初中数学常见解题模型及思路-名师总结的“自有定理”

初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）

A ． 代数篇：

1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。

设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=

108

999

余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；

22x y + 中，知二求二。

222222()2()2x y x y x y x y x y x y

+=++?+=

+-

2222()2()4x y x y x y x y x y

-=+-=+- 加减配合，灵活变型。

3．特殊公式

22

1

1

2x x x x ±=+±2

（）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（）

5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略

6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1）

两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7．

11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111

62323

==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：

⑴．对称式：变和积。22221111

x y x y x y

+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两

根）

⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。 10. 三大非负数：三大永正数；

11．常用最值式：2

x y ±±（）正数 等（非负数+正数）

。 12．换元大法。

13．自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时

减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14．拆项法；配方法。原理同上。 15．十字相乘法。

16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；

条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。 17．一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则a=±b 在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。

19.四个角的正切值：22.5度的正切值为： 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3

B ． 几何篇：

1．两套：等线套；等角套。

①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB ＝∠COD 结论：∠AOC ＝∠BOD 说明：

O

A

C

D

O

A

C

B

D

②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套（如图所示）：条件：AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。

D

A

B

C

D

2．两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件：AB ∥CD 结论：∠P ＝∠AEP ＋∠PFC

A

B

C D

E

P

F

3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与

底所在直线平行。

C

m

A n

D

B

若：m ∥n 则ABC ABD S S =V V 反之：若 ABC ABD S S =V V 则：m ∥n （反比例模型中的

“垂平”模型的证明用之）

4．已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。 5．三角形的角分线角：

⑴两内角平分线交角：∠I=902A

∠+

⑵一内一外角分线交角：∠I=2A

∠

⑶两外平分线交角：∠I=902

A

∠-

5.三角形的角平分线：

两边的比=分线段（第三边）的对应比。

A

B

C

I

A

B

C

I

I

A

B

C

D

条件：AD 为角平分线 结论：

A B B D

A C D C

= 6．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为1

23

3

和两部分。 条件：AD 、BE 、CF 为中线

结论：AK=2KD=23AD BK=2KE=23

BE 。

CK=2KF=2

3

CF

7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件：AD 、BE 、CF 为三角形的高—— 结论：AD 2BC=BE 2AC=CF 2AB △ADB ∽△CFB 等。

B 、

C 、E 、F 、四点共圆等。

8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形—— 2225a b c +=其中a 、b 为中线所在的边) ①条件：AD 、AE 分别为三角形的角平分线和高， （AB ≠AC ）。

结论：∠DAE=

2

C B

∠-∠ ②条件：BE 、CF 为三角形的中线，且BE ⊥CF

结论：2225a b c += 22

2

5A C B C A B

+= ③如图：∠D=∠A+∠B+∠C

A

B

C

D

E

F

k

A

B

C

D

F

E A

C

B

D E

C

A B

E

F

A

B

C

D

9．三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 ①在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，

那么 ::ABO ACO S S BD DC ??=．

②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ()()1243::AO OC S S S S =++

