有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC. 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE.求证：∠EBA ＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知△PBA ≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE.由∠BAF ＝∠BCE,可知 ∠BAF ＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA ＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂 线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ. 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. 由BD 平行∠ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN. 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC. 由CE 平分∠BCA,知GP 平分∠FGA.有PK ＝PM.于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK,就有PM ＋PN ＝PQ.证法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3
超几何分布和二项分布的联系和区别精编版
超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢? 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释. 诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的 教材中的定义: (一)超几何分布的定义 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n N k -n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布 (二)独立重复试验和二项分布的定义 1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则 P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率 为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。 1.本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题 2.计算公式 超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE . 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂 线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ . 证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷. 3 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A D B P Q C 图1 P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3
最新高中数学几何定理知识点总结
高中数学几何定理知识点总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这 条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互 相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两
个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全 等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角 的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相 等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上 的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都 等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三 角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所 对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的 所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
二项分布和超几何分布的数学期望
二项分布的数学期望 X～b(n,p)，其中n≥1,0 E (X ) = E (X 1) + … + E (X n ) = nM N ． 余弦定理性质 对于任意三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积： 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b 、a*c 就是a 乘b 、a 乘c 。a^2、b^2、c^2就是a 的平方，b 的平方，c 的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的角分别是A 、B 、C ，则 有 a ＝ b ·cosC ＋ c ·cosB ， b ＝ c ·cosA ＋a ·cosC ， c ＝a ·cosB ＋b ·cosA 。 注：以“a ＝b ·cosC ＋c ·cosB”为例，b 、c 在a 上的射影分别为b ·cosC 、 c ·cosB ，故名射影定理。 证明1：设点A 在直线BC 上的射影为点D ，则AB 、AC 在直线BC 上的射影分别为BD 、CD ，且 BD=c ·cosB ，CD=b ·cosC ，∴a=BD+CD=b ·cosC ＋c ·cosB .同理可证其余。 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA ，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a ·cosB ＋b ·cosA .同理可证其它的。 正切定理 2/)tan(2 /)tan(βαβα-+=-+b a b a 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三 角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC ，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R 为三角形外接圆半径 切割线定理 ∵PT 切⊙O 于点T ，PBA 是⊙O 的割线 ∴PT^2=PA·PB （切割线定理）中要的数学几何定理