数字信号处理-王雪梅老师

时域离散随机信号处理及实现（王雪梅老师）作业1

（1）按下表整理复习离散傅立叶变化相关内容

作业2

（1）用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性。具体指标参数：πω2.0=p ，dB p 1=α，πω35.0=s ，dB s 10=α. （2）用双线性变换法设计上述数字低通滤波器。 （3）对上述两种方法所求结果进行分析、比较。

(1)脉冲响应不变法

相应的模拟滤波器的指标，取采样周期T=1s ，

0.2,1p

p p rad s db

T

ωπαΩ===

0.35,10s

s s rad s db

T

ωπαΩ=

==

题设要求通带和阻带具有单调下降特性，所以选择巴特沃斯滤波器。

通带波纹幅度参数：0.5088ε==

阻带波纹幅度参数：20

10 3.1623s A α==

过度比：

47p s k =ΩΩ=

偏离参数：

10.1696

k ==

巴特沃斯滤波器阶数：()()1lg lg 3.1704

N k k ==，可取N=4

3db 截至频率：)

1210.2659N

c s

A rad s

πΩ=Ω-=

根据：

()()121221

,k N

i N N c k k k D s s p p e

π-??+ ???

==-Ω=∏

查表

可得p 1=-0.3827+j0.9239,p 2=-0.3827-j0.9239,p 3=-0.9239+j0.3827,p 4=-0.9239-j0.3827 归一化系统函数：

()()()()()12341

G p p p p p p p p p =

----

去归一化，得到模拟低通滤波器的系统函数：

()()()()()()1234|c c

a p s c c c c H s G p s p s p s p s p =ΩΩ==

-Ω-Ω-Ω-Ω

将H a (s)化为：()4

1k

a k k A H s s s ==-∑

形式。

其中

k c k s p =Ω?

A 1=0.094+0.0939i, A 2=0.094-0.0939i,A 3=-0.227+0.2221i,A 3=-0.227-0.2221i 可以得到脉冲响应不变法所求数字滤波器

()324

1

4

3210.04560.10270.01541 1.9184 1.65460.68530.1127k k s T k A z z z

H z e

z z z z z -=++==--+-+∑

脉冲响应法设计的数字滤波器频率无非线性畸变，耗损函数与模拟滤波器相似，在接近采样频率处衰减明显小于模拟滤波器，出现混叠失真。

(2)双线性变换设计数字低通滤波器 取T=2s

非线性预畸变

()tan tan 0.10.3249,1p p p rad s db

T ωπα??

Ω==== ??? ()tan tan 0.1750.6128,10s s s rad s db

T ωπα??

Ω==== ???

通带波纹幅度参数：0.5088ε==

阻带波纹幅度参数：20

10 3.1623s A α==

过度比：

0.5302

p s k =ΩΩ=

偏离参数：

10.1696

k ==

巴特沃斯滤波器阶数：()()1lg lg 2.7966

N k k ==，可取N=3 3db 截至频率：

()

12210.4249N

c s

A rad s

Ω=Ω-=

去归一化，得到模拟低通滤波器的系统函数：

()()()()()()

32220.07671|0.42490.42490.1805c c

a p s c c c H s G p s s s s s s =ΩΩ===

+Ω+Ω+Ω+++

双线性变换：

()()11123

123

110.033530.10060.10060.03353|10.42490.88270.19a z s z

z z z H z H s z z z ---------=++++==-+-

由图可见频率非线性畸变会造成数字滤波器的耗损函数与模拟滤波器耗损函数不同，双线性变换没有频谱混叠。

作业

3

（1）对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带KHz f 5.10≤≤内衰减小于dB 1，阻带∞≤≤f KHz 5.2上衰减大于dB 40。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR 数字滤波器实现上述滤波要求，采样频率KHz F s 10=。用窗函数法设计满足要求的FIR 数字滤波器，求出)(n h ，并画出损耗函数曲线和相频特性曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。

数字滤波器指标

2/2 1.5/100.3p p s f F ωπππ

==?=

2/2 2.5/100.5s s s f F ωπππ==?=

为了使滤波器的阶数尽量低，选择凯塞窗，由

40s dB α=，则

()()0.4

0.5842210.07886 3.3953

21s s βαα=-+-=

数字滤波器过度带宽度：

0.2s p βωωπ

?=-=

滤波器阶数：

8

2.28522.2887

s M B

α-=

=?，取M=23

所以窗长度取N=24

理想低通滤波器的通带截止频率()20.4c s p ωωωπ

=+=

希望逼近的频率响应函数

(),0,j c

j d c e H e ωτ

ω

ωωωωπ-?≤?=?

<≤??

其中

()1211.5

N τ=-=

傅里叶反变换得到

()()()

sin 0.411.51.2151c

c

j i n d n h n e e d n ωωτωω

πωπ

π--

-????

=

=

-?

对理想响应函数加窗可得满足要求的线性相位FIR 数字滤波器

()()()()()

()

2411.5sin 0.1154.d n h n h n n n n πωωπ-????

==

-

作业4

（1）3.17（用matlab 仿真）

(1)

可以看出fft 快速算法计算计算自相关函数与直接公式计算自相关函数基本重合，但fft 快速算法计算计算自相关函数用时0.000844 秒，直接公式计算自相关函数用时0.035199 秒。计算时间大幅减少。

作业5

用matlab 编程仿真分析：

（1）3.17（3） AR 参数谱

（1）实际计算中，常对ω在2π内均匀采样，则可以用计算模型参数a k 的FFT 变换得到p 阶AR 模型的功率谱

2

22210

???j l p M AR M j

lk M

k

k S e a

e ππ

σ--=??= ???

∑

其中，M为采样点数。

作业6

（1）242

P，6-15，用RLS和LMS算法实现)

(n

u的线性预测。并对两种方法进行分析、比较。

(1)RLS算法

单次实验结果如下图：

(2)LMS算法

单次实验结果如下图：

作业7

1、考虑AR 过程)(n u ，其差分方程)()2()1()(21n v n u a n u a n u +-+--=，其中

)(n v 是零均值、方差为0731.02=v σ的加性白噪声。AR 参数975.01-=a ，

95.02=a 。

（1）产生512=N 点的),...,2,1)((N n n u =样本序列。

（2）令)(n u 为二阶线性预测器)2(LP 的输入，在05.0=μ、005.0=μ的情况下用LMS 滤波器来估计1w 和2w 。

（3）在（2）的参数条件下，滤波器进行100次独立实验，通过平均

预测误差)(?)()(n u

n u n e -=的平均值，计算剩余均方误差和失调参数，并画出学习曲线。

（4）改变005.0=μ，其它参数不变，计算剩余均方误差和失调参数，并画出学习曲线，比较05.0=μ和005.0=μ是二者学习曲线的区别。

由图可见步长越大收敛速度越快。