第讲 几何证明与计算(k字型的妙用)
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复习
第74讲几何证明与计算
（“K ”字型的妙用） 三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。
学习目标：
1.学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验
2.经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力
学习重点：会用“K”字型的性质解决问题
学习难点：“K”字型的构造
学习过程：
一、温故知新
观察下列基本图形，你能得出什么结论？
（1）如图，已知：点B 、C 、D 在同一直线上，AC ⊥EC ，AB ⊥BD ，ED ⊥DB. 追问1
追问2AC≠CE ，你有什么新的发现？
（2∠ACE=∠D ，问：∠A 、∠ECD 有何关系？ （3）“K”字型呈现形式：
二、自主练习：
1．如图，等边△ABC 的边长为9，BD=3，∠ADE=60度，则AE 长为. 2．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（ ）.
A ．45°
B ．50°
C ．60°
D ．不确定
三、经典例题：
D A B D E
例：如图，在ABC ?中，90ABC ∠=，过点C 作AC 的垂线CE ，且CE =CA ，连接AE 、BE .
（1）若tan 2BAC AE ∠==，求四边形ABCE 的面积； （2）若EA EB =，求证2AB BC =.
四、赢在中考：
1．小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a 、b 上（如图），已知∠2=35°，则∠1的度数为（ ）.
A ．55°
B ．35°
C ．45°
D ．125°
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为（0，2），B 点
在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，OM =C 的坐标为．
3．正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，过点E 作EF ⊥CE 交AB 于点F ．若BF=2，BC=6，求FE 的长.
五、感悟数学：
六、课后作业：
1． 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B
在反比例函数y=的图象上，且OA ⊥OB ，t anB=，
则k 的值
2.如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，
点B 在x 轴上，且()01，-B ，A 点的横坐标是2，AB=3BC ，双曲线()04＞m x m y =经过A 点，双曲线x m y -=经过C 点，则m 的值为（）
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3
3．如图，矩形ABCD 的顶点A 、D 在反比例函数6(0)y x x
=>的图象上，顶点C 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且2AB BC
=，再在其右侧作正方形DEFG 、FPQR （如图所示），顶点F 、R 在反比例函数6(0)y x x
=>的图象上，顶点E 、Q 在x 轴的正半轴上，则点R 的坐标为．
4．已知：在ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F．
（1）若点E是CD的中点，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）求证：∠AFM=3∠BCF．
德中命制人：邓宏书审稿人：刘加勇
“K”字型的妙用参考答案
二、自主练习：
1．7
2.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得
∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．
【解答】解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，
∴EF=EB，
∵E是∠BCD角平分线上一点，
∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，
Rt△BHE和Rt△EIF中，，
∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），
∴∠HBE=∠IEF，
∵∠HBE+∠HEB=90°，
∴∠IEF+∠HEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB=45°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．
三、经典例题：
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积
=S△ABC+S△ACE即可解题；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．
【解答】解：（1）∵AC⊥CE，CE=CA，
∴AC=CE=AE=，
∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=，
∴AB=BC=，
∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE=AB?BC+AC?CE
=××+××=+1；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，
则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，
∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
∵在△ABC和△CFE中，，
∴△ABC≌△CFE，（AAS）
∴EF=BC，
∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，
即AB=2BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证
△ABC≌△CFE是解题的关键．
四、赢在中考：
1.【考点】平行线的性质；余角和补角．
【分析】根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：
∵∠ACB=90°，∠2=35°，
∴∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°．
故选A．
【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．
2.【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，MP⊥y轴，根据正方形的性质可以得出MB=MA，可证明△AMP≌△BMF，就可以得出PM=MF，就可以证明四边
形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由△AOBP≌△BECF，从而得出C 点的纵坐标．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，
∴∠MFO=∠CEO=∠AOB==∠APM=90°，
∴四边形POFM是矩形，
∴∠PMF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠AMB=90°，AM=BM，
∴∠OAB=∠EBC，∠AMP=∠BMF，
∴△AMP≌△BMF（AAS），
∴PM=FM，PA=BF，
P
∴四边形POFM是正方形，
=3，
∴Array
∵A（0，2），
∴OA=2，
∴AP=BF=3-2=1，
∴OB=3+1=4，
∵在△AOB和△BEC中，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB=CE=4，AO=BE=2．
∴OE=4+2=6，
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键．3.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】连接CF，由正方形的性质得出∠B=90°，再由EF⊥CE，证得△MEF≌△NCE，得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF==CF，再由勾股定理求得CF即可．
【解答】解：连接CF,过点E作MN∥AD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
可得四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=CD
∵∠DNE=90°，∠BDC=45°，
∴DN=EN
∴ME=CN
∵EF⊥CE，
∴∠CEF=90°，
∴∠MEF=∠ECN
且∠FME=∠ENC=90°
∴△MEF≌△NCE（ASA），
∴EF=CE
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF==CF，
由勾股定理得：CF===2，
∴EF=×2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
六、课后作业：
1.【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，根据tanB==，可得
，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BC⊥x轴于点C，设A点坐标是（x，y）
，
∴∠C=∠D=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠D=∠C，
∴△OAD∽△BOC，
．
∵tanB==，
∴，
y=AD=OC，x=OD=BC，
∵第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，
∴xy=OC×BC=2，
∴k=OC?BC=2×3=﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式．
2.【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双
曲线y=4m
x
上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程
求解．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵A点的横坐标是2，且在双曲线y=4m
x
上，
∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠FCB，
∴△ABE∽△BCF，
∴===3，
∴CF=1，BF=2
3
m
，
∴C（﹣1﹣2
3
m
，1），
∵双曲线y=
m
x
经过C点，
∴﹣1﹣2
3
m
=﹣m，
∴m=3，
故选D．
【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．
3.【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角形DME与三
角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于b的
方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形RFI 与三角形RQH全等，设R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标．
【解答】解：过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，
∵ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC，
∴∠BCD=90°，∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠MCD=∠MDC=45°，
∴△BOC∽△CMD，且相似比为1：2，
设OC=OB=a，则CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，
∴D（3a，2a），
将D坐标代入反比例y=中得：6a2=6，即a2=1，
解得：a=1（负值舍去），
∴DM=2，OM=3，
∵DEFG为正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠MDE+∠MED=90°，∠MED+∠NEF=90°，
∴∠MDE=∠NEF，
在△DME和△ENF中，
，
∴△DME≌△ENF（AAS），
∴DM=EN=2，FN=ME，
设F（，b），则FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，
可得5+b=，即b2+5b﹣6=0，即（b+6）（b﹣1）=0，
解得：b=1或b=﹣6（舍去），
∴F（6，1），即ON=6，FN=1，
同理△RFI≌△RQH，
设RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），
将R坐标代入y=中得：c（6+c）=6，
即c2+6c+9=（c+3）2=15，
解得：c=﹣3+或c=﹣3﹣（舍去），
则R（3+，﹣3+）．
故答案为：（3+，﹣3+）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
4.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）易证△ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根据平行四边形的性质可知：AD=BC，所以AC=BC，即△ABC是等腰三角形．
（2）连接BM，由已知条件可证明：△ABM≌△ECM，所以∠CME=∠AMF，再根据三角形外角之间的关系即可证明：∠AFM=3∠BCF．
【解答】证明：（1）∵AE⊥CD，CE=DE，
∴AC=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）连接BM，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠CEM，
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（SAS），
∵∠AMF=∠ACM+∠CAM，∠CME=∠AMF，
∴∠CME=∠ACM+∠CAM，
∵∠CAE=∠DAE，
∴∠AFM=3∠BCF．