最新部编版八年级上册数学知识归纳可直接打印

三角形的定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。2三角形的表示

三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C 的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。

注意：

(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

(2)三角形是一个封闭的图形；

(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

3三角形的分类

(1)按边分类：

(2)按角分类

4三角形的主要线段的定义

②∠1=∠2=∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）

③用量角器画三角形的角平分线。

(3)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

表示法：①AD是△ABC的BC上的高线

②AD⊥BC于D

③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）

③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）

5三角形的主要线段的表示法

三角形的角平分线的表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①AD是DABC的角平分线；

②AD平分DBAC，交BC于D；

(图1)

(2)三角形的中线表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①AE是DABC的中线；

②AE是DABC中BC边上的中线；

(3)三角线的高的表示法：

如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：

①AM是DABC的高；

②AM是DABC中BC边上的高；

③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；

在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.

(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

图3 图4

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

图5 图6 图7

6三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；

(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

7三角形的角与角之间的关系

(1)三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

8三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

推理过程：

(1)作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，

即∠A+∠B+∠ACB=180度．

(2)作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度

即∠BAC+∠B+∠C=180度．

注意：

(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．

(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．9

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

10三角形外角的性质

(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；

(1)作CM∥AB由于B、C、D共线

∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

11三角形的稳定性

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。

注意：(1)三角形具有稳定性；

(2)四边形没有稳定性.

关于三角形会经常遇到的题型：

适当添加辅助线，寻找基本图形。

(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，

图8

(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

图9

(3)基本图形三，如图10，如果BD是DABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12。

12多边形

在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

(1)多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

(2)正多边形

各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形

(3)多边形的内角和为（n-2）*180度

多边形的外角和为360度

注：当求角度时应该想起内角和或者外角和或者一个角的外角

13密铺

所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

可单独密铺的图形

①所有三角形与四边形均可以单独密铺。

②正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。

③对边平行的六边形可以单独密铺。

平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。

(利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360)

曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。

第十二章全等三角形

一、知识框架：

二、知识概念：

1.基本定义：

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.基本性质：

⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.

⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

4.角平分线：

⑴画法：

⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

5.证明的基本方法：

⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）

⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.

⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

第十三章轴对称

一、知识框架：

二、知识概念：

1.基本概念：

⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.

⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.基本性质：

⑴对称的性质：

①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

②对称的图形都全等.

⑵线段垂直平分线的性质：

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质

⑷等腰三角形的性质：

①等腰三角形两腰相等.

②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.

③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.

④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.

⑸等边三角形的性质：

①等边三角形三边都相等.

②等边三角形三个内角都相等，都等于60°

③等边三角形每条边上都存在三线合一.

④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形.

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对

等边）.

⑵等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等的三角形是等边三角形.

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直线的垂线：

⑵做已知线段的垂直平分线：

⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.

⑷作已知图形关于某直线的对称图形：

⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.

整式的乘法与因式分解

知识结构图：

一、整式的有关概念

1．整式

整式是单项式与多项式的统称．

2．单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

3．多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

二、整数指数幂的运算

1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；

（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，

等于这个数的p指数幂的倒数。

（3）科学记数法：或

绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

三、同类项与合并同类项

1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

四、求代数式的值

1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．

2．求代数式的值的基本步骤：

(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；

(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．

五、整式的运算

1．整式的加减

(1)整式的加减实质就是合并同类项；

(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．

2．整式的乘除

(1)整式的乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．

③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．

(2)整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

六、因式分解

1．因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．

(2)运用公式法

①运用平方差公式：．

②运用完全平方公式：.

(3)十字相乘: .

3.分解因式的技巧：

(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；

(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁.