河南科技学院新科学院算法设计报告实验四大整数乘法

算 法 与 分 析 告

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一、实验名称：大整数乘法

时间：

地点：

2、实验目的及要求

在某些情况下，需要处理很大的整数，它无法在计算机中硬件能表示的整数范围内进行处理。若用浮点数来表示它，则只能近似地表示它的大小，计算结果中的有效数字也受到限制。

为了精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算法运算。即，用二进制大整数乘法以减少乘法次数，提高算法效率。

3、实验环境

运行坏境WINXP、制作平台VC++6.0。

4、实验内容

自己电脑上进行试机，在VC++6.0对程序进行调试，有错误的，问同学，和同学们一起讨论交流，或者去图书馆查阅相关资料，或者在网上查找相关资料。

5、算法描述及实验步骤

设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步

骤太多，显得效率较低。如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。

　

图6-3 大整数X和Y的分段　

我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图6-3所示。

由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。这样，X和Y的乘积为：

XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD (1)

如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，

以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。所有这些加法和移位共

用O(n)步运算。设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:

(2)

由此可得T(n)=O(n2)。因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。为此我们把XY写成另一种形式:

XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD (3)

虽然，式(3)看起来比式(1)复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。由此可得:

(4)

用解递归方程的套用公式法马上可得其解为T(n)=O(n log3)=O(n1.59)。利用式(3)，并考虑到X和Y的符号对结果的影响，给出大整数相乘的完整算法MULT如下:

function MULT(X，Y，n); {X和Y为2个小于2n的整数，返回结果为X和Y的乘积XY}

begin

S:=SIGN(X)*SIGN(Y); {S为X和Y的符号乘积}

X:=ABS(X);

Y:=ABS(Y); {X和Y分别取绝对值}

if n=1 then

if (X=1)and(Y=1) then return(S)

else return(0)

else begin

A:=X的左边n/2位;

B:=X的右边n/2位;

C:=Y的左边n/2位;

D:=Y的右边n/2位;

ml:=MULT(A,C,n/2);

m2:=MULT(A-B,D-C,n/2);

m3:=MULT(B,D,n/2);

S:=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);

return(S);

end;

end;

6、试过程及实验结果

调一、长整数运算

数A：123456789987654321

数B：987654321123456789

乘法法结果：

以上测试环境：

系统：windows 7 旗舰版。

7、总结

1、认识到自己数据结构知识的薄弱，以后要多加强，因为数据结构和算法才是一个程序的灵魂！

2、做的太匆忙，许多期待中的功能没有制作出来.。

八、附录（源程序清单）

#include

#include

using namespace std;

void MUL_max(string a,int la,string b,int lb,int **c);//相乘函数

void ADD_max(int * d,int **c,int la,int lb);//相加函数

char * ZhuanH(string);

void main()

{

string a;

string b;

int **c=NULL;

int *d=NULL;

int la=0,lb=0;

int i=0,j=0,k=0;

cout<<" ************大整数乘法**************"<

cout<<"请输入乘数：";

cin>>a;

cout<<"请输入被乘数：";

cin>>b;

la=a.length();

lb=b.length();

//分配2维C数组，存储数组a和b的乘积

c=new int*[la];

for(k=0;k

c[k]=new int[lb+1];

//分配数组d用于存储最终结果

d=new int[la+lb+1];

for(i=0;i

//初始化数组C，便于后面判断相加后的有效位数

for(i=0;i

for(j=0;j<=lb;j++)

c[i][j]=0;

//调用函数

MUL_max(a,la,b,lb,c);

ADD_max(d,c,la,lb);

k=0;

cout<

for(i=0;i<=la+lb;i++)

{

if(d[i]==0)

k++;

else

break;

}

for(i=k;i<=la+lb;i++)

cout<

cout<

for(int n=0;n

{

delete c[n];

}

delete[la] c;

delete [] d;

}

void MUL_max(string a,int la,string b,int lb,int **c)

{

int mid=0,i=0,j=0;

int k=0;

int num_a=0,num_b=0;

char *char_a=NULL,*char_b=NULL;

char_a=ZhuanH(a);//将String转化为插入*

char_b=ZhuanH(b);

//开始循环相乘la*lb次

for(i=la-1;i>=0;i--)

for(j=lb-1;j>=0;j--)

{

num_a=a[i]-48;

num_b=b[j]-48;

if((k=num_a*num_b)>=10)//判断乘积是否有进位 {

if(mid!=0)//判断前一次相乘是否有进位

c[i][j+1]=k%10+mid;

else

c[i][j+1]=k%10;

mid=k/10;

}

else//没有进位

{

if(mid!=0)//判断前一次相乘是否有进位

c[i][j+1]=k+mid;

else

c[i][j+1]=k;

mid=0;

}

}

if(mid!=0)

c[i][0]=k/10;//如果乘数个位和被乘数相乘，最后有进位}

//数组相加函数

void ADD_max(int *d,int **c,int la,int lb)

{

int i=0,j=0;

int mid=0;

int num_a=0,num_b=0;

int add=0,midnum=0;

//将相乘得到的二维数组C各行错位相加，得到一位数组d for(i=la-1;i>=0;i--)

for(j=lb;j>=0;j--)

{

num_a=d[i+j+1];

num_b=c[i][j];

add=num_a+num_b;

if(add>=10)//判断相加是否有进位

{

if(midnum==1)

d[i+j+1]=add%10+1;

else

d[i+j+1]=add%10;

midnum=1;

}

else

{

d[i+j+1]=add;

midnum=0;

}

}

if(midnum==1)

d[0]=add/10;

}

//转化函数

char * ZhuanH(string src)

{

char *dst=new char[255]; int i;

for(i=0;i<=src.length();i++) dst[i]=src[i];

dst[i]='\0';

return dst;

}