南昌市十校联考八年级(上)期末数学试卷含答案
八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.要使分式有意义，则x的取值应满足（）
A. x≥3
B. x＜-3
C. x≠-3
D. x≠3
2.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102米，数0.000000102用科
学记数法表示为（）
A. 10.2x10-7
B. 1.2×10-6
C. 1.02×10-7
D. 1.02x10-5
3.下列运算中正确的是（）
A. a5+a5=2a10
B. 3a3?2a2=6a6
C. a6÷a2=a3
D. （-2ab）2=4a2b2
4.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）
A. 3（a+b）=3a+3b
B. x2+6x+9=x（x+6）+9
C. ax-ay=a（x-y）
D. a2-2=（a+2）（a-2）
5.x2+kx+16是一个完全平方式，则k等于（）
A. ±8
B. 8
C. ±4
D. 4
6.若分式方程无解，则a的值为（）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 0
7.图（1）是一个长为 2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形
状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成
一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A. a2-b2
B. （a-b）2
C. （a+b）2
D. ab
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆
心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，
再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，
两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则
下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD=2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB=1：2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.因式分解：x2-4=______．
10.若分式的值为零，则x的值等于______．
11.已知10a=2，10b=3，则102a+3b=______．
12.若数m，n满足|m-2|+（n-2018）2=0，则m-1+n0=______．
13.如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对
称点，连接CD交OA、OB分别于点E、F；若△PEF的周长的为10，则线段OP ＝_____．
14.已知：如图△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA
上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度
数为______．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
15.因式分解：
（1）ax2-4axy+4ay2
（2）a3b-ab3
16.用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到
怎样的等式：______．
（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2，ab=，求a-b的值；
（3）根据（1）中的结论若x2-3x+1=0，求（x-）2的值．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）
17.（1）解分式方程：
（2）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且
∠A=∠D，AB=DC．
求证：∠EBC=∠ECB．
18.（1）已知x2+x=2，求（x+2）2-x（x+3）+（x+1）（x-1）的值．
（2）化简：，并从±2，±1，±3中选择一个合适的数求代数式的值．
19.为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车“公益活动某公司在小区分
别投放A、B两种不同款型的共享单车，其中A型车的投放量是B型车的投放量的
倍，B型车的成本单价比A型车高20元，A型、B型单车投放总成本分别为30000元和26400元，求A型共享单车的成本单价是多少元？
20.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解
因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：x2-2xy+y2-16=（x-y）2-16=（x-y+4）（x-y-4）
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式x2-4y2-2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2-b2-ac+bc=0判断△ABC的形状，井说明理由．
21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC
外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．
22.阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2=（a+b）2-2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子：①a2b2②a2-b2③④a2b+ab2中，属于对称式的是______（填序号）
（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n．
①若m=2，n=-4，求对称式a2+b2的值
②若m=-4，求对称式的最大值；
23.已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠-3，
故选：C．
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x+3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．2.【答案】C
【解析】解：0.000000102=1.02×10-7，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：（A）a5+a5=2a5，故A错误；
（B）3a3?2a2=6a5，故B错误；
（C）a6÷a2=a4，故C错误；
故选：D．
根据整式运算即可求出答案．
本题考查整式的运算，注意熟练运用公式进行计算．
4.【答案】C
【解析】解：ax-ay=a（x-y），故C说法正确，
故选：C．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
本题考查了因式分解，注意因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积．
5.【答案】A
【解析】解：∵（x±4）2=x2±8x+16，
∴k=±8，
故选：A．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．6.【答案】A
【解析】解：∵，
∴=2，
∴x=9-a，
由于方程无解，
∴x-4=0，
∴9-a-4=0，
∴a=5，
故选：A．
根据分式的方程的解法即可求出答案．
本题考查分式的方程，解题关键是熟练运用分式的方程的解法，本题属于基础题型．7.【答案】B
【解析】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），
正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
故选：B．
先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
在Rt△ACD中，CD=AD=1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴S△DAC：S△DAB=AC?CD：?AB?DH=1：2
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故选：D．
