高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
专题六、解析几何(一)
直线和圆
1.直线方程:0=+++=c by ax t kx y 或
2.点关于特殊直线的对称点坐标:
(1)点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为:0y m =,0x n =;
(2) 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为:b y m -=0,b x n +=0;
(3)点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为:0y m -=,0x n -=;
(4)点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为:
b y m +-=0,b x n +-=0;
3.圆的方程:()()2
2
2
x a y b r -+-=或()
2
2
2
2
040x y Dx Ey F D E F ++++=+->,
无xy 。
4.直线与圆相交:
(1)利用垂径定理和勾股定理求弦长:
弦长公式:222d r l -=(d 为圆心到直线的距离),该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后,化简为:02
=++c bx ax ,其判别式为?,则
弦长公式(万能公式):12l x =-=
a
k a c a k ?
+=--+=2
2214b 1)( 注意:不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长,只要设出它们的坐标即可,
再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧,它可以简化运算,降低思考难度,在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程: (1)点在圆外:
如定点()00,P x y ,圆:()()2
2
2
x a y b r -+-=,[()()2
2
2
00x a y b r -+->]
第一步:设切线l 方程()00y y k x x -=-;第二步:通过d r =,求出k ,从而得到切线方程,这里的切线方程的有两条。特别注意:当k 不存在时,要单独讨论。 (2)点在圆上:
若点P ()00x y ,在圆()()2
2
2
x a y b r -+-=上,利用点法向量式方程求法,则切线方程为:
?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ))()()()()200x a x a y b y b r --+--=。
点在圆上时,过点的切线方程的只有一条。 由(1)(2)分析可知:过一定点求某圆的切线方程,要先判断点与圆的位置关系。
(3)若点P ()00x y ,在圆()()222x a y b r -+-=外,即()()22
200x a y b r -+->,
过点P ()00x y ,的两条切线与圆相交于A 、B 两点,则AB 两点的直线方程为:
200))(())((r b y b y a x a x =--+--。
6.两圆公共弦所在直线方程:
圆1C :2
2
1110x y D x E y F ++++=,圆2C :2
2
2220x y D x E y F ++++=, 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题:
(1)圆自身关于直线对称:圆心在这条直线上。
(2)圆C 1关于直线对称的圆C 2:两圆圆心关于直线对称,且半径相等。 (3)圆自身关于点P 对称:点P 就是圆心。
(4)圆C 1关于点P 对称的圆C 2:两圆圆心关于点P 对称,且半径相等。
例1.已知直线0=++c by ax 中的 a ,b ,c 是取自集合{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,则这样的直线共有_______条。
例2.已知圆C :4)4(2
2=-+y x ,直线l :04)1()13(=--++y m x m (Ⅰ)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长;
(Ⅱ)已知坐标轴上点A (0,2)和点T (t ,0)满足:存在圆C 上的两点P 和Q ,使得TQ TP TA =+,求实数t 的取值范围.
变式训练:
1.直线01)1(22
=-++y a ax 的倾斜角的取值范围是____________ 2.若01298=-+-y x kxy 表示两条直线,则实数k =__________
3.若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2,则这样的直线有____条。
4.直线l 过P (1,2),且A (2,3),B (4,﹣5)到l 的距离相等,则直线l 的方程是_________________
5.若直线l 1:032=+++a y ax 与l 2:04)1(=+++y a x 平行,则实数a 的值为________
6.过点P (3,0)有一条直线l ,它夹在两条直线l 1:2x ﹣y ﹣2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段恰被点P 平分,则直线l 方程为____________________
7.过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________________ 8.(2007湖北)已知直线
1x y
a b
+=(a b ,是非零常数)与圆22100x y +=有公共点,且 公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有_______________条。
9.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),且△ABC 的欧拉线的方程为02=+-y x ,则顶点C 的坐标为( ) A.(﹣4,0) B.(﹣4,﹣2) C.(﹣2,2) D.(﹣3,0)
10.已知直线l 过点)1,4(-P ,且与直线013:=+-y x m 的夹角为10
10
3arccos , 直线l 的方程为_________________________
11.已知ABC ?的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A , 则A ∠的平分线所在直线的方程为________________
12.若点P (m ﹣2,n+1),Q (n ,m ﹣1)关于直线l 对称,则直线l 的方程是__________________ 13.直线x -y -2=0关于直线x+y+1=0对称的直线方程__________________
14.(2012全国)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE=BF=
7
3
,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
15.如图,点A 、B 、C 的坐标分别为(0,2),(﹣2,0),(2,0),点M 是边AB 上异于A 、B 的一点,光线从点M 出发,经BC ,CA 反射后又回到起点M .若光线NT 交y 轴于点(0,3
2
),则点M 的坐标为______________
16.(2016金山区一模)已知点P 、Q 分别为函数)0(1)(2
≥+=x x x f 和1)(-=x x g 图像上
的点,则点P 和Q 两点距离的最小值为____________
17.在Rt △ABC 中,AB=2,AC=4,∠A 为直角,P 为AB 中点,M 、N 分别是BC ,AC 上任一点,则△MNP 周长的最小值是____________
18.直线011)3()12(=+-+--k y k x k 所经过的定点坐标为_________
19.曲线C 1:
124=-y x |与曲线C 2:12
8=+y
x |所围成的图形面积为_________ 20.点P 在△ABC 内部(包含边界),|AC|=3,|AB|=4,|BC|=5,点P 到三边的距离分别是d 1,d 2,d 3,则d 1+d 2+d 3的取值范围是____________
21.已知P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆上一点,过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M ,则点M 的轨迹是( )
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.双曲线的一支 22.已知圆C 满足:①截y 轴所得的弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l :x ﹣2y=0的距离为
5
5
;则圆C 的方程为______________________ 23.设集合A={y x y x y x +≤+2
2
),(},则集合A 所表示图形的面积为___________
24.已知圆C :01242
2
