微积分 朱来义 第二版答案Chapter 8-B 习题

B 组

1.求下列级数的和：

(1)21

1

arctan 1n n n ∞

=++∑; (2)

1

n ∞

=。

解: (1) 21

arctan

1

n u n n =++, 令arctan(1),arctan ,n n n n =+=αβ则

(1)tan tan tan tan(),(1)11tan tan n n

n n n n n

n n u n n +--=

==-+++?αβαβαβ

因此，,n n n u =-αβ从而

[]211

1

arctan arctan(1)arctan arctan(1)arctan1,1n

n

n k k S k k n k k ====+-=+-++∑∑

[]lim lim arctan(1)arctan1,2

4

4

n n n S n →∞

→∞

=+-=

-

=

π

π

π

即

21

1arctan

.14

n n n ∞

==++∑π

(2)

n

n

n k k S ===

=

11n

k ===-∑ 因此，

1

lim 1.n n n S ∞

→∞

===

2. 已知级数

1

1(1)

2n n n a ∞

-=-=∑，211

5n n a ∞

-==∑，证明级数1

n n a ∞

=∑也收敛, 并给出级数的和。

解:

1211

1

1

2(1)8.n n

n n n n n a

a a ∞

∞

∞

--====--=∑∑∑

3. 若数列{a n }满足lim ,n n a →∞

=∞证明：

(1) 级数

11()n n n a a ∞

+=-∑发散; (2) 级数1111n n n a a ∞

=+??

- ???∑收敛，且和为1

1.a 解: (1)1

111

(),n

n k k n k S a

a a a ++==

-=-∑显然()11lim lim ,n n n n S a a +→∞

→∞

=-=∞

因此级数

1

1

()n n n a

a ∞

+=-∑发散;

(2) 11111111

,n

n k k

k n S a a a a =++??=

-=- ?

??∑ 从而1

11111

lim lim .n n n n S a a a →∞

→∞+??=-=

??? 4. 已知正项级数

1n

n u

∞

=∑收敛，证明级数

21

n

n u

∞

=∑也收敛。

证明: 设1

,n n k

k S u ==

∑ 21

,n

n

k

k T u

==∑则

24212342122,n n n n n T u u u u u u u u u S -=+++<++++++=

由于数列{S 2n }是有上界的单调数列，即 S 2n

21

n

n u

∞

=∑收敛.

5.设

11

,,0,n n n n n n

a b a b a b ++≤>证明: (1) 如果级数

1n

n b

∞

=∑收敛，则级数

1n

n a

∞

=∑收敛；

(2) 如果级数

1

n

n a

∞

=∑发散，则级数

1

n

n b

∞

=∑发散。

证明: 由于

11

,,0,n n n n n n

a b a b a b ++≤> 因此

111111

n n n n n n a a a a b b b b +-+-≤≤≤≤ ，即 11111111n n n n n n n n a a a

a b b b b b b -++++-≤≤≤≤ 由比较判别法可知： (1) 如果级数

1n

n b

∞

=∑收敛，则级数

1n

n a

∞

=∑收敛；

(2) 如果级数

1

n

n a

∞

=∑发散，则级数

1

n

n b

∞

=∑发散。

6. 设 ,1,2,,n n n a b c n ≤≤= 证明:如果级数

1

1

,n n

n n a c

∞∞

==∑∑收敛，则级数

1

n

n b

∞

=∑收敛。

证明: 由于,1,2,,n n n a b c n ≤≤= 因此0,1,2,,n n n n b a c a n ≤-≤-=

又因为级数

1

1,n n

n n a c

∞∞

==∑∑收敛，从而

()1

n

n n c

a ∞

=-∑收敛，

从而级数

()1

n

n n b

a ∞

=-∑收敛。

利用

()1

1

n

n

n

n n n b a b

a ∞

∞

===+-????∑∑可知级数1n n b ∞

=∑收敛。

8.已知级数11

(1)()n n

n x a n -∞

=--∑在x >0时发散,在x =0时收敛，试确定a 的取值范围.

