2019清华北大自主招生测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题

清华北大自主招生测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题

（考试时间：90分钟，总分100分）

一、选择题：本大题共6小题．每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设12,z z 为一对不相等的共轭复数，且2

112

=3,z z z 为实数，则12-z z 的值为

（ ）

A ．3

B ．6

C ． 3

D ．23

2.若点P 在曲线2=--1y x 上，点Q 在曲线2=1+x y 上，则PQ 的最小值为（ ）

A ．32

B ．

322 C ．324 D ．32

8

3.在ABC 中，三边和三角满足3

cos -cos =5a B b A c 则

tan =tan A

B

（ ） A 。3 B 。4 C 。5 D 。6

4.如图，在正四棱锥P?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A?PB?C 的平面角的余弦值为（ ）

A.

71 B. 71-

C. 2

1

D. 2

1-

5.设P 是函数()2=+>2y x x x

图像上任意一点，过点P 分别向直线=y x 和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则=PA PB ?（ ）

A ．1

B ．2

C ．-1

D ．-2

6.某情报站有A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每

D

A

B

C P

M

周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使用A 密码，则第七周也使用A 密码的概率为（ ）（用最简分数表示）

A ．

4381 B ．61243 C ．48243 D ．61

81

选择题答题处： 1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( )

二、解答题(每题16分,共64分)

7.设函数()()2

=1-n n f x x x 在1

,12??

????

上的最大值为n a ()=1,2,3,n （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求证：对任何正整数()2n n ≥，都有()

2

1

+2n a n ≤

成立；

（3）设数列{}a n 的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有7

S <16

n 成立。

8.在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角

=45BOC ∠，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出

x 的取值范围。

229. 0,0,,,,

,,,,;,.

x y a x y b x xy y c m

xy m x y a b c m >>=+=++=已知问是否存在正数使得对于任意正数可使为一个三角形的三条边？如果存在求出的值如果不存在请说明理由

10.20个巫师孤岛聚会。在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他9个巫师的诅咒。

数学与逻辑测评试题答案

（考试时间：90分钟，总分100分）

二、选择题：本大题共6小题．每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．中学联盟网 1、C 2、C 3、B 4、B 5、C 6、B 二、解答题（每题16分，共64分）

7.设函数()()2

=1-n n f x x x 在1

,12??????

上的最大值为n a ()=1,2,3,n （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求证：对任何正整数()2n n ≥，都有()

2

1

+2n a n ≤

成立；

（3）设数列{}a n 的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有7

S <16

n 成立。

解：（1）利用导数可求得()()

()+21

,=18=4,2+2n n n n a n n n ???

??≥??………………………5分

（2）当2n ≥时，欲证

()

()

+2

2

41

2,1+4n +2+2n

n

n n n n ??≤≥ ???只需证 利用二项式展开式可以得出结论。………………………10分 （3）当n=1,2时结论显然成立 当3n ≥时由（2）可知()

()

+2

2

41

11<

-+1+2

+2+2n

n n n n n n ≤

结论得证。…………………

16分

8.在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角

=45BOC ∠，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出

x 的取值范围。

解：由广义勾股定理（平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和）()()2222211

OB +=

+=+1(1)22

OC AB BC x ………………………2分

在OBC 中，有余弦定理

2222

2

BC =+-2cos +OC -2=1(2)

OB OC OB OC BOC OB OB OC ?∠∴?………………………4分

由（1）（2）得2-1

=

(3)22

x OB OC ?………………………6分

21-1

=4=4sin =2=22ABCD OBC x S S OB OC BOC OB OC ∴?∠?………………………8分

故()()22-1-1==22x x AB h x h x x

?∴………………………10分 由（3）可得2-1>0,>1x x ∴………………………12分

因为()221-1

(2)(3)+12

><<2+1222

x x ≥由得解得（结合x 1）1x …………………14分

综上所述()2-1

=,1<<2+12x h x x x

………………………16分

229. 0,0,,,,

,,,,;,.

x y a x y b x xy y c m xy m x y a b c m >>=+=++=已知问是否存在正数使得对于任意正数可使为一个三角形的三条边？如果存在求出的值如果不存在请说明理由

易知当m=1时成立，所以这样的m 存在。……………………16分 10.20个巫师孤岛聚会。在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他9个巫师的诅咒。

解析：20个巫师，共可作成320C 个“三巫组”，每个组至少诅咒过一人，故被诅咒过的巫师至少有320C 人次，………………………4分 设W 是受到诅咒最多的一个巫师，他被m 个“三巫组”诅咒过，则

3

20

=5720

C m ≥，………………………8分

22,,,.4m a x y b x xy y c m xy =+=++=?????????解：设存在这样的正数使为三角形的三条边分

,20,30,0,8x y a x b x c mx ==>=>=>???????若则分

,,,2323,.12a b c a c b b c a m m +>+>+>-<<+????????由解得此为需要满足的必要条件分

若这m 个“三巫组”中，总共含有k 个巫师，这k 人共可组成3k C 个“三巫组”， ………………………10分 因此，357k C m ≥≥，………………………12分 注意到，当3k ≥时，组合数3k C 严格递增；因为

33

89=56<57,=84>57C C ，………………………14分

由此得9k ≥。………………………16分