常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

【典型例题】

[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?=

（2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-=k b m

∴ }1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+n n k k b a k b a ∴

1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，

)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解： ∵ 111)1(11+-=+=-+n n n n a a n n

∴ n n a a n n 1111--=

-- 112121---=---n n a a n n 213132---=

---n n a a n n …… 312123-=-a a 21112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得：

n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1

∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列

∴ 11)(-?++=++n n k B A a B An a

∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n

q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q

a n n n n 111+?=++ 令n n n q a C =

则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型

[例3] n n a n f a ?=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：311=a ，11212-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233

2211+=?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴

1211231+=+?=n n a a n [例4] 11--+??

=n n n a m a m k a 型。

考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n

+=- ∴ m k a k a n n +?=-111 令

n n a C 1=

则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

练习：

1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。解：

设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列

∴ 1241-?=+n n a ∴ 121-=+n n a 2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*N n ∈）求通项公式。

解：

)1(21-=--n a a n n

)2(221-=---n a a n n

)3(232-=---n a a n n ……

2223?=-a a

1212?=-+a a

n n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2

∴

12--=n n a n 3. 已知}{n a 中，

n n a n n a 21+=+且21=a 求数列通项公式。

解： )1(231422413211122332211+=?--?--?-?+-=???-----n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

B A An a a n n 212121211---=-

∴ ???????-=--=-12121221B A A 解得：???=-=64B A ∴ 3641=+-a

∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21

为公比的等比数列

∴ 1)21(364-?=+-n n n a ∴ 64231-+=-n a n n

【模拟试题】

1. 已知}{n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求n a 。

2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

3. 已知}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。

4. 已知}{n a 中，41=a ，14

4--=n n a a （2≥n ）求n a 。

5. 已知}{n a 中，11=a ，其前n 项和n S 与n a 满足

1222-=n n n S S a （2≥n ）（1）求证：}1{

n S 为等差数列（2）求}{n a 的通项公式 6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2)2(81+=n n a S

（1）求证：}{n a 是等差数列（2）若n b 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小

值

【试题答案】

1. 解：

由n n n a a 21+=+，得112--+=n n n a a

∴ 112--=-n n n a a

2212---=-n n n a a ……

212=-+a a

∴ 2221)21(211-=--=--n n n a a ∴

12221+=+-=n n n a a 2. 解：

由231+=-n n a a 得：)1(311+=+-n n a a

∴ 3111=++-n n a a 即}1{+n a 是等比数列

113)1(1-?+=+n n a a ∴ 13213)1(111-?=-?+=--n n n a a

3. 解：

由n

n n a a 221+=-得12211=---n n n n a a ∴ }2{

n n a 成等差数列，)1(212-+=n a n n ∴ 122--?=n n n n a 4. 解：

n n n n a a a a )2(24221-=-

=-+ ∴ 2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a （1≥n ） ∴ 212121

1=---+n n a a （1≥n ）设21-=n n a b 即)1(211≥=-+n b b n n

∴ }{n b 是等差数列 ∴ 221)1(21211n n a a n =?-+-=- 22+=n a n

5. 解：

（1）

12221

-=--n n n n S S S S ∴ 112--=-n n n n S S S S 2111=--n n S S ∴ }1{n S 是首项为1，公差为2的等差数列 ∴ 121-=n S n

（2）121-=n S n ∴ )2(384211212)121(

222≥+--=--?-=n n n n n a n 又 ∵ 11=a ∴

?????≥+--==)2(3842112n n n n a n

6. 解：（1）2

111)2(81+==a S a ∴ 21=a

2≥n 时，2

121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a 整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a

∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a

∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n

（2）31230)24(21-=--=n n b n

∴ }{n b 为等差数列 ∴

n n S n 302-=

∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152-=?-