10．等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；；一垂两等变等腰；一垂三等变

等直。

重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边3这个角的余弦=另一边的

一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。

如图：c o s

2

BC

AB B ABC ?=?V 为等腰三角形（BC 为底） 11．直角三角形斜高的求法。斜高=

两直角边的乘积

斜边

12

．等边三角形面积的求法。24

S a =边长为a 的等边三角形 13．求面积的套路：

⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。

⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的

积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）

④等边三角形的面积。⑤利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解）。⑥让出去：化归。

（3）平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个

内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。

O

F

E D

C

B

A

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A A

B

C

（4）．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

14．三大蝴蝶： ⑴一线两等边。

条件：△ABC 、△ECD 为等边三角形，B 、C 、D 共线 则有：△BCE ≌△ACD

△DCG ≌△ECF △BCF ≌△ACG

旋转60°形成的全等三角形！！！ ∴△CGF 也是等边三角形。 还有：AB ∥CE DE ∥AC 等结论成立！

∠AKB=60° CK 平分∠BKD ∠BKC=60°=∠DKC K 、F 、C 、G 四点共圆。 ⑵一个三角形两等边。

条件：以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作

等边三角形ADB 和等边三角形ACE 则有：△ADC ≌△ABE （SAS ）∴CD=BE

∠DGB=60°∠DGE=120° 又ADC ABE S S =V 分别作高AM 、AN ，

则AM=AN （面积相等，底等，则高等）， ∴AG 是∠DGE 的平分线！ ∠DGA=∠EGA=60°

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

A

B

C D

E

G

M

N

A

B

C

D

E

F

G

K

⑶一个三角形两个正方形。 条件：四边形GBAF 和正方形ACDE

结论：FC=BE FC ⊥BE AH 是∠FHE 的

角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）

A 、F 、

B 、F 四点共圆。

15．平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一

般找平行于两轴的直线）的距离相等。 ①1

2

AED ABCD S S =

V 平行四边形 ②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。

16．平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：222222AC BD AB BC CD DA +=+++ 17．矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =

?长宽

对角线

18．矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图：矩形ABCD 内任意一点P ，则有：

2222PA PC PB PD +=+

19．矩形精典对折图。

如图：矩形ABCD 沿对角线，BD 对折，C 点到了 E 点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。例AE ：BD=3：5则AB ：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以EF ：FB=3：5， 因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8！！

A

B

C

D

O

E

B

C

D

A

B

C

D

F

A

B

C

D

E

F

G

H

20．正方形垂等图。垂直?相等 横平竖直；改斜归正的辅助线方法。

21．正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。 三个正方形，如图摆放：AN 正好过E 点。 技巧：AC ∥EC ∥FN （对角线平行：此题题眼） △ AGN 的面积=△AGE 的面积+△EGN 的面积 △AGE 的面积=△ECG 的面积

△EGN 的面积=△EGF 的面积 ∴结论成立！ 22．两正方形垂直相等图。

如图，ABCD 、CGFE 是正方形： ① △DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。

③BE=GD ④A 、B 、M 、D 四点共圆（双歪八）

∠ADB ＝∠AMB=∠AMD=45° △ADK ∽△AMD （斜射影）2

AD AK AM =?

③若2

DM ME MA =? 则：BD=BG △BDG 为等腰三角形。（∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG ） 此时：MA=MB

④若MA=ME ，也能推出③中的结论。

23，正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和

等腰直角三角形）——邻边相等的圆内接四边形

内含半角图。

条件：正方形ABCD 中，∠EBF=45° 结论：①EF=AE+FC

A

B

C

D

E

F

G

H

K

A

B

C

D

E F

G

M

N

A

B

C

D E

F

G

M

M

条件：三个正方形，A

B

C D E

F

G

M

N

H

AN 恰好过E 点结论：三角形AGN 的面积=正方形

ECGF 的面积

②△DEF 的周长=正方形周长的一半。 ③∠DCA=∠EBF=45°∴B 、C 、F 、H 四点共圆（双八字）！！∠BHF=90° ∴△BHF 为等腰直角三角形！！！

④同上：∠DAC=∠EBF=45°B 、K 、E 、A 四点共圆（双八字）， ∠BKE=90°△BKE 为等腰直角三角形！

24．正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。

①正方形内含45°模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相

等，且相等的邻边的夹角内含半角。 条件：四边形ABCD 中，BA=BC ∠ABC ＋∠D ＝90°∠EBF=12

ABC ∠

结论：EF=AE+CF （其余根据已推导）

②等腰直角三角形内含45°

条件：等腰直角三角形ABC ，∠FBE=45°

222E F A F

C E

=+ ③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。（根据上述模型类比解决：用三角比找到相关边的关系）。

25．正方形互补型（互补型）： ①对称中心有直角：OE=OF ②直角顶点在对角线上：PB=PQ （图①图②两种情况都成立）

C

D

B

A

E

F

F

A

B

C

E

F

③ 小结

26．正方形123成135度。

点E 是正方形ABCD 内的一点， 连接AE ，BE ，CE ，将△ABE

绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．

若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE′C ＝__ 135__度．

27．相似模型：

⑴．正A 、歪A ；正八、歪八；正射影、歪射影；正K 、歪K （一线三等角）。 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比！（细讲：自画图） ⑵．双八字（共圆图之一）。

条件：∠BAC ＝∠BDC （同弦对等角）

结论：B 、C 、D 、A 四点共圆 三角形①∽三角形②

三角形③∽三角形④ （相交弦定理的逆定理：同样可得前面的结论） 其中AB 、BC 、CD 、DA 四条弦所对的四对圆周角相等。

A

B

C D

①②③

④