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④作DH⊥AB于H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出DC=DH即可解决问题；
⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9.【答案】（x+2）（x-2）
【解析】解：x2-4=（x+2）（x-2）．
故答案为：（x+2）（x-2）．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
10.【答案】2
【解析】解：根据题意得：x-2=0，
解得：x=2．
此时2x+1=5，符合题意，
故答案是：2．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
11.【答案】36
【解析】解：∵10a=2，10b=3，
∴102a+3b=（10a）2?（10b）2=4×9=36，
故答案为36．
根据幂的乘方进行计算即可．
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：∵|m-2|+（n-2018）2=0，
∴m=2，n=2018，
则m-1+n0=+1=．
故答案为：．
直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
13.【答案】10
【解析】解：连接OD，OC，
∵∠AOB=30°；点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠DOC=60°，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，
∴△DOC是等边三角形，
∵△PEF的周长的为10，
∴OP=10．
故答案为：10．
首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
本题考查了轴对称的性质，得出△DOC是等边三角形是解题关键．
14.【答案】70°或40°或20°
【解析】解：如图，有三种情形：
①当AC=AD时，∠ACD=70°．
②当CD′=AD′时，∠ACD′=40°．
③当AC=AD″时，∠ACD″=20°，
故答案为70°或40°或20°
分三种情形分别求解即可；
本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：（1）原式=a（x2-4xy+4y2）=a（x-2y）2；
（2）原式=ab（a2-b2）=ab（a+b）（a-b）．
【解析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16.【答案】（a+b）2-（a-b）2=4ab
【解析】解：（1）根据题意得：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2）∵a+b=2，ab=，
∴4-（a-b）2=3，即（a-b）2=1，a＞b，
则a-b=1；
（3）∵x2-3x+1=0，
∴x+=3，
代入（x+）2-（x-）2=4，得：9-（x-）2=4，即（x-）2=5．
（1）根据直接求与间接求阴影部分面积，得到等式即可；
（2）把已知等式代入得出的等式计算即可求出所求；
（3）已知等式变形后，利用得出的等式变形，计算即可求出所求．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：（1）原方程化为：1+2（x-2）=-1-x
解得：x=，
经检验x=是原方程的解；
（2）在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB；
【解析】（1）根据分式方程的解法解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
18.【答案】解：（1）原式=x2+4x+4-x2-3x+x2-1
=x2+x+3，
把x2+x=2代入得，
原式=2+3=5；
（2）原式=×
=，
当x=1时，原式=．
【解析】（1）直接利用乘法公式去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案；（2）直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：设B型共享单车的成本单价是x元，则A型共享单车的成本单价是x
元，
依题意，得-=20，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x=150．
答：A型共享单车的成本单价是150元．
【解析】设B型共享单车的成本单价是x元，则A型共享单车的成本单价是x元，根据
单价=总价÷数量结合B型车的成本单价比A型车高20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：（1）x2-4y2-2x+4y=（x+2y）（x-2y）-2（x-2y）
=（x-2y）（x+2y-2）；
（2）△ABC为等腰三角形．、
理由如下：
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
（a-b）（a+b-c）=0，
∵a、b、c为）△ABC三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，即a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
【解析】（1）先分组，然后题公因式（x-2y）即可；
（2）把等式左边利用分组分解法因式分解得到（a-b）（a+b-c）=0，利用三角形三边的关系得到a-b=0，从而可判断△ABC为等腰三角形．
本题考查了因式分解的应用，数的整除性问题，比较简单．
21.【答案】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=（360°-60°）=150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出
∠ADB=∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．
22.【答案】①③④
【解析】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，
故答案为：①③④，
（2）①∵（x+a）（x+b）=x2+mx+n．
∴m=a+b，n=ab，
①当m=2，n=-4时，即∴a+b=2，ab=-4，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=4+8=12，
②当m=-4时，即a+b=-4
设S=ab=a（-4-a）=-a2-4a，
当a==-2时，S最小，即ab最小，
==
当ab最小时，代数式的值最大，此时a=-2，b=-2，
∴=1+1=2．
答：代数式的最大值为2．
（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n．则m=a+b，n=ab，①m=2，n=4，利用整式变形可求出a2+b2的值，②m=4时，即a+b=4，可以求出ab的最小值，进而得出
式的最大值；
考查“新定义”的意义、整式、分式的化简求值以及二次函数的最值的求法等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．
23.【答案】（1）证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF=∠BCF=90°，
∵∠AFE=∠CFB，
∴∠DAC=∠CBF，
∵BC=CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF=AD．
（2）结论：BD=2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，
∴∠DAC=∠AEH，∵AD=AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD=AH，EH=AC=BC，
∵CB=CA，
∴BD=CH，
∵∠EHF=∠BCF=90°，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴△EHF≌△BCF，
∴FH=CF，
∴BC=CH=2CF．
（3）如图3中，同法可证BD=2CM．
∵AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，
∴==．
【解析】（1）欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD=2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
（3）利用（2）中结论即可解决问题；
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．