圆柱圆锥的侧面展开图

典型例题一

例 矩形的边

，

，以

为轴旋转一周得到的圆柱体的表

面积是（ ） （A ） （B ）

（C ）

（D ）

分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（

）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.

典型例题二

例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．

解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π

5

则圆柱表面积为π

+

=π

?π?+=5060)5(260S 2

． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π

3 则圆柱表面积为π

+

=π

?π?+=1860)3(260S 2

． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．

典型例题三

例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2

cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm

（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302

cm π （B ）602

cm π （C ）902

cm π （D ）1202

cm π

分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.

典型例题四

例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2

∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．

∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．

说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．

典型例题五

例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是

2cm ______.

（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 2

1

=扇求得2cm 15π，

（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.

典型例题六

例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.

分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ?，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系

,22

2l l

ππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,2

2l

C π=

又.2r C π= ,22

2l l

ππ=∴

得r l 2= ① 在SOA Rt ?中，2

2

2

10+=r l ② 由①、②得：cm.2

3

20cm,2310==

l r ∴所求圆锥的侧面积为

)cm (3

200332033102πππ=??

==rl S

典型例题七

例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．

解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=?π?2418018

240

∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=π

π

cm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ）， ∴圆锥的轴截面积S=

57256242

1

=??（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．

典型例题八

例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．

略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．

π=+??π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．

（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．

π=+??π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．

（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=

512

543=

? π=??π+??π=+=5

84

35124512S S S 2

1侧侧全（cm 2）

． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．

典型例题九

例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．

解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，

则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=

πα

180

l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ．

∴r 2r 2180

π=?πα，∴?=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．

典型例题十

例 已知：

斜边

，以直线

为轴旋转一周得一表面积为

的圆锥，则这个圆锥的高等于 .

分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半. 此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为

的长，关键在于求底面半

34

5

A

B

C 34

5

A

B

C

D

A

B

S l r

径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.

典型例题十二

例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.

解 （1）).cm (3002001002

2

πππππ=+=+=rl r S 圆锥表

（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ?中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.

（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ?中，

.30,2

1

sin ?=∴==

ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由180

2l

r βππ=

得?=180β，

∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.

说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.

典型例题十二

例 圆锥的轴截面是等腰PAB ?，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且

2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？

分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.

解：如图，扇形的圆心角.1203

1

360360οοο

=?=?

=l r

ο60='∠∴PB A ，在PM A '?中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.12

1

='=

A P PN ,32

3

5.1322=

-='∴N A MN A Rt '?中，.74

1

42722=+=

+'='MN N A M A

典型例题十三

例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：

π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）

解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.102

2

2

=+l l ∴25=l （负值已舍）.

又 )cm (19.189)525(514.3)(,5102

1

2≈+??=+=∴=?=

r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=?

答 至少要油漆473.0克.

说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.

选择题

1．在矩形ABCD 中，CA AB ≠，分别以直线AB ，AC 为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（） A ．底面积相等，侧面积也相等 B ．底面积不等，侧面积相等 C ．底面积相等，侧面积不相等 D ．底面积不等，侧面积也不等

2．如图，已知圆锥的高为cm 4，底面半径为cm 3，则圆锥侧面展开图的面积为（）

A ．2

cm 9π

B ．2

cm 15π

C ．2

cm 24π

D ．2

cm 30π

3．一个圆锥的高为cm 310，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（） A ．2

cm 002π B ．2

cm 003π C ．2cm 004π

D ．2

cm 603π

4．在ABC ?中，?=∠90C ，a BC =，b AC = )(b a >，分别以AC ，BC 所在的直线为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为1S ，2S ，则1S 和2S 的大小关系为（） A ．21S S >

B ．21S S =

C ．21S S <

D ．以上情况都有可能

5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（ ）

（A ）1 （B ）π （C ）π4 （D ）4

6．在△ABC 中，,90,4,3ο

=∠==A AC AB 把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ；把Rt △ABC 绕直线AB 一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则

=21:S S （ ）

（A ）3:2 （B ）4:3 （C ）9:4 （D ）56:39

7．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）

（A ）12.5厘米 （B ）25厘米 （C ）50厘米 （D ）75厘米

8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）

（A ）60° （B ）90° （C ）120° （D ）180°

9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（ ）

（A ）π8 （B ）π4 （C ）π16 （D ）8

10．一张矩形纸片，两边长分别为2cm 和4cm ，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一定是（ ） （A ）2

cm 24π或2

cm 48π （B ）2

cm 32π或2

cm 20π （C ）2

cm 24π或2

cm 32π （D ）2

cm 20π或2

cm 48π

参考答案：

1．B 2. B 3. B 4. A 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．D. 9．A 10．A.

