江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题及答案

江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题

2019．5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}

1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2)

考点：集合的运算 解析：∵02x <<，

1x >

∴12x << ∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i

2i

a z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22

a a

z -=

=--，因为复数z 的模为1， 所以2

1144

a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．

答案：48

考点：频率分布直方图

解析：15(0.03750.0125)0.75-?+= 212(0.75)6

÷?＝48

4．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．

答案：7

考点：算法初步

解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．

5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式2

2

1x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣

8

π 考点：几何概型

解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝

88π-＝1﹣8

π

． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosC

a b

=，则A ＝ ． 答案：

2

π

考点：三角函数与解三角形

解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosC

sin A sin B

=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2

π

．

7．已知等比数列{}n a 满足11

2

a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ．

答案：8

考点：等比中项 解析：∵2434(1)

a a a =-

∴2

334(1)a a =-，则3a ＝2

∴

22

3

5

1

2

8

1

2

a

a

a

===．

8．已知函数

221

()

log(1)1

x

a

x

f x

x x

?+≤

=?

->

?

，

，

，若[(0)]2

f f=，则实数a的值是．

答案：2

考点：分段函数

解析：∵0

(0)223

f=+=

∴[(0)](3)log2a

f f f

==

∵[(0)]2

f f=

∴log22

a

=，解得a＝2．

9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是cm．

答案：4

考点：圆柱、球的体积

解析：设此圆柱底面的半径是r cm．

得：322

4

386

3

r r r r

πππ

?+=?

解得：r＝4

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0)的右顶

点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为．

答案：

1

3

考点：椭圆的离心率

解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝

1

2

BQ

∴

AM AF

BQ BF

=，则

1

2

a c

a c

-

=

+

求得

a＝3c，即e＝

1

3

．

11．设函数()sin(2)

3

f x x

π

=+，若

12

x x<，且

12

()()0

f x f x

+=，则

21

x x

-的取值范围是．

答案：(

3

π

，+∞)

考点：三角函数的图像与性质

解析：不妨设

12

x x

<<，则

2121

x x x x

-=-，由图可知

21

0()

33

x x

ππ

->--=．12．已知圆C：22

(1)(4)10

x y

-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．

答案：[2，6]

考点：圆的方程

解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥

2

2

，即

CA

CP

≥

2

2

，设点P(5，

y)，则

2

10

16(4)

y

+-

≥

2

2

，解得2≤

y≤6．

13．如图，已知P是半径为2，圆心角为

3

π

的一段圆弧AB上一点，AB2BC

=

u u u r u u u r

，则PC PA

?

u u u r u u u r 的最小值为．

答案：5﹣13

考点：平面向量数量积

解析：取AC中点M，由极化恒等式得

222

19

PC PA PM AC PM

44

?=-=-

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，要使PC PA

?

u u u r u u u r

取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2

﹣13

2

，代入求得PC PA ?u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．

14．已知实数a ，b ，c 满足2121a c

b c e

e a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22

a b +的

最小值是 ． 答案：

1

5

考点：函数与导数

解析：设()(1)x

u x e x =-+，则()1x

u x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1x

e x ≥+； 可知211221a c

b c e

e a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时

取等； 即2121a c

b c e

e a b +--+=++，210a c b c +=--=．

解得22

2

2

2(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当1

5

c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r

＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθ

θ

?+的值；

（2）若a b =r r

，0＜θ＜π，求θ的值．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．

（1）求证：OM∥平面PAD；

（2）求证：OM⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为

1

2

，P是

椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y

轴于点T(0，1

8

)，求直线PQ的斜率．

18．（本小题满分16分）

如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；

（2）试求地块的绿化面积()

Sα的取值范围．

19．（本小题满分16分）

数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝

1()

2

n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．

（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；

（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

若函数()()f x g x +和()()f x g x ?同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．

（1）试判断()f x x =与2

()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；

（2）若()x

f x e =与2

()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +

附加题

21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按

作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A选修4-2：矩阵与变换

变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩

阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.

B.选修4-4:极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.

C.选修4-5:不等式选讲

已知函数若存在实数x，使不等式

成立，求实数m的最小值，

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

在四棱锥

△P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD.

(1)求二面角P-EC-D的余弦值；

(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，

指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

23.（本小题满分10分）

已知非空集合M满足MN*若存在非负整数

使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；

(2)求的表达式.