FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析
ＦRＭ模型丨效用函数和风险偏好的辨析
1.效用历史沿革
效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。)在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准,证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。
经济学家对于效用的理解是有一个过程的。
●１9世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经
济学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。
●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希
克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序,并非效用的数值。
因此,从分析消费者行为的方法来看,基数效用论者采用边际效用分析方法,序数效用论者采用无差异曲线分析方法。从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。
1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在173８年提出的一个概率期望值悖论。它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。游戏规则为:掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成
功，得奖金2元,游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束;这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果n 次投掷成功，得奖金2ｎ元，游戏结束。
首先,我们用公式
1()k k
k E X x p ∞
==∑来计算这个游戏收益的数学期望值:
2342341111
1
()222222222
2
n n E X n n ==?+?+?+?+
+
?= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。如果仅仅以期望值标准,我们将无法给这个游戏进行定价。
圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较,但决策理论模型与实际问题并不是一个东西;圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型,它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候,这种近似可能会带来极大的误差。
效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。在丹尼尔?伯努利1７３8年的论文里,提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下,个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。
2. 基数效用论
基数效用论基本观点是:效用是可以计量并可以加总求和的。
基数效用论采用边际效用的分析法。
这个理论有两个主要假设:1. 效用量可以具体衡量;2. 边际效用（M Ｕ）递减规律。
2.1.效用曲线
效用曲线是用于反映决策者对风险态度的一种曲线,又可以被称作＂偏好曲线"。通常以益损值为横坐标，以效用值为纵坐标,把决策者对风险态度的变化在此坐标系中描点而拟合成一条曲线。常见的效用曲线分为保守型、激进型、中间型和混合型四种，如图:
IＩ为保守型:表示效用随着损益值的增多而递增，递增速度越来越慢,边际效用递减，这种类型厌恶风险。
III为激进型:表示效用随着损益值的增多而递增，而递增速度越来越快，即边际效用递增,这种类型风险偏好。
Ｉ为中间型:表示决策的效用与决策损益的货币效果成线性关系,这种效用函数的决策者对决策风险抱中立态度。
IV为混合型：表示损益额不太大时,决策者追求风险属于激进型，但当损益额增大到一定数量时,就转化为保守型,厌恶风险，其实这种类型更符合实际。
3.序数效用论
序数效用论基本观点是:效用作为一种心理现象无法计量,也不能加总求和,只能表示出满足程度的高低与顺序,因此,效用只能用序数来表示。
序数效用论主要采用无差异曲线的分析法。无差异曲线早是从效用曲线得来的,而效用曲线本来是基数效用论中的概念。
这个理论有两个主要假设：１. 完备性，即指每个人对每一种商品都能说出偏好顺序。
2. 可传递性,即消费者对不同商品的偏好是有序的，连贯一致的。
3. 不充分满足性,即消
费者认为商品数量总是多一些好。
3.1.无差异曲线
无差异曲线所表示的含义可以用U(X11,X21) = Ｕ(Ｘ１2，X２２）来表达。差异曲线上的任何一点所代表的两种物品的不同组合所提供的总效用或总满足水平都是相等的,因此消费者愿意选择其中任何一种组合。
我们通常所见的无差异曲线如下图:
Good Y
Good X
Indifference curves
这类图像是无差异曲线中的一种,存在假设前提条件：
1.消费者的偏好是无限的,在同一平面上可以有无数条无差异曲线。
2.越多的消费产品总能给消费者带来更大的效用。
4. 效用函数
运用无差异曲线只能分析两种商品的组合,而运用效用函数则能分析更多种商品的组合。效用函数(), , , U U x y z =?可以衍生出很多种表达式。通常我们接触到的都是期望效用函数,又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（V ＮM 函数）。如果某个随机变量Ｘ以概率P i 取值x ｉ,i ＝1,2，…,n ，而某人在确定地得到x i 时的效用为ｕ（x i ),那么，该随机变量带
来效用是:()()()()()1122 ? ?
? ?n n U X E u X Pu x P u x P u x ==++??+??，其中，Ｅ［u(Ｘ)]
表示关于随机变量X 的期望效用。
首先需要明确的一点是,在这个理论体系下,做决策的依据永远ｕtility 。能为你带来uti ｌｉｔy 的方面有很多: 可能是这个东西的实用价值,也可能是强烈的个人喜好(prefe ｒen ｃe ），我们可以将这些因素挨个分开计量，并组合考虑。我们所说的风险偏好也就是这里所说的p ｒe ｆere ｎce,属于计量效用时,所有考虑因素当中的一个。
我们通常在讲utility 的时候,用的是两个商品来举例，比如说苹果和梨：在苹果和梨的价格相等的情况下,我比起苹果更喜欢吃梨,我手里如果有两个梨，你要用三个苹果跟我换我才愿意做这笔交易。这个地方隐藏了一个假设：我手里的东西越多越好，越多我得到的效用越高，而实际情况并不一定是这样的。只是因为大多数人都是手中拿到的东西越多越好，
5 4
3 2
所以我们在计量一般资产的效用时都以效用系数默认为正为前提条件。
我们在这里选取我们在衡量资产组合效用时常见的一个期望效用函数来进行分析：()21
2
p U A E r σ=
+。我们需要明确,这里讲风险和组合收益当做两个单独的商品来衡量它们分别所带来的效用。
4.1. 风险偏好辨析
这种对于效用系数默认为正的情况在我们对资产组合的效用进行效用测量的时候就会出现问题。在使用()21
2
p U A E r σ=
+进行计量的时候，我们的刻画标准有两个，一个是收益，一个是风险。这个式子隐含了一个前提假设：人们对于多的收益会有偏好,对于风险人们的偏好方向未定。
由此引申出风险偏好有三种不同的方向：风险追求者，风险中性者，风险厌恶者。 风险效用图如下：
Ｇo ｏd X Goo ｄ Y
所以在式子()21
2
p U A E r σ=
+，风险和收益是互相补偿的关系。在带来的效用一
A
定的情况下,对于风险厌恶者，我们才会说风险越高，我们所要求的回报越高。关系如下图：
5. 总结
总的来说，我们可以通过下图来明确风险偏好到底作用在决策论中的哪一点，从而避免我们将风险偏好与收益偏好相混淆。
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C
Indifference
curves slope down ward
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Utility
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