=+--+y x y x ,直线l :043=+-k y x 圆上存在两点到直线l 的距离为1,则k 的取值范围是___________ 25.已知a≠b ,且04
cos sin 2=-
+π
θθa a ,04
cos sin 2=-
+π
θθb b ,则连接两点(a ,a 2),
(b ,b 2)的直线与圆心在坐标原点的单位圆的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定
26.已知圆C :1)1()1(2
2=-+-y x ,点P 为直线l :0143=++y x 上的一动点,若在圆C 上存在点M 使得∠MPC=30°,则点P 横坐标的取值范围________________
27.已知⊙O 1:14422=+y x 与⊙O 2:0216302
2=+++y x x ,则两圆公切线的方程为________
28.过圆12
2
=+y x 外一点)3,2(M ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,则直线AB 的方程为_______________
29.圆C 的方程为4)2(2
2=+-y x ,圆M 的方程为1)sin 5()cos 52(2
2
=-+--θθy x ,过
圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ,切点分别为E 、F , 则PF PE ?的最小值为________________
30.设(),P x y 为圆()2
2
11x y +-=上的任一点,欲使不等式0x y c ++≥恒成立,则c 的取值
范围是____________
31.(2005江西)如图,设抛物线C :y=x 2的焦点为F ,动点P 在直线l :x ﹣y ﹣2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明:∠PFA=∠PFB .
32.如图,过点A ),(a 0作直线l ,交圆M :1)2(2
2
=+-y x 于点B 、C ,在BC 上取一点P ,使P 点满足AC AB λ=,PC BP λ=. (1)求动点P 的轨迹方程;
(2)若点P 的轨迹交圆M 于点R 、S ,求△MRS 面积的最大值.
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用
难点21直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形,是解析几何最基础的部分,本章的基本概念;基本公式;直线方程 的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 ?应达到熟练掌握、灵 活运用的程度,线性规划是直线方程一个方面的应用,属教材新增内容,高考中单纯的直线方程问 题不难,但 将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 ?难点磁场 (★★★★★)已知 |a|v 1,|b|v 1,|c|v 1,求证:abc+2 >a+b+c. ?案例探究 [例1]某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费, 他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为 a (90°W av 180° )镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m, b m,(a > b).问学生距离镜框下缘多远 看画的效果最佳? 命题意图:本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的 综合运用,而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力,属★★★★★级题目 知识依托:三角函 数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值 错解分析:解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何问题求 解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当, 或选择求sinACB 的最大值. 都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法:欲使看画的效果最佳,应使/ ACB 取最大值,欲求角的最值,又需求角的一个三 角函数值. 解:建立如图所示的直角坐标系, AO 为镜框边,AB 为画的宽度, 下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x >0),欲使看画的 最佳,应使/ ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知: A 、B 两点坐标分别为(acos a ,asin a 卜 (bcos a ,bsin a ),于是直线 AC 、BC 的斜率分别为: asina k AC =ta nxCA= , acosa -x (a —b) xsina _ (a —b) sina a b-(a b)x cos : x 2 辿 x-(a b) cos : x 由于/ ACB 为锐角,且x > 0,则tanACB w —(已一小驯〉,当且仅当 辿=x ,即x= ? ab 时, 2 Jab —(a + b)co 弊 x 等号成立,此时/ ACB 取最大值,对应的点为 C(、ab ,0),因此,学生距离镜框下缘 .ab cm 处时, 视角最大,即看画效果最佳 . [例2]预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多, 但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5倍,问桌、椅各买多少才行? 命题意图:利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用,本题主要考 查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域,再利用图形直观求得满足题设的最优解,属★★ ★★★级题目. 知识依托:约束条件,目标函数,可行域,最优解 k BC =ta nxCB = bsin -■ bcos.- —x 于是 tanACB = k BC - k AC 1 ' k BC k AC O 为 效果
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式. (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力. (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想. 二、教材分析 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫. 2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了. 3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的:
∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点A在函数图象上. ∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上. 现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够的时间让学生思考、体会.) 讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系. (二)直线的方程 引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是一次函数的图象吗? 一次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a连函数都不是. 一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应. 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线. 上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有一个点(方程)就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的. 显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念. (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有完全解决,如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究. (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如图1-21中的α.特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.