太原市知达常青藤中学校正弦定理专题练习答案 编号一
太原市知达常青藤中学校正弦定理专题练习 编号1
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数11】在ABC ?中，2
cos ,4,33
C AC BC =
==，则tan B = （ ）
A B ． C ． D ．【答案】C
【思路导引】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B
【解析】设,,AB c BC a CA b ===，222
2
2cos 916234933
c a b ab C c =+-=+-???
=∴=，
222
1cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===，故选：C ．
2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数7】在ABC △中，2
cos ,4,33
C AC BC ===，则cos B = （ ）
A ．19
B ．13
C ．12
D ．23
【答案】A
【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=?，即可求得答案．
【解析】在ABC 中，2
cos 3
C =，4AC =，3BC =，
根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-??，222
4322433AB =+-???，
可得2
9AB = ，即3AB =，22299161cos 2239
AB BC AC B AB BC +-+-===
?，故1cos 9B =，故选A ．
3.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）
A ．2π3
B ．π3
C ．π6
D ．5π6
【答案】D
【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A =-，
)cos A C B b A +==-sin cos B b A =-，由正弦定理可得：
sin sin cos A B B A =-，∵sin 0B >cos A A =-，即tan A =，∵(0,π)A ∈，∴5π6
A =
． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，
cos )cos 0A C C b A ++=sin cos B b A =-，再由正弦定理得到
tan A =，结合(0,π)A ∈，即可求得A 的值． 4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=． （1）求A ；
（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．
【答案】（1）23
π
；（2）3+
【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；
（2）利用余弦定理可得到()2
9AC AB AC AB +-?=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而
得到结果．
【解析】（1）由正弦定理可得：2
2
2
BC AC AB AC AB --=?，2221
cos 22
AC AB BC A AC AB +-∴==-?，
()0,A π∈，23
A π
∴=．
（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-?=++?=，
即()2
9AC AB AC AB +-?=．
2
2AC AB AC AB +???≤ ?
??
（当且仅当
AC AB =时取等号）， ()()()2
2
2
23
924
AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +??∴=+-?≥+-=+ ???，解得AC AB +≤
当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为
3+
5.【2020年高考全国Ⅱ卷文数17】△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45cos 2cos 2=+??
? ??+A A π
．
（1）求A ；
（2）若a c b 3
3
=
-，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3
A π
=
；（2）证明见解析．
【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，2
5cos cos 24A A π??
++=
???
可化为
251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3
b c -=，代入可
找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【解析】（1）∵25cos cos 24A A π??++= ???
，∴25sin cos 4A A +=，即2
51cos cos 4A A -+=，
解得1cos 2A =，又0A π<<，∴3A π
=．
（2）∵3A π=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又b c a -=②， 将②代入①得，
()2
22
3b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，∴a =，故222b a c =+，
即△ABC 是直角三角形．
【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查诱导公式及平方关系，考查三角形形状的判断，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是熟记有关公式，进行合理转化． (3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
6.【2020年高考全国Ⅰ卷文数18】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知150B =?．
（1）若,a b ==ABC ?的面积；（2）若sin A C =
2
，求C ．
【答案】（1（2）15?． 【思路导引】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =?-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解． 【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-??=，
2,c a ABC ∴==∴△的面积1
sin 2
S ac B =
=．
（2）30A C +=?，sin sin(30)A C C C ∴=?-1cos sin(30)22
C C C =
+=+?=
， 030,303060C C ?<
【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．