用因式分解法解一元二次方程(知识点-经典例题-综合练习)

用因式分解法解一元二次方程

【主体知识归纳】

1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．

2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0．

【基础知识讲解】

1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．

2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．

【例题精讲】

例1：用因式分解法解下列方程：

(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．

解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．

(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．

(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．

∴x 1＝0，x 2＝2

3． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？

例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2

－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；

(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．

剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．

解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．

(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．

(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，

∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝3

7232)1(34)4()4(2±=?-??--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝3

72-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；

∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．

(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0，

∴x －3＝0或4x －1＝0，

∴x 1＝3，x 2＝4

1． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，

［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，

［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，

(11x －8)(x ＋12)＝0，

∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝11

8，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．

- 3 - / 8- 3 - / 8 (2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．

例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．

解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．

当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．

(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．

分解因式，得

［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，

∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，

∴x 1＝b a a b +-，x 2＝b

a b a -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．

例4:已知x 2－xy －2y 2

＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式222

25252y xy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2

＝0因式分解即可得x 与y 的比值．

解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ． 当x ＝2y 时，135y

13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+??+-??-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 2

22222222-=-=+?-?+--?-?--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．

【同步达纲练习】

1．选择题

(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )

A ．x 1＝－16，x 2＝8

B ．x 1＝16，x 2＝－8

C ．x 1＝16，x 2＝8

D ．x 1＝－16，x 2＝－8

(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )

A ．．x ＝21

B ．x ＝2

C ．x ＝1

D ．x ＝－1

(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )

A ．x 1＝5

3，x 2＝3 B ．x ＝53

C ．x 1＝－53，x 2＝－3

D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )

A ．y 1＝5，y 2＝－2

B ．y ＝5

C ．y ＝－2

D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )

A ．x 1＝1，x 2＝－5

B ．x 1＝－1，x 2＝－5

C ．x 1＝1，x 2＝5

D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为

( )

A ．1

B ．2

C ．－4

D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )

A ．5

B ．5或11

C ．6

D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．填空题

(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．

(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．

(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．

(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．

(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．

3．用因式分解法解下列方程：

(1)x 2＋12x ＝0；

(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；

(4)x 2－4x －21＝0；

(5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2

＋2x －1＝0；

(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．

4．用适当方法解下列方程：

(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；

(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；

(6)(3－y)2＋y2＝9；

(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；

(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；

(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．

5．解关于x的方程：

(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；

(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．

- 5 - / 8- 5 - / 8

6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求

y

x y x +-的值．

7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2

的值．

8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．

9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．

10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．

11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．

当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．

当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．

∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．

(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．

(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗

- 7 - / 8- 7 - / 8

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D

2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝2

1；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝3

1； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝

253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－2

3；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝

55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2

－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1， (x －2a )2＝(a －1)2，

∴x －2a ＝±(a －1)，

∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．

(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2

－5k －6＝0， x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，

［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，

∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．

(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2

∴x 1＝4m ，x 2＝－2m

(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，

(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，

∴x 1＝－m ，x 2＝－m －1

6．(x ＋4y )(x －y )＝0， x ＝－4y 或x ＝y

当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3

544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，

y x y x +-＝y y y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，

(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，

(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，

∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)

8．x 1＝－36，x 2＝24

9．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，

∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝10 10．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去) 11．(1)x1＝－2，x2＝2

(2)(x2－2)(x2－5)＝0，

(x＋2)(x－2)(x＋5)(x－5)＝0