1991考研数三真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.

(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,

则a = _______,b = _______,c = _______.

(3) 设()x f x xe =,则()()n

f x 在点x = _______处取极小值 _______.

(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ??=

???

为分块矩阵,则1

X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为

0,

1,0.4,11,(){}0.8,13,1,

3.x x F x P X x x x <-??-≤

=≤=?

≤

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 下列各式中正确的是 ( )

(A) 01lim 11x x x +→??+= ??? (B) 01lim 1x

x e x +→??

+= ??? (C) 1lim 1x

x e x →∞??-=- ??? (D) 1lim 1x

x e x -→∞

??

+= ???

(2) 设1

0(1,2,)n a n n

≤≤

= 则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)

1n n a

∞

=∑ (B)

1(1)

n

n n a ∞

=-∑

(C)

n ∞

=2

1

(1)n n n a ∞

=-∑

(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*

A 的特征根之一是( )

(A) 1

n A λ

- (B) 1A λ- (C) A λ (D) n

A λ

(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )

(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=

(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =?,则 ( )

(A) ()()()D XY D X D Y =? (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立

三、(本题满分5分)

求极限 120lim x x nx

x

x e e e n →??

+++

???

,其中n 是给定的自然数.

四、(本题满分5分)

计算二重积分D

I ydxdy =??,其中D 是由x 轴,y 轴与曲线

1=所围成的区域,0,0a b >>.

五、(本题满分5分)

求微分方程22dy

xy

x y dx

=+满足条件2x e y e ==的特解.

六、(本题满分6分)

假设曲线1L ：()2

101y x

x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面

积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.

七、(本题满分8分)

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；

需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++ 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？

八、(本题满分6分)

试证明函数1()(1)x

f x x

=+在区间(0,)+∞内单调增加.

九、(本题满分7分)

设有三维列向量

1232

1110111111,,,,λααλαβλλλ+????????

????????==+==????????

????????+????????

问λ取何值时,

(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?

十、(本题满分6分)

考虑二次型222

12312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二

次型.

十一、(本题满分6分)

试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是

1112121222120T T T n T T T n

T T T n n n n

D αααααααααααααααααα=

≠

,

其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .

十二、(本题满分5分)

一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.

十三、(本题满分6分)

假设随机变量X 和Y 在圆域2

2

2

x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分)

设总体X 的概率密度为

1,0,

(;)0,0,a

a x ax e x p x x λλλ--?>?=?≤??

其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本

12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量?λ

.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy

e

xy ydx xdy +

【解析】方法一：先求出两个偏导数

z x ??和z y

??,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy

xy xy z e xy y ye xy x z

e xy x xe xy y

??=??=???

???=??=???, 所以 sin sin cos cos xy xy z z

dz dx dy ye xydx xe xydy x y

??=

+=+?? sin cos ()xy

e xy ydx xdy =+.

方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .

()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.

(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =

【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则

()()110

10

f a

g b c -=--=???

-=+=??, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即

()()

()211

133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,

亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.

(3)【答案】()1x n =-+；()

1n e

-+-

【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()

()

()(

)

0n

n k

n k k n k uv C u v

-==∑可知,

()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n x

n n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++

00()x x x xe ne x n e =++++=+ . 对函数()()

()n g x f

x =求导,并令()0g x '=,得

()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,

解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+??

'>>-+?函数严格单调递减函数严格单调递增；

；

故()1x n =-+是函数()()

()n g x f

x =的极小值点,极小值为

()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.

(4)【答案】11

0B A --?? ???

【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有

123

40000

X X A E X X B

E ??????

= ? ? ?????

??,

由对应元素或块相等,即34

12,0,0,.

AX E AX BX BX E =??=??=??=?

从A 和B 均为可逆矩阵知1

13412,0,0,X A X X X B --====.故应填11

0B A

--?? ???

. (5)【答案】

【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且

{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则

{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=

因此X 的概率分布为

二、选择题(本题满分(1)【答案】(A)

【解析】由重要极限1lim(1)x

x e x

→∞

+=可知,

极限 (1)

111lim(1)lim[1()]

x x x x e x x

-?--→∞→∞-=+-=,

(1)

111lim(1)lim(1)

x x x x e x x

-?--→∞→∞+=+=. 而极限 001

1

1lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim(1)lim x x x x x x x x x x x e e e x

++

→→+++++→→+===, 令1

t x

=

,则 0

1

ln(1)1

lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t

t +

→+∞→+∞→++==+洛,

所以 01

lim ln(1)001lim(1)1x x x x x e e x

+

→++→+===.

故选项(A)正确.