填空题

1．用边长分别为π8和π6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 . 2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为 . 3．已知矩形ABCD ，一边AB=30㎝，另一边AD =9㎝，以直线AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 2

cm （结果用π表示）.

4．已知一矩形的长为AB =6，宽AD =4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，得到的立体图形的表面积为 .

5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为 .

6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的 倍，母线是高的 倍.

7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S ，则底面积是________

8. 矩形ABCD 的边cm 4=AB ，cm 2=AD ，以直线AD 为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_______2

cm

9. 底面直径是0cm 1，高是cm 12的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形的面积是______2cm

10. 一个圆锥形零件的高为0cm 1，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为______cm ，母线长为______cm ，侧面积为______2

cm ，表面积为_____2

cm 11. 若一圆锥的侧面积为

4

15π

，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________. 12．若一个圆锥的母线长是5cm ，底面半径是3cm ，则它的侧面展开图的面积是 2

cm . 13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 . 14．已知圆柱底面半径为π

2

，高为10，则圆柱侧面积是 .

参考答案:

1．;916ππ和 2．π60； 3．π702； 4．ππ3242或； 5．

38π；6．1，2.7.4

S

8. π16 9. 等腰 60 10. cm 10，cm 210，2cm 2100π 2cm )12(100π+11. ?150. 12．π15

13．6cm 14．40.

解答题

1．已知圆柱的底面半径为2cm ，圆柱的高为3cm ．求它的侧面积． 2．已知圆柱的底面直径为4cm ，圆柱的高为5cm ．求它的全面积． 3．已知圆拄的高为4cm ，侧面积为40πcm 2．求它的全面积．

4．已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，以AB 为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆

柱的全面积；再以BC 为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．

5．已知圆锥的母线长为6cm ；底面半径为2cm ．求它侧面展开图的圆心角的度数． 6．已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积． 7．已知圆锥的高为6cm ，底面半径为8cm ．求这个圆锥的侧面积． 8．在如图所示的矩形ABCD 中，cm 2=AB ，cm 3=BC ，MN 是

它的一条对称轴。以AB 为轴旋转一周得一圆柱，再以MN 为轴，旋转半周又得一圆柱，分别求出这两个圆柱的表面积。

9．已知矩形的一边是另一边的两倍，以矩形长边的垂直平分线为轴，将矩形旋转?180，得一侧面积2

cm 32π的圆柱，求这个矩形的边长。

10．已知菱形的周长为20厘米，有一角为?60，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，求所成的旋转体的表面积。

11．已知圆锥的底面半径为

cm 3

1

8，圆锥的侧面展开图的圆心角为?150，求圆锥母线的长。 12．一个圆锥的高为33厘米，侧面展开图是半圆，求：母线与底面半径之比；锥角的大小及圆锥的表面积. 13．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为a 的正方形，求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线之比.

14．圆锥的母线与底面直径相等，求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角. 15．如图，已知圆锥的母线6=AB ，底面半径2=r ，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角α.

参考答案与提示：

1.12πcm 2．

2. 28πcm 2．

3. 50πcm 2．

4. （8+8/π）cm 2 （8+2/π）cm 2 第一个表面积

大．5.120°．6. 64π/9 cm 2．7. 80πcm 2． 8．2cm 30π；2cm 5.10π9．cm 4、cm 810．2

cm 52π

11．cm 20

12．如图所示：AO 为圆锥的高，经过AO 的剖面是等腰△ABC ，

则AB 为锥面的母线l ，BO 为底面半径r .

A

B

C

∵ 圆锥的侧面展开图是半圆，

,2l r ππ=∴即2:=r l .

,2=r

l

Θ

即AB =2OB ， ∴∠BAO =30°，故∠BAC =60°，即锥角为60°.

在Rt △AOB 中，.33,2,2

22==+=h r l r h l 又

).(2736322平方厘米底侧表πππππ=+?=+=+=∴r rl S S S

13．圆柱的侧面展开图是一个边长为a 的正方形，

∴ 圆柱的母线长为a ，底面圆的周长为a ，则底面圆的半径为.2π

a ∴圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为：.2:1:2ππ

=a a

14．设圆的母线长为a ，则底面半径为

2

a . ∴展开图确定的扇形的弧长为a π，扇形所在圆的半径为a ，设弧所对的圆心角为θ，则,180

ο

a

a θππ=

∴ο

180=θ

∴扇形的弧所对的圆心角为180°.

15．设扇形半径为R ，弧长为l ，则6==AB R ，ππ42==r l . ∵180

R

l απ=，∴?=120α.