高等数学期中考试试题(下)
高等数学期中考试试题 2007.05
1. 1y
x y x y x lim 222
22)0,0()y ,x (-=+--→. 2. 曲面z =xy 在点 M 0( 3 , 1 , 3 ) 处的法线垂直于 平面z =x +3y -2.
3. 设
x
)y
z (u =，则dz
dy |du )1,1,1(+-=.
4. 函数)z y x ln(u 2
22++=在点)2,1,0(M 0处沿向量
}1,1,2{l --= 的方向导数为6
54- .
5. 设)y ,x ,u (f z =，其中x
xe u =且f 具有二阶偏导数，
则'
'23''13)1x (x 2f f e y
x z +=???+ 6. 曲线???=++=++1
z y x 0
z y x 2
22, 则在点)21,0,21(-处的切线的方向 向量为}2
1
-,22,21{
- . 7. 函数z =x-2y -3xy 在区域D: 0y ,0x ,2y x ≥≥≤+，
上的最大值为 2 , 最小值为419
- .
8.
?
?
--+20
0y 2y 222
x d y x y d 在极坐标系中的二次积分的值为
?
?
ππθθ2
2sin 0
2r d r d ; 经计算该二次积分值为
92π
.
9．设Ω是由曲面4z z y x 2
22=++所围成的区域，则重积分???Ω
dv
z 化为柱面坐标系下的三次积分为?
?
?π-+--θ20
r 42r 422
22
z d rz dr d ,
化
为
球面坐标系下的三次积
分
为
?
?
?π?π
???θ20
4sin 0
3
2
r d sin cos r d d , 经计算得值
364
10. 设曲线0y ,2x y x :L 2
2≥=+的线密度为x =ρ, 则L 的质量M
用线积分表示为?
L
xds , 化为定积分为 ?
π
θθ+0
)d cos (1,
其值为π .
11. 将变力2
2
y x
j x - i y f +=沿曲线 12y x :L 2
2=+逆时针所做的功表
示成积分为?+L
22y x xdy
-ydx , 经计算得其值为π-2
二、单项选择：（每题1分，共4分）
1. 设函数22y x )y ,x (f +=, 则在点)0,0(处不正确的结论是（D ）. (A)连续 (B)方向导数存在 (C)有极小值 (D) 偏导数存在
2. 设函数)y ,x (f ，)y ,x (φ有偏导数， 且)y ,x (f z =在点)
y ,x (M 000处在条件0)y ,x (=φ下取得极值，则（ D ）正确. A. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 都必等于0； B. )y ,x (f 00x 必等于0, )y ,x (f 00y 可能不为0；
C. )y ,x (f 00x 可能不为0, )y ,x (f 00y 必等于0；
D. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 可能都不等于0；
高等数学期中考试试题 2002.04.20
一、填空：（每空1分，共15分） 1．已知直线L 1：3
z z 21y 1x 0
-=+=-与直线 L 2：
2
3
z 34y 12x -=--=--相交，则z 0= 15 。
2．曲面z =x 2-xy +y 2 在点 M 0( 2 , 2 , 4 ) 处的切平面 平行 平面2x +2y -z =5。
3．设)y
z (yf z y x 222=++，且f (1)=3，f '(1)=0，
则)1,1,1(|z d =dy 2
1
dx +-。
4．二次积分??+1
01
x 2dy )y 1ln(dx 的值为2
1
ln2-。
5．设z =f (x 2, y sin x )，其中f 具有二阶偏导，
则y
x z
2???='
2''22''12
f cos xf cos x sin y f 2xsinx ++。
6．已知 ???=++=++1z y x 0z y x 2
22，则)
,0,(
2
22
2z d y
d -
= -2 。
7．??--
1
0x
x 112
dy xy dx 在极坐标系中的二次积分为
??π
θ
θθθ4
02sin 0
2
2
dr cos sin r d ；经计算，该二次积分值为 121
。 8．函数z =x 3+y 3-3xy 的极值为 -1 。 9．设Ω是由曲面z =xy ，z =0及x +y =1所围成的立体，
则???Ω
dv xy 的值＝
1801。
10．设一平面垂直于平面z =0，并通过从点(1, -1, 1)到直线
?
?
?==+-0x 0
1z y 的垂线，则该平面的方程为012y x =++。
11．设Ω={(x , y , z ) | x 2+y 2+z 2 ≤ 4，z ≥ 0}，
则???Ω
++dv )3x 3z (的值 =π20。
12．设区域Ω 由曲面z =x 2+y 2与2
2y x 2z +-=所围成，Ω 上任
一点(x , y , z )处的密度为μ=x 2
+y 2
，则Ω 的质量m =
154π
。
13．曲面∑：x 2+2y 2+3z 2-6=0上的点到平面∏：x -2y +3z =50
的最近距离d 1=147
22
，最近距离d 2=144。
二、单项选择：（每题1分，共5分）
1．下列向量的运算式中总成立的是（ A ）。 A ．)c b (a c )b a (
??=??