(2)【答案】(D)

【解析】因为2

221(1)n

n

n

a a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知2

1

(1)n n n a ∞

=-∑绝对收敛.

即(D)正确.

另外,设1

(1,2)2n a n n

=

= ,则可知 (A) 111111

22n n n n a n n ∞

∞

∞=====∑∑∑

, (C) 1

11212n n n n

∞∞

∞===== 都不正确.

设2121

0,(1,2)4n n a a n n

-==

= ,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).

【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.

两端同时乘以*

A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*

A X A X λ=.于是

*1A X A X λ-=.

按特征值定义知1

A λ

-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.

(4)【答案】(D)

【解析】A B A B = ,如果A B =Ω ,则A B =?,即A 与B 互不相容；如果

A B ≠Ω ,则A B ≠?,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.

任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =?,从而

A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容

等同于A 、B 相互独立而错选(C).

A ,

B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此

()()0P AB P =?=,()()()P AB P A P B .≠

即(C)不正确. 用排除法应选(D).

事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-=

(5)【答案】(B)

【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有

cov(,)()()()0,

()()2cov(,)()()().

X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+

故应选(B).

【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：

1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；

4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.

三、(本题满分5分)

【解析】方法一：这是 1∞

型未定式极限.

1

220112ln lim 00lim lim x x nx

x x nx x

x e e e e e e x x nx

x

n x n x x e e e e e

n →????

++++++ ? ? ? ???

??

→→??+++== ???

20ln()ln lim

x x nx x e e e n x e

→+++-= ,

其中指数上的极限是

型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln lim x x nx x e e e n x

→+++-

220212(1)1lim 22

x x nx x x nx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++ . 所以 1

1

220lim n x

x

nx

x

x e e e e n +→??

+++= ???

. 方法二：由于 1

12211x x nx

x x nx

x

x

e e e e e e n n ????

++++++=+-

? ?????

,

记21x x nx

e e e y n

+++=

- ,则当0x →时0y →,从而

111

2000lim lim(1)lim (1)y x x nx x

x

y

x

x x x e e e y y n →→→????

+++=+=+?? ??????

?

. 而1

lim(1)y y y e →+=,所以01lim 0lim (1)

x y y x

y

x

x y e

→→?

?+=?????

?

. 又因 200(1)(1)(1)

lim lim x x nx x x y e e e x nx

→→-+-++-=

2000111111

lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n →→→??---+=++++++=????

洛. 所以 1

1

220lim n x

x

nx

x

x e e e e n +→??

+++= ???

.

四、(本题满分5分)

【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.

1,

得2

1y b ?= ?. 因此

(

(

2

2

4

12

120

00

1122b a b a

a

D

b I ydxdy dx ydy dx y dx ???

=

=== ??

???????

??.

令1t =有2

(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故

4

2

2

401

12(1)22

a b b I dx t a t dt ?==- ???

1

5

621

24520

0()5630

t t ab ab t t dt ab ??=-=-=

????.

五、(本题满分5分)

【解析】将原方程化为

2

221y dy x y x

y dx xy

x ??+ ?+??==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy du u x dx dx =+将其代入上式,得2

1dy du u u x dx dx u

+=+=

,

化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 2

1ln .2

u x C =+ 将y

u x

=

代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.

六、(本题满分6分)

【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：

由()()

2

2

1010y x x y ax a ?=-≤≤??= >?? 得

1x ,a y .a ?=????=?+?

所以 1

1

2120

(1)S S S ydx x dx =+=

=-?

?

1

3012

33

x x ??=-=????,

(

)(

)2

2

2

10

111S x ax dx a x dx ??=--=-+??

30

13a x x +?=-=

???又因为12S S =,

所以

223=,

2=,解得3a .=

七、(本题满分8分)

【解析】方法1：总收入函数为

2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,

总利润函数为

()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++???? 2

2

11223202120051395p .p p .p =-+--. 由极值的必要条件,得方程组

11

2

2

3204012010L

.p ,p L .p ,

p ??=-=????

??=-=??? 即1280120p ,p ==.

因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为

1

2

122211228012080120

3202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）

方法2：两个市场的价格函数分别为

1122120520020p q ,p q =-=-,

总收入函数为

()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,

总利润函数为

()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++???? 2211228051602035q q q q =-+--. 由极值的必要条件,得方程组

11

1222

8010084160400L

q ,q q ,q .L q ,q ??=-=????==?

??=-=??? 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=

2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.

八、(本题满分6分)

【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0x

f x x

=+>.

1ln(1)1()(1)x x

x

f x e x

+=+=,两边对x 求导,得

112ln(1)

ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x x

x

x x f x e

e x x x x x ++?