解: 由级数11(1)()n n n x a n -∞

=--∑在x =0时收敛，即级数11

(1)()n n

n a n -∞

=--∑收敛，因此必有a < 0,

令y = x -a , 则1111

(1)()(1)n n n n

n n x a y n n --∞

∞==---=∑∑

， 且收敛半径R=1, 从而收敛区间为（a -1,a +1）

再由级数11

(1)()n n

n x a n -∞

=--∑在x >0时发散可知, a +1=0,即a = -1.

9. 已知级数

2

n

n u

∞

=∑收敛，证明级数

n

n u n ∞

=∑绝对收敛。

证明: 221112n n u u n n ???

≤+ ???

， 又因为级数2

0n

n u ∞

=∑，201n n ∞

=∑收敛，从而级数0n n u

n

∞

=∑绝对收敛。

10. 讨论下列级数的敛散性：

(1) 211

;(23)

q

n n n ∞

=++∑

(2) 1n ∞

=; (3) 1

;5n p n a n

n n ∞

=++∑ (4)

1

1

44

01(1)d .n n x x -∞

=??+????

∑?

解：(1) 设2211

,,(23)n n q q

u v n n n

=

=++则 22lim lim ,1,(23)q

n q

n n n

u n v n n →∞→∞==++ 当q>1/2时，级数211(23)q n n n ∞

=++∑收敛;当q ≤1/2时，级数211

(23)

q

n n n ∞

=++∑发散。

(2)

n u =

=，12

4n p v n

+=

，则

1

2

lim

2p n

n n n

u v +→∞==

当p>1/2

时，级数

1

p n n ∞

=收敛;当p ≤1/2

时，级数1

p

n n ∞

=发散。 (3) 1

1(1)55

lim lim lim (1)6(1)6n p p n n p p n n n n

u a n n n n n a a u n n n n a n ++→∞→∞→∞+++++=?==++++++ 因此,

①当|a |<1时级数15

n p n a n n n ∞

=++∑绝对收敛;

②当|a |＞1时级数1

5n p n a n

n n ∞

=++∑发散;

③当a ＝1时级数15

n p n a n

n n ∞

=++∑变化为15p n n n n ∞

=++∑，

设11,,5n n p p n u v n n n -==++则1

lim lim 15p n p n n n

u n n v n n -→∞→∞?==++，

当p>2时，级数15p n n n n ∞

=++∑收敛;当p ≤2时，级数15

p n n

n n ∞

=++∑发散。

④当a ＝－1时级数15n p n a n n n ∞

=++∑变化为1

(1)5n p n n

n n ∞

=-++∑，

设则1

lim lim 15p n p n n n

u n n v n n -→∞→∞?==++，

当p>2时，级数1

(1)5n p n n

n n ∞

=-++∑绝对收敛;

当1

1

~,5n p p n u n n n

-=

++由莱布尼茨判别法可知 级数1(1)5n p n n n n ∞

=-++∑收敛，因此级数1(1)5n p n n

n n ∞

=-++∑条件收敛。

当p ≤1时，(1)lim lim 0,5n n p n n n u n n →∞→∞-=≠++级数1(1)5

n p n n

n n ∞

=-++∑发散。

(4)由于

1

115344

4

2

4

20

1(1)d 2

d 2,3n

n

x x x x n +≤=??

?

因此1

15

44

4302

1(1)d 32n n u x x n --??=+≤???????

由级数

5

4

31

2

132n n

∞

-

=??

∑ 的收敛性可知级数

1

1

44

01(1)d n

n x x -∞

=??+????

∑?也是收敛的。 11. 求证当1a ≠时，级数21

(1)(1)(1)n

n

n a a a a ∞

=+++∑ 绝对收敛。 证明: 令2,(1)(1)(1)

n

n n

a u a a a =+++ 则 11lim

lim ,1n n n n n u a

r u a

++→∞

→∞==+ 当1a <时，r = a <1, 级数21(1)(1)(1)n

n

n a a a a ∞

=+++∑ 绝对收敛; 当1a >时，r = 0 <1, 级数21

(1)(1)(1)n

n

n a a a a ∞

=+++∑ 绝对收敛; 当1a =时，r = 1/2<1, 级数21(1)(1)(1)

n

n

n a a a a ∞

=+++∑ 绝对收敛; 综上所述,

当1a ≠-时，级数21

(1)(1)(1)n

n

n a a a a ∞

=+++∑ 绝对收敛。 12. 求下列级数的收敛域：

(1) 1

(1)1;211n

n n x n x ∞

=--?? ?-+??∑ (2)

11ln ;3n

n x ∞

=??

??

?∑ (3) 1

1

(1);4n

n

n x ∞

=-+∑ (4) 221

(1).(1)

n x x n n ∞

=++-∑ 解: (1)令1,1x y x -=+则11

(1)1(1),21121n

n n n

n n x y n x n ∞∞

==---??= ?-+-??∑∑ 121lim

lim 1,21

n n n n a n a n +→∞

→∞-==+ 当y=1, 级数1

(1)21n

n n ∞

=--∑条件收敛, 当y=-1, 级数1121n n ∞

=-∑发散。

因此，幂级数1(1)21

n n

n y n ∞

=--∑的收敛域为(]1,1.-

从而111,1x

x

--<

≤+即0.x ≥ 因此级数1

(1)1211n

n n x n x ∞

=--??

?-+??∑的收敛域为[)0,.+∞

(2). 令1ln ,3y x =则11

1ln ,3n

n n n x y ∞∞

==??

= ???∑∑

由于幂级数

1

n

n y ∞

=∑的收敛域为(-1,1)， 从而3ln 3,x -<<即33e <

n

n x ∞

=?? ???∑的收敛域为()33

e ,e .-

(3) 由于111

1,1()4lim

lim

()

41,1n

n n n n n x u x x x u x x x ++→∞

→∞?<<+?==?+?≤?

， 因此，幂级数0(1)4n

n

n x

∞

=-+∑的收敛域为(,1)(1,).-∞-+∞ (4) 令2

1,y x x =++则22211(1)(1)(1)

n

n n n x x y n n n n ∞

∞

==++=--∑∑

由于1(1)

lim lim 1,(1)n n n n

a n n a n n +→∞→∞-==+因此幂级数21(1)n n y n n ∞

=-∑的收敛域为[-1,1]。

从而2

111,x x -≤++≤即10.x -≤≤

因此级数

221

(1)(1)

n n x x n n ∞

=++-∑的收敛域为[-1,0]. 13. 求210(1)42421n n n n x

n ∞

+=--+∑π

的收敛域，并求出级数0

(1)21n

n n ∞

=-+∑的和。 解: 由于21

1

(1)arctan ,[1,1],21n n n x x x n +∞

=-=∈-++∑

因此，212100(1)4(1)112(2)arctan 2,,2121

22n n n n n n n x x x x n n ∞

∞++==--??

==∈-??++??∑∑

从而有210(1)4112arctan 2,,.421

422n n n n x x x n ∞

+=-??

-=-∈-??+??∑π

π

0(1)arctan1.21

4n n n ∞

=-==+∑π 14.设2ln(1)

,0()0,

0x x f x x

x ?+≠?

=??=?， (1)将f (x )展开成x 的幂级数，给出收敛域;

(2)求f (45)(0) ;

(3) 利用f (x )的展开式计算1

1

(1)(1)n n n n -∞

=-+∑的和。

解: (1)当-1

1(1)ln(1),1n n n x x x n +∞

=-+=+∑

因此21

(1)(),[1,1]1n n n x f x x n +∞

=-=∈-+∑。

(2)由麦克劳林级数()0

(0)()!

n n

n f x f x n ∞

==

∑

有 ()21

00

(0)(1),!1n n n n n n f x x n n +∞

∞

==-=+∑

∑ 比较x 45

的系数，有

(45)22(0)(1)1

,45!22123

f -==+即(45)45!(0).23f =

(3) 11111

(1)(1)(1)(1)(1)1n n n

n n n f n n n n --∞

∞

∞===---=+=+++∑∑∑