高中数学人教版必修一教案
高一数学必修1教案
第一课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 教学要求：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念．
教学重点：掌握n 次方根的求解.
教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景. 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）
2. 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一
个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ② 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？
问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳
14的含量P 与死亡时碳14的关系为5730
1()2
t
P =. 探究该式意义？
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
2. 教学根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.
探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.
② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N
例如：328=2=
③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3=3=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：
强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0
④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .
⑤ 的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.
⑥ 计算2→ 探究： n 、n
n a 的意义及结果？ （特殊到一般）
结论：n a =. 当n 是奇数时，a a n n
=；当n (0)||(0)a a a a a ≥?=?-
⑦ 出示例1.求值化简：
a b <）
（师生共练2个 → 学生试练其余2个 → 订正 → 变指数训练 → 小结：性质运用）
3. 小结：n次方根, 根式的概念；根式运算性质.
三、巩固练习：1.
（推广：a≥0）.
2.
；
3. 作业：.
第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算
教学要求：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.
教学重点：有理数指数幂的运算.
教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫根式？
→根式运算性质：n=？、n n a=
？、？
2.
计算下列各式的值：2
；3
二、讲授新课：
1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
①引例：a>0
10
25
a a
===→
?；3
2
33
3
2
32)
(a
a
a=
=→
? =.
②定义分数指数幂：规
定*
0,,,1) m
n
a a m n N n
=>∈>
；
*
1
0,,,1)
m
n
m
n
a a m n N n
a
-
==>∈>
③练习：A.
(0,,1)
a m n N n*
>∈>
B. 求值
2
3
27；
2
5
5；
4
3
6-；
5
2
a-.
④讨论：0的正分数指数幂？0的负分数指数幂？
⑤指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质：0,0,,
a b r s Q
>>∈
r
a·s r
r a
a+
=；rs
s
r a
a=
)
(；s
r
r a
a
ab=
)
(．
2. 教学例题：
①出示例1. 求值:
2
3
27;
4
3
16-; 3
3
()
5
-;
2
3
25
()
49
-
（学生试练→订正→变式：化根式）
②出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)
b>
：2b
3
b
（师生共练前2个→学生口答最后一个→小结：运算性质的运用）
③出示例3. 计算（式中字母均正）：
2115
11
3366
22
(3)(8)(6)
a b a b a b
-÷-；
3
1
16
8
4
()
m n.
（师生共练前1个→学生口答最后一个→小结：单项式运算）
④出示例 4. 计算
：
3
(0)
a>，
31
21036
52
(2)()
m n m n
-
-
÷-(,)
m n N*
∈
;
（学生试练前2个→订正→讨论：根式运算？分数指数幂运算？→师生共练第3个）⑤
讨论：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂
意义）
无理数指数幂),0(是无理数αα
>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质. 三、巩固练习： 1. 练习：课本练习 2. 作业：
第三课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 练习课
教学要求： n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点：掌握根式与指数幂的运算. 教学难点：准确运用性质进行计算. 教学过程：
一、复习提问: （学生回答,老师板演） 1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？
2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？
3. 基础习题练习： （口答下列基础题）
① n 为
时，(0)||...........(0)x x x ≥?=?
② 求下列各式的值：
6
81； 62)2(-； 1532-； 48x ； 642b a .
二、教学典型例题： 1．出示例1.
已知1
12
2
a a -+=3，求下列各式的值: （注意：补充立方的乘法公式）
（１）1
-+a a ； （２）2
2
-+a a ； （３）
3322
112
2
a a
a a -
--- ．
讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．） 小结：平方法；乘法公式；
根式的基本性质
=a ≥0）等；
注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.
2. 出示例2. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出
31升，然后用水填满，再倒出3
1
升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
讨论：题目含义？ （用图形示范） → 两次之间的关系？ 师生共练 → 变式训练：n 次后？
小结方法：摘要→审题； 探究 → 结论； 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答 三、巩固练习：
1. 化简：)()(4
14
12
12
1y x y x -÷-. 2. 已知12(),0x f x x x π=?>，试求)()(21x f x f ?的值.
3.
用根式表示2134()m n -
，
其中,0m n >.
4. 已知x +x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(2
32
32
12
1-
-++x x x x
5. 求值：2
325
; 2327; 3
2
36
()49
; 3
225()4
-
6. 已知32x a b --=+,
.