??-'??????'==?++=++-??????+???

???+

?

?.

令11

()ln(1)1g x x x

=+-

+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.

由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x

-'-??'=+-=-=-??+++??+, 且(0,)x ∈+∞,故2

1

()0(1)g x x x '=-

<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.

又11

lim ()lim[ln(1)]01x x g x x

x

→∞

→∞

=+-

=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1

()(1)()0x f x g x x

'=+>,(0,)x ∈+∞,

于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11

ln(1)ln(

)ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x

++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得

1

(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ

''+-=+-==

,

即11

ln(1)x

ξ

+=

.又因为01x x ξ<<<+,所以

111

1x x

ξ<<+,所以 1111ln(1)1x x x

ξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111

()(1)[ln(1)]01x

f x x

x x

'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.

九、(本题满分7分)

【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组

()()()123123212

31011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ?+++=?

+++=??+++=? 对方程组的增广矩阵作初等行变换.

第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有

22

2111011

10111011120λ

λλλλλλλλλλ

λλ++????

????+→-???

?????+---???? , 再第二行加到第三行上,所以有

221110

0300λ

λ

λλλλ

λλ+????→-????--+??

. 若0λ≠且2

30,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()

3r A r A ==,方程组有唯一解,即

β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.

若0λ=,则()()

13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.

若3λ=,则()()

23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b = 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα 线表出,亦等同于12,,,n ααα 与12,,,,n b ααα 是等价向量组).

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ? ()().r A r A n == (2) 有无穷多解? ()().r A r A n =<

(3) 无解 ? ()1().r A r A +=?b 不能由A 的列向量12,,,n ααα 线表出. 十、(本题满分6分)

【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.

二次型f 的矩阵为1142124A λλ-??

??=????-??

,其顺序主子式为 2212311,4,448.4

A λ

λλλλ?=?==-?==--+

正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有

12310,(2)(2)0,4(1)(2)04

A λ

λλλλλ?>?=

=-+>?==--+>. 解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型.

【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)

()1211,,,,n n

n ij i

j

i j f x x x a x x ===

∑∑ 其中ij

ji a

a =,

称为n 元二次型,令()12,,,T

n x x x x = ,()

ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为 ()12,,,,T

n f x x x x Ax =

其中A 是对称矩阵()

T

A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.

十一、(本题满分6分)

【解析】记12(,,,)n A ααα= ,则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是0A ≠. 由于

[]1111212212221212,,,T T T T n T T T T T n n T T T T n n n n n A A αααααααααααααααααααααααα????????????==????????????????

, 从而取行列式,

有2

T

T

D A A A

A A ===.

由此可见12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是0D ≠.

【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα 线性相关的充分必要条件是齐次方程组

()1212

0m m x x x ααα??

??

??=??????

有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα 线性相关的充分必要条件是行列式

12,,,0n ααα= .

十二、(本题满分5分)

【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.

设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.

()()

1

2

i i P A P A .==

事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有

{}()1102

P X P A ,===

{}()()

()2

12121

12P X P A A P A P A ,====

{}()()()

()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()

3

1231231

32P X P A A A P A P A P A .====

则X 的概率分布为

注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为4

1

2,这是由于该街道仅有三个设有红绿信

号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问

题.

十三、(本题满分6分)

【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1

, (,),

(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ?∈?=?

???

D

S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度

22222221,(,)0,

x y r

f x y r

x y r π?+≤?=??+>?. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为

12

1

()(,)(),f x f x y dy x r r π+∞

-∞===≤?

2()(,)()f y f x y dx y r +∞

-∞

==

≤?

. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：

()EX x f x dx +∞

-∞

=??

, []()()().E g X g x f x dx +∞

-∞

=??

若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0r

r

f x dx -=?

.

故

2

2,r

r

EX r π-=

?

2

2r

r

EY r π-=

?

,

由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.

()222

2cov(,)x y r xy

X Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-?=

??, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.

cov(,)0X Y =.

由相关系数计算公式ρ=

于是X 和Y 的相关系数0ρ=.

(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.

十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.

现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数

1

1

121

(,,,;)(),n

i i n

x n

n i

i L x x x e

X α

λ

α

λλα=--=∑=∏

1

1

1

ln ln()ln .n

n

i

i i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏

(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).

由对数似然方程 1ln 0,n i i L n X α

λλ=?=-=?∑

得λ的最大似然估计值1

?n

i

i n

X α

λ

==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1

?n

i

i n

X α

λ

==∑.

【相关知识点】似然函数的定义：

设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：

12121

()(,,,;)(;)(;)(;)(;)n

n i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏ .