高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.3.2

2.3.2平面与平面垂直的判定

一、基础过关

1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个

C．一个或无数个D．可能不存在

2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面经过另一个平面的一条垂线

C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的

3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()

①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.

A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．

6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.

8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.

(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；

(2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升

9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32

，则二面角B －AC －D 的余弦值为

( )

A.13

B.12

C.223

D.

32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立

的是

( )

A ．BC ∥面PDF

B ．DF ⊥面P AE

C ．面PDF ⊥面ABC

D ．面P A

E ⊥面ABC

11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，

点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .

12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点

D 、

E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .

(1)求证：BC ⊥平面P AC .

(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展

13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝

2，BC ＝ 6.

(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．

答案

1．C 2.D 3.B 4.B

5．45°6．5

7．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.

又GF?平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.

8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，所以BE⊥AB.

又因为P A⊥平面ABCD，

BE?平面ABCD，

所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，

因此BE⊥平面P AB.

又BE?平面PBE，

所以平面PBE⊥平面P AB.

(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB?平面P AB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P A

AB＝3，则∠PBA＝60°.

故二面角A—BE—P的大小是60°.

9．B 10．C

11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.

因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.

所以EF∥平面ABC.

(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D?平面A1B1C1，故

CC1⊥A1D.

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.

又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.

(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.

又∵AE?平面P AC，PE?平面P AC，

∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .

∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.

∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，

故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，

∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .

∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.

∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .

∴BD ＝1

2AC ＝2＝AD .

∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .

(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .

又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．

在△PED 中，DE ＝12BC ＝6

2，PD ＝3，∠PDE ＝90°，

∴tan ∠PED ＝PD

DE

＝ 2.

∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.小课

堂：如何培养中学生的自主学习能力？

自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性

1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理

13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略

21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性

39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。05学习结果的评价与强化

46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制

55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。