线性空间习题解答

第六章 线性空间习题解答P267

.1设,,M N M

N M M

N N ?==证明:

证明: 一方面.M N M ? 另一方面, 由于M M ?,,N M ? 得.N M M ? 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.

(2))()()(L M N M L N M =

证明: (1) .),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且

L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.

另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ??,所以

)()()(L N M L M N M ?.

(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ??,所以

)()()(L M N M L N M ?.

另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈?且则

若).(,L N M x M x ∈∈则 若∈∈∈?x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有

)()()(),(L N M L M N M L N M x ?∈所以.

3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.

(2) 设A 是n ?n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.

(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.

(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.

(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:

),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,

)2

)1(,(),(2

11111a k k kb ka b a k -+

= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ?α=0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为

k ?α=α.

(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .

(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.

(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.

(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.

(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则

α, γ∈V , 但是, α+ γ ?V . (5) 证明: 10显然V 非空.

02 2个代数运算封闭.

03 先设R

t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα

2121211231212312312312323123122323123(1)(,)

(2)()((),()()......................(,()

....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)

...........())(),()())(0,0)0

1

(5)1(1,11(11))(,)2

a a a

b b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==的负为2

1112211111

(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())

22

k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la α

α=+-=+-+-

2111

((1(1))2kla klb kla l k =++-+-

=（kla 1,klb 1+211

((1))2

kl k a -

=kl α

(7)(k+l)α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211

()(1))2k l k l a ++-

=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211

(2))2

k l kl k l a ++--

221111111111

(,(1)()(1))22

ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+?

k l αα=⊕ (8)

2121212121212121

()(,)((),((1)())

2

k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+ 22

121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-

22

21211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+

22

12122211(,(1))((1))22

ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕

满足3,故V 是一个线性空间 (6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。取即得矛盾。

(7)

0, 2.(11). 1. 1.0,ααααααααα?≠==+=+=+?=不做成。违反分配律，则会有矛盾

(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R + P=R a ⊕b=ab k k a a =) 证明: 1. V 非空且关于⊕,封闭. 2. 任取a ,b ,c ,,R k l R +∈∈

(1) a ⊕b=b ⊕a=ba

(2) (a ⊕b )⊕c=(ab)c=a(bc)=a ⊕(b ⊕c) (3) 零元0=1, a ⊕0=a1=a

(4) 负元-a =1a ,a ⊕(-a )=a 1

a

=1=0.

(5) 1a=a 1=a

(6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a l k =(lk)a

(7) (k+l)a=a (k+l)=a k a l =a k ⊕a l =k a ⊕l a (8) k (a ⊕b)=k (ab)=(ab)k =a k b k = a k ⊕b k = k a ⊕k b 故R +关于⊕做成R 上的向量空间.

4. 在线性空间中, 证明: (1) k 0=0. (2) ()k k k αβαβ-=-.

证明: (1) 设α是线性空间的任一个向量,由零向量的性质α+0=α,再由分配律: k(α+0)=k α= k α+k0, 所以k 0=0.

(2) 由(1)得k(β+(-β))=k0=0=k β+k(-β), 得k(-β)=-k β. 所以 k(α-β)=k(α+(-β))=k α+ k(-β)=k α- k β.

5. 证明: 在实函数空间中, 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的. 证明: cos2t=2cos 2t -1, 所以

1- 2cos 2t -cos2t=0. ∴21.cos ,cos 2t t 线性相关

6. 如果是f 1,f 2,f 3线性空间P[x]中的三个互素的多项式, 但是其中任意两个都不互素, 证明它们线性无关.

证:∵123122321(,,)1,(,)1,(,)1,(,)1,f f f f f f f f f =≠≠≠ 设112233()()()0,a f x a f x a f x ++=不妨设10a ≠, 则)()()(31

3212

1x f a a x f a a x f -+-=

. 由于(23,f f )=d (x )≠1, 那么d(x)整除23,f f 的组合,故1()|(),d x f x 于是有

123()|((),(),())d x f x f x f x , 与123(,,)1f f f =矛盾!

7. 在P 4中, 求ξ在4321,,,εεεε下的坐标.

(1) ()()()()()1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,14321=--=--=--==ξεεεε. (2) ()()()()()1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,14321=--==-==ξεεεε.

解: (1) 设4321,,,e e e e 是单位坐标向量, ????

??

? ??------=111111*********

1A , 则

A e e e e ),,,(),,,(43214321=εεεε.

????

???

??=??????? ??=--1121),,,(1121),,,(143214321A e e e e εεεεξ, 所以ξ在4321,,,εεεε下的坐标是

??

?

??--41,41,41,45. (2) 同理解得所以ξ在4321,,,εεεε下的坐标是(1,0,-1,0). 8．求下列线性空间的维数与一组基. (1) 数域P 是的空间n n P ?.

(2) n n P ?中的全体对称(反对称, 上三角)矩阵作成的数域P 上的线性空间. (3) 第3题的(8)中的空间.

(4) 实数域上由矩阵A 的全体实多项式组成的空间, 其中

????

? ??=20000001ωωA .

解: (1) n n P ?的一组是2,.1,2,...,,ij E i j n n =共有个(矩阵)元素. 它们线性无关,

,1

0()0,,0n

ij

ij

ij ij i j a E

A a i j a ==?==??=∑.且任何

,1

(),n

n n

ij ij

ij

i j B b P

B b E

?==∈=

∑则, 所以2dim ,,,1,2,...,n n ij P n E i j n ?==它的一个基是.

