河北省衡水市2021届新高考数学最后模拟卷含解析

河北省衡水市2021届新高考数学最后模拟卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．

A ．26

B ．4

C ．23

D ．22

【答案】A 【解析】 【分析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，

PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，

∴22222PB =

+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 2．已知()3,0A -，)

3,0B

，P 为圆22

1x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r

，过点P 作与AP 垂直的直线

l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）

A ．1x ≥

B ．1x >

C ．

2x ≥

D ．2x ≥

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】

如图，连接OP ，AM ，

由题意得22MB MA BQ OP -===，

∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.

故选：A.

【点睛】

本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 3．数列{}n a 满足：3111

,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．

1021

B ．2021

C ．919

D ．1819

【答案】A 【解析】

分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知

111

2n n a a +-=，进而可知121

n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴

111

2n n

a a +-=，

又∵

3

1

a =5， ∴

()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121

n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++??

=

-=- ?-+??

，

∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110

112335192122121

L ????-+-++-=-= ? ?????， 故选A ．

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)

()1111n n k k n n k ??

=- ?++??；

（2）

1k

=； （3）()()1

111212122121n n n n ??

=- ?-+-+??

；（4）()()11122n n n =++ ()()()11

112n n n n ??-??+++????

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计

算结果错误.

4．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90?到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A

． B

． C

D ．25

-

【答案】A 【解析】 【分析】

设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依

题有OA OB ⊥,则90αβo

=+，利用诱导公式即可得到答案.

【详解】

如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β

因为点()1,2A 在角β的终边上，所以22

25

sin 12β=

=

+依题有OA OB ⊥,则90αβo

=+，

所以25

cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】

本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 5．在复平面内，复数2i

i

z -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】C 【解析】 【分析】

化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i i

z i i i i i

--=

==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 6．已知集合{

}

{}

2

340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I e( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-

【答案】B 【解析】

先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()eA B I 即可. 【详解】

由2340x x -->得4x >或1x <-，

()(),14,A ∴=-∞-?+∞，[]R 1,4eA =-,

又{}

13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I e. 故选：B 【点睛】

本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.

7．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为

43

π

的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）

A 2

B ．

32

C 21

+ D 31

+ 【答案】D 【解析】 【分析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，

由题意，球的体积为

43

π，即2

4433R ππ=可得球O 的半径为1，

2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为1

2

，

利用球的性质可得222131()2O O '=-=

， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为

12

， 所以球心到底面的距离为3131

222

+=

. 故选：D.

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

8．如图，圆锥底面半径为2，体积为

22

3

π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．

104

D ．

5 【答案】D 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】

将抛物线放入坐标系，如图所示，

∵2PO =，1OE =，2OC OD ==

∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得2

2y x =- ∴焦点为1,02??

-

???

， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，

12EF =

，1PE =，∴5

2

PF =

.

【点睛】

本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.

9．已知向量(2,4)a =-r ，(,3)b k =r

，且a r 与b r

的夹角为135?，则k =（ ） A ．9- B ．1

C ．9-或1

D ．1-或9

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值. 【详解】

解：由题意可得cos1352||||a b a b ?

?===-?r r r r ，

求得9k

=-，或1k =，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．

10．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=?，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A

B

C

D

【答案】C 【解析】 【分析】

设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出

11

,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据

中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 【详解】

根据题意画出图形:

设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，

则

11

,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角

可知115

22

MN AB =

=

，11222NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM V 为直角三角形；

1

1,2

PQ MQ AC ==

Q ABC V 中，由余弦定理得

22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ??

=+-??∠=+-???-= ???

7AC ∴=72

MQ =

在MQP △中，22112

MP MQ PQ =

+=

在PMN V 中，由余弦定理得

222

222

521122210cos 252

2MN NP PM MNP MH NP ???+- +-?

?????∠====????

所以2

21015

sin 1cos 155MNP MNP ??∠=-∠=--= ? ???

故选：C 【点睛】

此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.

11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z

，则表示复数2i

z

的点是（ ）

A ．E

B ．F

C ．G

D ．H

【答案】C 【解析】 【分析】

由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i

z

化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i

==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】

此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.

12．已知圆锥的高为33体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．

53

B ．

329

C ．

43

D ．

259

【答案】B 【解析】 【分析】

计算求半径为2R =，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【详解】

如图所示：设球半径为R ，则()2

2

233R R =-+，解得2R =.

故求体积为：3

143233

V R ππ==

，圆锥的体积：2213333V π=?=，故12329V V =. 故选：B .

【点睛】

本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在四面体ABCD 中，ABD ?与BDC ?都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______． 【答案】2015

27

【解析】 【分析】

先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】

取BDC ?的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，

1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==133OG MO ==123CO =

.在Rt AGO ?和1Rt OO C ?中，222GA GO OA +=，222

11O C O O OC +=，即)

22

2333h R ?+= ??，2

22

233h R ??+= ? ???

，所以3h =253R =，得15R =所以342015

=3O V R π球.