7. 2a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.
第四课时
2.1.2 指数函数及其性质
教学要求：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？
2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：
A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？
B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？
② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .
④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1
()2
x y =， 2x y = （师生共作→小结作法）
④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1
()2
x y =的图
象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？
⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 62)
⑥ 出示例1. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象经过点（2，π），求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.
（讨论方法→学生口答→变式→讨论：确定指数函数重要要素是什么？→小结：待定系数法）
⑦ 出示例 2. 比较下列各组中两个值的大小：0.60.52,2； 2 1.50.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ；
1
（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：单调性；利用中间数）
⑧ 练习：A. 比较大小：23
( 2.5)- ,45
( 2.5)-
B. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：22
()()33
m n >； 1.1 1.1m n <
3.小结：指数函数模型应用思想；指数函数概念；指数函数的图象与性质；单调法 三、 巩固练习： 1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .
2. 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5. 3．探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？ 4. 练习：
第五课时
2.1.2 指数函数及其性质
教学要求：熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
教学重点：掌握指数函数的性质及应用． 教学难点：理解指数函数的简单应用模型． 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 指数函数的定义？底数a 可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图
象是 2. 在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =，1()2x y =，5x y =，1
()5
x y =,
10x y =,1
()10
x y =
3. 提问：指数函数具有哪些性质？ 二、讲授新课：
1.教学指数函数的应用模型：
① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法）
② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
③ 小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式：
2. 教学指数形式的函数定义域、值域：
① 讨论：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？
② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =11
0.4x y -=.
讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）
② 出示例2. 求函数y =. 讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？ 3. 练习：
① 求指数函数21
2x y +=的定义域和值域 ② 已知下列不等式，比较,m n 的大小
33m n <； 0.60.6m n >； (1)m n a a a >> ； (01)m n
a a a <<<.
4. 小结：指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；定义域与值域；单调性应用. 三、巩固练习：
1. 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3
2. 比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75
3
-（）. *3. 求函数21
21
x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
4. 课堂作业：教材习题
第六课时
课题：对数与对数运算
课 型：新授课
教学目标：
理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化． 教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点：对数概念的理解. 教学过程：
一、复习准备：
1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭
（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：41()2＝？，1
()2
x ＝
0.125?x =?）
2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：(18%)x +=2?x =? ）
问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由1.01x m =求x 二、讲授新课：
1. 教学对数的概念： ① 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.
记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 → 探究问题1、2的指化对 ② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的
对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （0,1a a >≠时，x a N =?log a x N =）
负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ） log 1?a =， log ?a a =
④：对数公式N a N
a =log ， n a n a
=log
2. 教学指数式与对数式的互化：
① 出示例1. 将下列指数式写成对数式：35125= ；71
2128
-=
；327a =； 2100.01-= （学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）
② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：12
log 325=-； lg0.001=-3； ln100=4.606
（学生试练 → 订正 → 变式：12
log 32?= lg0.001=？ ）
3、例题讲解
例1（课本例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2）6
12
64-=
（3）1() 5.733
m
= （4）12
log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =
例2：（课本例2）求下列各式中x 的值
（1）642log 3
x =-
（2）log 86x = （3）lg100x = （4）2
ln e x -=
三、巩固练习： 1. 课本练习
2．计算： 27log 9； 3log 243；
； (2log (2； .
3．求log log log ,a b c b c N
a
??∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.
4．计算3
1log 5
3
的值.
四. 小结：
对数的定义：log (b N
a a N
b a =?=＞0且a ≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数 对数的性质 ： log 1a a = a ＞0且a ≠1
log a N
a
N =
五．作业：课本习题
第七课时
课题：对数与对数运算
课 型：新授课 教学目标：
掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.
教学重点：运用对数运算性质解决问题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学过程：
一、复习准备：
1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：x a N =?log a x N = 2． 提问：指数幂的运算性质？ 二、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：
① 引例： 由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？
设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =q
a ∴MN =p a q a =q
p a +
∴a log MN =p +q ，即得a log MN =a log M + a log N
② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则
a a a log (MN)=log M +log N ; a a a M
log =log M -log N N
； ()n a a log M =nlog M n R ∈
① 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，
将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）
④ 运用换底公式推导下列结论：log log m n a a n
b b m
=；1log log a b b a =
1. 教学例题：
例1. 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ），
（1）log log log ()a a a x y x y ?=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log a
a a x
x y y
=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n
a a x n x = （6）1log log a a
x x
=-
（71
log a x n
=
例2（ 课本例3例4）：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1）log a xy
z （2）log a （3）75log (42)z ? （4）
三、巩固练习： 1、课本练习
2. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.