(2)n n P ?中全体对称矩阵集合S(P),它的一个基是,ij ji E E i j +≤

1

dim ()(1)2

S P n n =+

n n P ?中全体反对称矩阵集合K(P),它的一个基是,ij ji E E i j -< 1

dim ()(1)2

K P n n =

-. n n P ?中全体上(),,ij U T E i j ≤三角矩阵集合它的一个基是 1

dim ()(1)2

U T n n =

+. n n P ?中全体真下(),,ij D T E i j +>三角矩阵集合它的一个基是

1

dim ()(1)2

D T n n =

- (3) 对于第2题之(8)中的空间R +, 这是一个一维的线性空间, 事实上,我们可以取其中的一个数e(无理数), 则e ≠1, 且对于任意的a ∈ R +,去k=lna ,有 a=k ?e=e ln a . 即a 可由e 线性表出. (4)

解：因为ω3=1, 所以 222

34111.11A A E ωωωω?????? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ???????

.

故对任意的设()()2012[],n n f x R x f x a a x a x a x ∈=++++,

则()()()()2036147258f A a a a E a a a A a a a A =+++

++++++++

故()2210A b A b E b A f ++=.

∴E,A,A 2可表示V 中所有元素。

如果21220000x y z xE yA zA x y z x y E ωωωω++=??

++=?++=??++=?

∵系数行列式()222111

130,01x y z ωωωωωω=-≠===所以只有零解.

即，E 、A 、2A 线性无关，由定理1, dimV=3, 它的一个基是E, A, 2A .

9. 在P 4中,求由基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标.

(1)()()()()()123412341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,,,,x x x x εεεεξ=====

()()()()12342,1,1,1,0.3.1.0 5.3.2.1, 6.6.1.3,ηηηη=-===

(2) 1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)εεεε=-=-=-=--, 1234(2,1,0,1)(0.1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)

ηηηη===-=, (1,0,0,0)ξ=.

(3) ()()()()12341,1,1,11,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1εεεε==--=--=--. ()()()()12341,1,0,1,2,1,3,1,1,1,0,0,1,1,1,1ηηηη====--.

求()12341,0,0,1,,,ξηηηη=-在下的坐标.

解(1) 设过渡矩阵是A, 即(4321,,,ηηηη)=(4321,,,εεεε)A, 所以

??

?

?

?

?

?

?

?-=3101121163316502A .

ξ在4321,,,ηηηη下的坐标为

.27263

19

127

732003127233

194271

911131944321432114321??????

? ?????????????

??----

--

-=??????? ??=??????? ??''''-x x x x

x x x x A x x x x (2) 求由求由基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求ξ在1234,,,εεεε下的坐标.

解: (4321,,,εεεε)=(4321,,,e e e e )A, (4321,,,ηηηη)=(4321,,,e e e e )B, 所以 (4321,,,ηηηη)=(4321,,,e e e e )B= (4321,,,εεεε)A -1B=(4321,,,εεεε)T.

求得过渡矩阵是??

?

?

?

?

?

?

?=010*********

1001T , ξ在1234,,,εεεε下的坐标为

()13

3,132,135,135--.

(3) 与(2)类似,得到基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵为

??????????

? ??------=410

4

14

141043414321414

141214743

T . ξ在4321,,,ηηηη下的坐标为).2

3

,4,21,2(---

10．继第9 题1）求一非零向量ξ，它在基4321,,,εεεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标.

解: 由条件可知, 应该求向量ξ使得

ξ=4433221144332211ηηηηεεεεx x x x x x x x +++=+++. 即

ξ=(4321,,,εεεε)??????? ??4321x x x x =(4321,,,ηηηη)????

??

? ??4321x x x x .

(44332211,,,ηεηεηεηε----)??????? ??4321x x x x =0, 求得??????? ??4321x x x x =?

???

???

?

?-k k k k .

11. 证明实数域作为自身上的线性空间与第3题之(8)中的空间同构.

证明: 已知第3题之(8)中的空间是一个一维的线性空间. 实数域作为自身上的线性空间元素一维的. 事实上, 1就是它的一组基,任何向量a ∈R 都可由1线性表出: a=a ?1. 由定理12, 同一个数域上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相同, 所以这两个空间同构.

12．设V 1, V 2 都是线性空间V 的子空间且V 1 ?V 2, 证明如果21dim dim V V =, 则

21V V =.

证明: 取的V 1基: r εεε,...,,21, 则r εεε,...,,21∈ V 2, 由于21dim dim V V =,得

r εεε,...,,21也是V 2的基. 得21V V =. 13. 设A ∈n n P ?,

(1) 证明全体与A 可交换的矩阵组成n n P ?的一个子空间. 记作C(A). (2) 当A=E 时, 求C(A).

(3) 当12...A n ?? ?

?= ? ?

??

时, 求C(A)的维数和一组基. 解: (1)

()0C A φ∈≠.

?k ∈P, ()()()A Y X YA XA AY AX Y X A A C Y X +=+=+=+?∈?,

()()()()A kX k AX k XA X kA ?===.

()A C kX Y X ∈+,, C （A ）是n n P ?的一个子空间.