B ．)c b (a c )b a (
??=?? C ．)c b (a c )b a (
??=??
D ．若c a b a
?=? ，则必有c b =
2．设f (x , y )在(x 0, y 0)处：(1)可微； (2)偏导存在； (3)连续； (4)沿任何方向的方向导数存在，则下列各式中( D )正确。 A ．(2) ? (3) B ．(2) ? (1) C ． (4) ? (2)
D ．(1) ? (4)
3．设f (x , y )在(x 0, y 0)处偏导存在，则?????==0
)y ,x (f 0
)y ,x (f 00'y 00'
x 是f (x ，y )
在(x 0，y 0)取得极值的( B )。 A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设xoy 面内的有界闭区域D 关于x 、y 轴对称，D 1是D 在第一、二象限的部分，D 2是D 在第一、四象限的部分，D 11是D 在第一象限的部分，且连续函数f (x ，y )在D 内有f (-x ，y )= f (x ，y )，则( B )正确。
A ．????σ=σD
D 1
d )y ,x (f 2d )y ,x (f B ．????σ=σD
D 2
d )y ,x (f 2d )y ,x (f
C ．??=σD
0d )y ,x (f D ．????σ=σD
D 11
d )y ,x (f 4d )y ,x (f
5．设??
≤+σ+=
1
|y ||x |221d )y x (I ，??
≤+σ+=
1
|y ||x |2222d )y x (I ，
??
≤+σ+=
1
y x 22322d )y x (I ，则有( D )成立。
A ．I 1> I 3> I 2
B ．I 2> I 1> I 3
C ．I 3> I 2> I 1
D ．I 3> I 1> I 2
高等数学期中考试试题 2000年4月15日 一、填空题（5分）
1. 设)y x ,xy (f z +=具有二阶连续偏导数，
则 '
1''22''12''112f f f )y x (f y
x z ++++=???
2. 交换积分次序
dx )y ,x (f dy
dy )y ,x (f dx 10
1
y -1-1x x 20
1
2
2
???
?=-
3. 设D 为Ry 2y x 2
2
≤+，则 4
D
2
2
R 23dxdy )y x (π=+??
4. 设C 为以)1,0(),0,1(),0,0(为顶点的三角形的三边，
则 62
xyds C
=?
5. 设)2,2,1(M -，求xyz u =在M 点沿OM l =
方向的
方向导数 4l u
M
-=??
二、选择题（5分）
1. 下列说法正确的是 （ C ）
A. )y ,x (f 在)y ,x (00处偏导数存在则在该点连续
B. )y ,x (f 在)y ,x (00处连续则在该点偏导数存在，
C. )y ,x (f 在)y ,x (00处偏导数连续则在该点可微，
D. )y ,x (f 在)y ,x (00处可微则在该点偏导数连续.
2. 若)y ,x (f 在有界闭区域D 中可微，则)y ,x (f 在D 中有（ B ） A. 驻点必为极值点， B. 极值点必为驻点， C. 极值点必为最值点， D. 最值点必为极值点.
3. 设 D :1y x 22≤+，1D :0x ,1y x 2
2≥≤+，则
????=1
D D
dxdy )y ,x (f 2dxdy )y ,x (f 成立的充分条件为（ A ）
A.)y ,x (f )y ,x (f =-，
B.
)y ,x (f )y ,x (f =-，
C. )y ,x (f )y ,x (f -=-，
D. )y ,x (f )y ,x (f -=-.
4. 曲面2
2y x 1z --=与坐标面所围成立体的体积为（ B ）
A.3
4π
， B.
2π， C. π， D. 3
2π
.
5. 设质点沿曲线L 从起点移动到终点，则变力
j )y ,x (Q i )xy (P )y ,x (F
+=所作的功为（ D ） A.
?L
ds )y ,x (P ， B. ?L
ds )y ,x (Q ，
C. ?+L
Pdy Qdx ， D.
?+L
Qdy Pdx .
三、（3分）计算???Ω
++dv )1x 2z (，其中，Ω为z 2z y x 2
22≤++
（???Ω
++dv )1x 2z (=38π）
四、（3分）计算 dy )e x (dx )y 2
1(L y sin ?++-，其中L 由1y x =+上从)0,1(A 到 )1,0(B 和 1y x 2
2=+上从 )1,0(B 到 )0,(C -的两
段组成。（
2
π
）
五、（4分）在曲面2
2y x 4z --=的第一卦限上取一点，过该点作
曲面的切平面，求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积。（9）