变式：已知lg ２＝0.3010，lg ３＝0.4771，求lg ６、lg12、的值.
3、计算：7
lg142lg lg7lg183-+-； lg 243lg9； .
4. 试求2lg 2lg 2lg5lg5+?+的值
5. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：111
2c a b
-=
四 、小结：
对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.
五、作业：课本习题
后记：
第八课时
课题：对数与对数运算
课 型：新授课 教学目标：
能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力．
教学重点：用对数运算解决实践问题. 教学难点：如何转化为数学问题 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数的运算性质及换底公式？
2. 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56
3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年
我国人口总数将超过14亿？ （答案：12(10.0125)14x ?+= →7
1.01256
x =→
lg 7lg 612.4lg1.0125x -=≈）
二、讲授新课：
1.教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思考P 67~P 68的例5，例6的题目，教师点拨思考：
① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）
② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：
（Ⅰ）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？ ④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P 和t 之间的对应关系是一一对应；P 关于t 的指数函数x
P )2
1(5730=； 1、 例题选讲
例1、已知：45log ,518,8log 3618求==b
a （用含a ，
b 的式子表示）
例2、计算9
1log 81log 251log 532??
例3，)2lg(2lg lg y x y x -=+已求y
x
2
log 的值
三、巩固练习：
1. 计算： 0.21log 35-；
4912
log 3log 2log ?-
2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在1999年的基础上翻两翻？
四、小结：
初步建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→）； 用数学结果解释现象 五、作业习题
后记：
第九课时
课题：对数函数及其性质
课 型：新授课 教学目标：
通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程：
一、复习准备：
1. 画出2x y =、1
()2
x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.
2.
讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log
P =，
生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课：
1.教学对数函数的图象和性质：
① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）
② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，
5log (5)y x = 都不是对数函数，
而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ．
③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x =
⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？
列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）
引申：图象的分布规律？
2、总结出的表格
1. 教学例题
例1：（课本例7）求下列函数的定义域
（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 例2. （课本例8）比较下列各组数中的两个值大小
（1）22log 3.4,log 8.5
（2）0.30.3log 1.8,log 2.7
（3）log 5.1,
log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）
三．巩固练习： 1、课本练习3、4题
2．求下列函数的定义域： 0.2log (6)y x =--； y .
3．比较下列各题中两个数值的大小：
22log 3log 3.5和； 0.30.2log 4log 0.7和；0.70.7log 1.6log 1.8和； 23log 3log 2和．
4. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：
3log m ＜3log n ； 3.0log m ＞3.0log n ； a log m ＞a log n (a ＞1)
5. 探究：求定义域y =y =
四.小结：
对数函数的概念、图象和性质; 求定义域；利用单调性比大小.
五、作业习题
第十课时
对数函数及其性质
课 型：新授课 教学目标：
了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.
教学重点与难点：理解反函数的概念 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质？
2. 比较两个对数的大小：10log 7与10log 12 ； 0.5log 0.7与0.5log 0.8
3. 求函数的定义域[]1
31log 2y x -=- ； log (28)a y x =+
二、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用: ① 出示例题（课本例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？ （Ⅱ）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.
②讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想 2．反函数的教学:
① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ） ② 探究：如何由2x y =求出x ？
③ 分析：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =.
那么我们就说指数函数2x y =与对数函数x y 2log =互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？
⑤ 分析：取2x y =图象上的几个点，说出它们关于直线x y =的对称点的坐标，并判断它们是否在x y 2log =的图象上，为什么？
⑥ 探究：如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数
x y 2log =的图象上吗，为什么？
由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称)
3、例题讲解
例1、求下列函数的反函数
（1）5x
y = （2）0.5log y x =
例2、求函数)176(log 2
2
1+-x x 的定义域、值域和单调区间
三、巩固练习：
1练习：求下列函数的反函数： 3x y =； 6log y x =
（师生共练 → 小结步骤：解x ；习惯表示；定义域）
2.求下列函数的反函数： y =x (x ∈R )； y =a log 2
x
(a ＞0,a ≠1,x ＞0)
1． 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其反函数()-1
y f x =的图象过（2，0）点，
求()f x 的表达式.
四、小结：
函数模型应用思想；反函数概念；阅读材料
五、作业习题
第十一课时
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创设情境阅读教材的具体实例（1）~（5），思考下列问题：
1．它们的对应法则分别是什么？
2．以上问题中的函数有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）
开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx
y=
的函数，其中x是自变量，是α常数．
生：独立思考完成引
例．
师：引导学生分析归纳
概括得出结论．
师生：共同辨析这种新
函数与指数函数的异
同．
组织探究材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如
α
x
y=)
(R
a∈
的函数称为幂函数，其中α为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
（1）x
y=；（2）2
1
x
y=；（3）2x
y=；
（4）1-
=x
y；（5）3x
y=．
[解] ○1列表（略）
○2图象
师：说明：
幂函数的定义来
自于实践，它同指数函
数、对数函数一样，也
是基本初等函数，同样
也是一种“形式定义”
的函数，引导学生注意
辨析．
生：利用所学知识和方
法尝试作出五个具体
幂函数的图象，观察所
图象，体会幂函数的变
化规律．
师：引导学生应用画函
数的性质画图象，如：
定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调画
图象易犯的错误．
环节教学内容设计师生双边互动
尝试练习
1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）4
3
3.2，4
3
4.2；
（2）5
6
31
.0，5
6
35
.0；
（3）2
3
)2
(-，2
3
)3
(-；
（4）2
1
1.1-，2
1
9.0-．
2．作出函数2
3
x
y=的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
3．作出函数2-
=x
y和函数2)3
(-
-
=x
y的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
4．用图象法解方程：
（1）1
-
=x
x；（2）3
2
3-
=x
x．
探究与发现
1．如图所示，曲线是幂
函数αx
y=在第一象限内的
图象，已知α分别取
2,
2
1
,1,1
-四个值，则相应图
象依次为：．
2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你
能发现什么规律？
（1）3-
=x
y和3
1
-
=x
y；
（2）4
5
x
y=和5
4
x
y=．
规律1：在第一象限，
作直线)1
(>
=a
a
x，
它同各幂函数图象相
交，按交点从下到上的
顺序，幂指数按从小到
大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒
数的幂函数在第一象
限内的图象关于直线
x
y=对称．
作业回馈
1．在函数1
,
,
2
,
1
2
2
2
=
+
=
=
=y
x
x
y
x
y
x
y
中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
环节呈现教学材料师生互动设计
第十二课时
2.3 幂函数
教学要求：
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
教学过程：
一、新课引入：
（1）边长为a 的正方形面积2
a S =，这里S 是a 的函数；
（2）面积为S 的正方形边长2
1S a =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3
a V =，这里V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度s km t v /1
-=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付w p =元，这里p 是w 的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）
二、讲授新课：
1、教学幂函数的图象与性质
① 给出定义：一般地，形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.
② 练：判断在函数231
,2,,1y y x y x x y x
===-=中，哪几个函数是幂函数？
③ 作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）12
y x =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3
x y =． ④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律： （Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增
函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象
限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2、教学例题：
① 出示例1：讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性.
（复习单调性的定义→ 师生共练 → 变式训练：3
()f x x =
）
② 出示例2. 比较大小：5
.1)1(+a 与5.1a ；22
3
(2)a -
+与23
2-
；2
11.1-与2
19.0-
. （教师示范 → 学生板演 → 小结：单调性比大小）
3、小结：幂函数的的性质及图象变化规律，利用幂函数的单调性来比较大小.
三、巩固练习：
1. 练习：教材 1、2题.
2. 讨论函数3
2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 3. 比较下列各题中幂值的大小：4
33.2与434.2；5631.0与5
635.0；2
3)2(-
与2
3)
3(-
.
4. 作业：
第十三课时
§2.3 幂函数
一．教学目标： 1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知
阅读教材的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α
=，其中x 是自变量，α是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如y x α
=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112
3
4
,,y x y x y x -
===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基
本初等函数.
2．研究函数的图像
（1）y x = （2）12
y x = （3）2
y x =
（4）1y x -= （5）3
y x =
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
2y x =
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x
=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2
y x =的图象都在y x =图象的下方，形
状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α
越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：
1．证明幂函数()[0,]f x =
+∞上是增函数